第五单元：数学广角——鸽巢问题（知识清单）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册 第五单元：数学广角——鸽巢问题（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：鸽巢原理的基本概念 1、核心要素 （1）鸽巢（抽屉）：存放物体的容器； （2）物体：需要分配的对象； （3）关键词 ①总有：一定存在、肯定有； ②至少：最少、不少于。 2、原理本质：把多于n个的物体放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 知识点02：鸽巢原理的两种基本模型 1、模型1：物体数>鸽巢数（基础型） （1）结论：把m个物体放进n个鸽巢里（m>n，m、n为正整数），总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 （2）解题关键：判断“物体数”和“鸽巢数”，明确谁是物体、谁是鸽巢。 2、模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） （1）通用公式 ①计算：物体数÷鸽巢数=商k……余数r ②结论：总有一个鸽巢里至少放进k+1个物体。 （2）核心逻辑：平均分配后，余数的物体不管怎么放，总有一个鸽巢至少多放1个。 （3）特殊情况：若余数r=0，则至少数=商k。 3、解题步骤（通用四步法） （1）定鸽巢：分析题意，确定“鸽巢”的数量（如人数、颜色种类、盒子数等）； （2）数物体：确定需要分配的“物体”数量； （3）算商余：用物体数÷鸽巢数，计算出商和余数； （4）得结论：根据公式确定“至少数”，规范表述“总有一个鸽巢里至少有……”。 【易错点】 （1）混淆“鸽巢”和“物体”：如摸球问题中，误把球的数量当鸽巢，颜色种类当物体。 （2）误解“至少”的含义：认为“至少数”是余数的数量，而非商+ 1（如10个物体放进3个鸽巢，10÷3=3……1，至少数是4而非1）。 （3）物体数未明确时的判定错误：如“保证摸出2个同色球”，未考虑最不利情况（先摸出所有颜色各1个，再摸1个即可）。 （4）最不利原则应用失误：解决“保证……”类问题时，未先考虑“最倒霉”的情况。 （5）鸽巢数判定失误：如属相问题中，误将人数当鸽巢，忽略12个属相才是鸽巢数。 考点1：基础鸽巢问题 【典型例题1】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 【答案】7 【分析】根据题意，先假设10名学生投进的球数尽可能平均，用总投进球数÷学生人数，得到平均每人投进的数量和剩余的球数，剩余的球需要分给其中一名学生，所以至少有一名学生投进的数量是平均数加1，据此解答。 【详解】61÷10＝6（个）……1（个） 6＋1＝7（个） 综上所述可得，他们中总有一名学生至少投进了7个球。 【典型例题2】五一劳动节，有51名老人在广场上载歌载舞，欢度节日，那么至少有（ ）名老人生日在同一个月。 【答案】5 【分析】一年有12个月，把这12个月看作12个抽屉，把51名老人看作51个整体，51÷12＝4……1，由此利用抽屉原理可知，每个抽屉有4名，还余下1名，不管放哪个抽屉里，一定至少有4＋1＝5名老人相同生日。 【详解】51÷12＝4（名）……1名） 4＋1＝5（名） 根据分析可得，至少有5名老人生日在同一个月。 【练习1】将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进（     ）。 A．3本书 B．4本书 C．5本书 D．11本书 【答案】C 【分析】把13本书放进3个抽屉中，13÷3＝4（本）……1（本），即平均每个抽屉放入4本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进（4＋1）本书。 【详解】13÷3＝4（本）……1（本） 4＋1＝5（本） 所以将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进5本书。 故答案为：C 【练习2】一年一度的艺术节即将到来，六年级8个班需要准备30幅绘画作品，不管怎样分配，总有1个班至少得上交（ ）幅作品。 【答案】4 【分析】把8个班看作8个抽屉，把30幅绘画作品看作30个元素，利用抽屉原来最差情况：要使每个抽屉里的作品最少，只要使每个抽屉里的元素尽量平均分即可。 【详解】30÷8＝3（幅）……6（幅） 3＋1＝4（幅） 一年一度的艺术节即将到来，六年级8个班需要准备30幅绘画作品，不管怎样分配，总有1个班至少得上交4幅作品。 考点2：鸽巢问题的进阶 【典型例题1】把31个桃子最多放进（     ）个盘子里，才能保证有一个盘子里至少放进6个桃子。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可以利用公式：（分的物品总数－1）÷（其中一个抽屉里至少有的物品个数－1）＝a……b（a、b均为自然数，且b＜a），则a就是所求的抽屉数。 【详解】（31－1）÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（个） 把31个桃子最多放进6个盘子里，才能保证有一个盘子里至少放进6个桃子。 故答案为：D 【典型例题2】把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有（     ）本书。 【答案】49 【分析】鸽巢原理公式：物体个数÷鸽巣个数＝商……余数，只要有余数，那么至少个数＝商＋1。那么本题中的鸽巢个数是12，至少个数是5，逆用公式可得到商是4。当余数最小即为1时，物体个数是最少的，据此解答。 【详解】12×(5-1)+1 =12×4+1 =48+1 =49（本） 故那么这堆书最少有49本。 【练习1】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【答案】9 【分析】一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少，据此解答即可。 【详解】当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走； 所以篮球队最多有9名队员。 【练习2】桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有（ ）人。 【答案】21 【分析】每人拿走1个或者2个，则只有1支铅笔，1块橡皮，2支铅笔，2块橡皮，1支铅笔和1块橡皮5种不同的情况；根据鸽巢原理，假设每种情况都有4个人，只要再多1个人则保证至少有5人拿到的文具完全相同。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 这群学生至少有21人。 考点3：最不利原则 【典型例题1】鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出（ ）条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。 【答案】11 【分析】考虑最倒霉的情况，捞出5种鱼，每种鱼都是2条，再捞一条，无论什么品种，都可保证有3条鱼的品种相同，据此分析。 【详解】5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（条） 鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出11条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。 【典型例题2】有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出（ ）个，才能保证有6个小球是同色的。 【答案】16 【分析】根据题意，袋子里有红、黄、白三种颜色的小球各10个，运气最差的情况为每种颜色的小球各摸出5个，再摸出一个任意颜色的球就能保证有6个小球是同色的。 【详解】5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 填空如下： 一次至少摸出（16）个，才能保证有6个小球是同色的。 【练习1】明明玩投骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷（     ）次。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】骰子有6个面，每个面的点数不同，能掷出6种结果；假设运气最差的情况，先掷出的6次都是不同的点数，此时再掷出1次，就会出现2个相同的点数，所以至少要掷出（6＋1）次。 【详解】6＋1＝7（次） 要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷7次。 故答案为：C 【练习2】黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出（ ）支铅笔。 【答案】12 【分析】把红铅笔、黄铅笔和蓝铅笔看作是三个抽屉，4＋6＋5＝15；15只铅笔看做是15个元素，根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出11支铅笔中，6支黄铅笔和5支蓝铅笔，那么再任意摸出一支就是红铅笔，据此解答。 【详解】6＋5＋1 ＝11＋1 ＝12（支） 黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出12支铅笔。 一、选择题 1．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（     ）个小球。 A．13 B．4 C．5 【答案】B 【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，如果一次取3个，最差情况为红、黄、蓝三种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球。据此解答。 【详解】3＋1＝4（个） 故答案为：B 2．会议室里坐着1至6年级的班干部各5人，一位不熟悉这些学生的老师要想喊出的人一定有2名同年级的学生，最少要喊出（     ）人。 A．5 B．6 C．7 【答案】C 【分析】由于会议室里共有1至6年级，共六个年级，如果一次喊6人，运气最差的情况为1至6年级各出来一个人，所以只要再多喊一个人，就能保证喊出的人一定有2名同年级的学生，据此解答。 【详解】6＋1＝7（人） 即最少要喊出7人。 故答案为：C 3．把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插（     ）枝月季花。 A．8 B．7 C．6 【答案】B 【分析】把4个花瓶看作4个抽屉，25枝月季花看作25个元素，把25枝花插到4个花瓶中，利用抽屉原理最差情况：要使花瓶里花的朵数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即每个花瓶中插6枝还剩1枝，所以总有一个花瓶插6＋1＝7（枝）。 【详解】25÷4＝6（枝）……1（枝） 6＋1＝7（枝） 故答案为：B 4．给一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，无论怎样涂至少有（     ）个面颜色相同。 A．4 B．3 C．2 【答案】C 【分析】把红、黄、蓝、绿四种颜色看做4个抽屉，6个面看做6个元素，利用抽屉原理最差情况：要使涂的颜色相同的面数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。 【详解】6÷4＝1（个）⋯⋯2（个） 1＋1＝2（个） 给一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，无论怎样涂，至少有2个面颜色相同。 故答案为：C 5．某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（     ）张票才能当选？ A．6 B．7 C．8 【答案】C 【分析】根据题意知一共48票，已经计了30票，还有48－30＝18票没计。现在小华得了13票，小红得了10票，只要小华得到的票数比小红多1票才能当选。用剩下的票减去小华比小红多的票数13－10＝3票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给小华，就能当选。 【详解】48－30＝18（票） 13－10＝3（票） （18－3）÷2 ＝15÷2 ＝7（票）……1（票） 7＋1＝8（票） 小华至少要得8票才能当选。 故答案为：C 二、填空题 6．随意找13位老师，他们中至少有2个人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中（ ）是“鸽”，（ ）是“巢”。 【答案】 老师 生肖 【分析】把12个生肖看作“巢”，13位老师看作“鸽”，将鸽子装进巢里面，求至少有几只在同一个巢里，用鸽子总数除以鸽笼数，有余数时用商加1，即可解答。 【详解】随意找13位老师，他们中至少有2个人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，上题中13位老师是“鸽”，12个生肖是“巢”。 7．7名同学在一起做游戏，其中总有一种性别至少有（ ）名同学。 【答案】4/四 【分析】此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确把男、女性别看作2个“抽屉”，把7名同学看作“物体个数”，根据抽屉原理进行解答即可。 【详解】7÷2＝3（名）……1（名） 3＋1＝4（名） 其中总有一种性别至少有4名同学。 8．18只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了（ ）只鸽子。 【答案】5 【分析】根据题意可知，18只鸽子平均飞进4个鸽笼，每个鸽笼里飞进4只，还剩下2只，这2只无论放进哪个鸽笼，总有1个鸽笼至少有5只鸽子。 【详解】18÷4＝4（只）……2（只） 4＋1＝5（只） 总有1个鸽笼至少飞进了5只鸽子。 9．有红、黄、蓝三种颜色的筷子各两双混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出（ ）根才能保证一定有两根同色的筷子。 【答案】4 【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，从最不利情况考虑，假设取出的前3根筷子颜色都不相同，此时再任意取一根筷子一定有2根筷子是同色的，据此解答。 【详解】3＋1＝4（根） 则每次最少拿出4根才能保证一定有两根同色的筷子。 10．把6个乒乓球平均放在4个抽屉中，每个抽屉至少要放（ ）个乒乓球。不管怎么放，总有一个抽屉至少放了（ ）个乒乓球。 【答案】 1 2 【分析】考虑最差情况：6个乒乓球平均放在4个抽屉，即6÷4＝1（个）……2（个），那么每个抽屉都有1个乒乓球，剩下的2个无论放到哪个抽屉，都会出现1个抽屉里面有2个乒乓球，据此解答。 【详解】6÷4＝1（个）……2（个） 1＋1＝2（个） 把6个乒乓球平均放在4个抽屉中，每个抽屉至少要放1个乒乓球。不管怎么放，总有一个抽屉至少放了2个乒乓球。 11．一副扑克牌包括大、小王共有54张，为了保证抽出的牌有两张同花色，至少要抽取（ ）张牌。 【答案】7 【分析】一副扑克牌包括大、小王共有54张，有四种花色，每种花色有13张，运气最差的情况为前4次抽取的是四种不同花色的牌各一张，再抽2张大、小王，这时再从剩下的牌中任意抽取一张，一定有2张花色相同的牌，据此解答。 【详解】4＋2＋1＝7（张） 至少要抽取7张牌。 12．一幅扑克牌有4种花色，每种花色都有13张，如果要保证从中抽出两种花色，至少要抽（ ）张。 【答案】5 【分析】要保证从中抽出两种花色，可以把每个花色摸一张，这个时候已经摸了4张，当第五次摸的时候，无论摸什么花色，都会保证抽出的花色有两个一样的。 【详解】4×1＋1 ＝4＋1 ＝5（张） 所以要保证从中抽出两种花色，至少要抽出5张。 13．一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（ ）个球；至少摸出（ ）个球才能保证一定有一个红球。 【答案】 4 12 【分析】用球的颜色的种类加上1，即可求出要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球，用黑球的个数加上白球的个数，再加上1个，即可求出至少摸出几个球才能保证一定有一个红球。 【详解】3＋1＝4（个） 5＋6＋1＝12（个） 一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（4）个球；至少摸出（12）个球才能保证一定有一个红球。 14．把至少（ ）个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【答案】7 【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【详解】6＋1＝7（个） 15．聪聪家在“五一”假期选择了省内游，在预订宾馆时发现全家5口人只订到了2间客房。聪聪联系学过的“抽屉原理”，认为总有一间客房至少要入住（ ）个人。第二天在换乘景区摆渡车的时候，聪聪发现车上61个座位全部坐满，聪聪认为如果按照12生肖给这些乘客分类，至少有（ ）人是同一个属相。 【答案】 3 6 【分析】（1）先将5人平均分给2间客房，每间客房里有2人，还剩下1人，这1人，无论分给哪间客房，总有一间客房至少要入住（2＋1）人。 （2）先将61人平均分给12个生肖里，每个生肖里有5人，还剩下1人，这1人，无论分给哪个生肖，总有一个生肖里至少有（5＋1）人。 【详解】（1）5÷2＝2（人）……1（人） 2＋1＝3（人） 总有一间客房至少要入住3人。 （2）61÷12＝5（人）……1（人） 5＋1＝6（人） 至少有6人是同一属相。 16．合唱队有19个男生，13个女生，至少有（ ）个同学在同一个月出生；每天由一个男生和一个女生组合起来打扫合唱教室，一共有（ ）种组合。 【答案】 3 247 【分析】（1）把一年12个月看作12个抽屉，把（19 ＋13）个人看作32个元素，那么每个抽屉需要放2个元素，还剩余8个，因此，至少有3个同学同一个月出生，据此解答； （2）13个女生，19个男生参加，一男一女搭配，每个女生都可和19个不同的男生进行搭配，即每个女生和男生有19种不同的搭配方式，共有13个女生，共有（13 × 19 ＝ 247 ）种不同的组合；据此解答即可。 【详解】32÷12 ＝ 2（个）……8（个） 13×19＝247（种） 所以，合唱队有19个男生，13个女生，至少有3个同学在同一个月出生；每天由一个男生和一个女生组合起来打扫合唱教室，一共有247种组合。 三、判断题 17．三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。（ ） 【答案】× 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体 【详解】50÷12＝4（人）……2（人） 4＋1＝5（人） 三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有5个人是同一个月出生的，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．盒子中有红、黄球各10个，只要摸10个就保证一定能摸出两种不同颜色的球。（ ） 【答案】× 【分析】最倒霉的情况下，连续摸10次都是同一种颜色的球，只要再摸1次，肯定会出现两种颜色的球，据此分析解答。 【详解】10＋1＝11（次） 至少摸11次才能保证能摸到两种颜色的球，原题说法错误。 故答案为：× 19．把8只兔子放进3个笼子里，至少有3只兔子要放进同一个笼子。（ ） 【答案】√ 【分析】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】8÷3＝2（只）……2（只） 2＋1＝3（只） 所以，把8只兔子放进3个笼子里，有一个笼子里至少放3只兔子，即至少有3只兔子要放进同一个笼子。 故答案为：√ 20．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。（ ） 【答案】√ 【分析】假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。 【详解】5＋1＝6（个） 6÷3＝2（次） 所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。 故答案为：√ 21．把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉里至少放进3本书。（ ） 【答案】√ 【分析】根据抽屉原理，用书本总数除以抽屉数量，有余数时用商加1，就是总有一个抽屉至少放进了几本书。 【详解】7÷3＝2（本）……1（本） 2＋1＝3（本） 把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉里至少放进3本书。原题干说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 22．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 【答案】见详解 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。 （2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】25÷4＝6（本）……1（本） 6＋1＝7（本） 答：总有一名同学至少发到7本书。 23．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【详解】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 24．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 【答案】28次 【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次） 答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。 25．育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 【答案】37个 【分析】把18个班看作是18个抽屉，排球的总数看作元素，考虑最差情况：把这些元素平均分配在18个抽屉里，每个抽屉要有2个排球，然后还要保证剩下1个球，那么剩下的1个排球无论放到哪个抽屉都会出现3个排球在同一个抽屉里。也就是才能保证有一个班至少能分到3个排球。据此解答。 【详解】18×（3－1）＋1 ＝18×2＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：学校要买37个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球。 26．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？ 【答案】17条 【分析】把4个品种看作四个抽屉，从最极端的情况进行分析：因为考虑到最坏的情况即捞了16条出现每种4条，捞了第17条一定出现一种鱼有5条。 【详解】4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（条） 答：至少要捞出17条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼。 27．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册 第五单元：数学广角——鸽巢问题（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：鸽巢原理的基本概念 1、核心要素 （1）鸽巢（抽屉）：存放物体的容器； （2）物体：需要分配的对象； （3）关键词 ①总有：一定存在、肯定有； ②至少：最少、不少于。 2、原理本质：把多于n个的物体放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 知识点02：鸽巢原理的两种基本模型 1、模型1：物体数>鸽巢数（基础型） （1）结论：把m个物体放进n个鸽巢里（m>n，m、n为正整数），总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 （2）解题关键：判断“物体数”和“鸽巢数”，明确谁是物体、谁是鸽巢。 2、模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） （1）通用公式 ①计算：物体数÷鸽巢数=商k……余数r ②结论：总有一个鸽巢里至少放进k+1个物体。 （2）核心逻辑：平均分配后，余数的物体不管怎么放，总有一个鸽巢至少多放1个。 （3）特殊情况：若余数r=0，则至少数=商k。 3、解题步骤（通用四步法） （1）定鸽巢：分析题意，确定“鸽巢”的数量（如人数、颜色种类、盒子数等）； （2）数物体：确定需要分配的“物体”数量； （3）算商余：用物体数÷鸽巢数，计算出商和余数； （4）得结论：根据公式确定“至少数”，规范表述“总有一个鸽巢里至少有……”。 【易错点】 （1）混淆“鸽巢”和“物体”：如摸球问题中，误把球的数量当鸽巢，颜色种类当物体。 （2）误解“至少”的含义：认为“至少数”是余数的数量，而非商+ 1（如10个物体放进3个鸽巢，10÷3=3……1，至少数是4而非1）。 （3）物体数未明确时的判定错误：如“保证摸出2个同色球”，未考虑最不利情况（先摸出所有颜色各1个，再摸1个即可）。 （4）最不利原则应用失误：解决“保证……”类问题时，未先考虑“最倒霉”的情况。 （5）鸽巢数判定失误：如属相问题中，误将人数当鸽巢，忽略12个属相才是鸽巢数。 考点1：基础鸽巢问题 【典型例题1】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 【典型例题2】五一劳动节，有51名老人在广场上载歌载舞，欢度节日，那么至少有（ ）名老人生日在同一个月。 【练习1】将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进（     ）。 A．3本书 B．4本书 C．5本书 D．11本书 【练习2】一年一度的艺术节即将到来，六年级8个班需要准备30幅绘画作品，不管怎样分配，总有1个班至少得上交（ ）幅作品。 考点2：鸽巢问题的进阶 【典型例题1】把31个桃子最多放进（     ）个盘子里，才能保证有一个盘子里至少放进6个桃子。 A．3 B．4 C．5 D．6 【典型例题2】把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有（     ）本书。 【练习1】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【练习2】桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有（ ）人。 考点3：最不利原则 【典型例题1】鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出（ ）条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。 【典型例题2】有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出（ ）个，才能保证有6个小球是同色的。 【练习1】明明玩投骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷（     ）次。 A．5 B．6 C．7 D．8 【练习2】黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出（ ）支铅笔。 一、选择题 1．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（     ）个小球。 A．13 B．4 C．5 2．会议室里坐着1至6年级的班干部各5人，一位不熟悉这些学生的老师要想喊出的人一定有2名同年级的学生，最少要喊出（     ）人。 A．5 B．6 C．7 3．把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插（     ）枝月季花。 A．8 B．7 C．6 4．给一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，无论怎样涂至少有（     ）个面颜色相同。 A．4 B．3 C．2 5．某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（     ）张票才能当选？ A．6 B．7 C．8 二、填空题 6．随意找13位老师，他们中至少有2个人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中（ ）是“鸽”，（ ）是“巢”。 7．7名同学在一起做游戏，其中总有一种性别至少有（ ）名同学。 8．18只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了（ ）只鸽子。 9．有红、黄、蓝三种颜色的筷子各两双混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出（ ）根才能保证一定有两根同色的筷子。 10．把6个乒乓球平均放在4个抽屉中，每个抽屉至少要放（ ）个乒乓球。不管怎么放，总有一个抽屉至少放了（ ）个乒乓球。 11．一副扑克牌包括大、小王共有54张，为了保证抽出的牌有两张同花色，至少要抽取（ ）张牌。 12．一幅扑克牌有4种花色，每种花色都有13张，如果要保证从中抽出两种花色，至少要抽（ ）张。 13．一个口袋里有同样大小的5个黑球、6个白球和7个红球，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（ ）个球；至少摸出（ ）个球才能保证一定有一个红球。 14．把至少（ ）个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 15．聪聪家在“五一”假期选择了省内游，在预订宾馆时发现全家5口人只订到了2间客房。聪聪联系学过的“抽屉原理”，认为总有一间客房至少要入住（ ）个人。第二天在换乘景区摆渡车的时候，聪聪发现车上61个座位全部坐满，聪聪认为如果按照12生肖给这些乘客分类，至少有（ ）人是同一个属相。 16．合唱队有19个男生，13个女生，至少有（ ）个同学在同一个月出生；每天由一个男生和一个女生组合起来打扫合唱教室，一共有（ ）种组合。 三、判断题 17．三年级共有50名同学，如果按照月份来计算，至少有4个人是同一个月出生的。（ ） 18．盒子中有红、黄球各10个，只要摸10个就保证一定能摸出两种不同颜色的球。（ ） 19．把8只兔子放进3个笼子里，至少有3只兔子要放进同一个笼子。（ ） 20．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。（ ） 21．把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉里至少放进3本书。（ ） 四、解答题 22．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 23．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 24．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 25．育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 26．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？ 27．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $