专题12 导数中的极值与最值问题（含参数分类讨论）（压轴题5大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题12 导数中的极值与最值问题（含参数分类讨论） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、函数的单调性（含参） 1 类型二、求函数的极值（点） 2 类型三、极值（点）中的参数问题 4 类型四、求函数的最值 6 类型五、最值中的参数问题 8 压轴专练 9 类型一、函数的单调性（含参） 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 1．已知函数，.求的单调区间. 2．已知函数.讨论的单调性； 3．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性． 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 5．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性； 6．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 类型二、求函数的极值（点） 1、函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． 2、函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． 3、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 4、求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 2．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 3．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 5．已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 6．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 7．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设（为的导数），求的单调区间； (3)求的极值点的个数． 8．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 类型三、极值（点）中的参数问题 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 4．已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·福建厦门·期中）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型四、求函数的最值 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 2．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 3．（24-25高二下·山东淄博·月考）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 4．（24-25高二下·北京·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)求函数在区间上的最大值 5．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 6．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 7．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 类型五、最值中的参数问题 1、若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 2、已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围． 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东深圳·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C．e D． 9．设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．设函数，若的极小值为，则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏无锡·月考）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建莆田·月考）若对任意的，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知函数的图像经过点. (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 15．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 16．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 18．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 19．已知函数，，讨论函数的单调性. 20．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论的单调性． 21．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 22．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 23．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 25．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 26．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，求证：有唯一的极值点，且． 27．已知函数，． (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点． 28．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 29．已知函数（且） (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)当时，证明：在上有唯一的极小值点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 导数中的极值与最值问题（含参数分类讨论） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、函数的单调性（含参） 1 类型二、求函数的极值（点） 6 类型三、极值（点）中的参数问题 15 类型四、求函数的最值 24 类型五、最值中的参数问题 30 压轴专练 36 类型一、函数的单调性（含参） 1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 1．已知函数，.求的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解； 【详解】因为，所以， 若，则当时，，函数单调递增； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导之后为类一次函数，根据方程是否有解分为和两类. 【详解】∵，∴， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 3．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】，对分，和讨论单调性即可. 【详解】，， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 6．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 类型二、求函数的极值（点） 1、函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． 2、函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． 3、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 4、求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【分析】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【详解】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 2．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 3．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 5．已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，检验后得到结果； （2）求定义域，求导，解不等式求出函数的单调区间； （3）求导后，根据根的判别式，判断出的变号零点个数，得到答案. 【详解】（1）定义域为R，， 由题意得，即，解得， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故为极大值点，满足要求，故； （2）时，，， 由（1）可知的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）定义域为R， ，， 当，即时， 故恒成立，此时在R上单调递增，无极值点； 当，即时，有两个变号零点， 故有2个极值点， 故当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 6．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. 7．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设（为的导数），求的单调区间； (3)求的极值点的个数． 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)3 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成的变号零点的个数，结合（2）中结果，列出的变化情况表，利用极值的定义，即可求解. 【详解】（1）， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得. （2）由（1）知，，则， 易知的定义域为，又， 令，得， 所以的变化情况如下表 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）的极值点个数就是的变号零点的个数， 又恒成立，也即的变号零点的个数． 由（2）知的单调递增区间是，单调递减区间是， 因为， ， 所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得， 的变化情况如下表： 0 所以的极值点个数为3． 8．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， （ⅰ）由题意可知：，解得， （ⅱ）此时，， 若，则，可得， 可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （2）由（1）可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减，无极值点； 若，令，整理得， 构建，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于； 作出的图象，如图所示： 且，可知： 当，则， 可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点； 当，则， 可知与没有交点，可知没有极值点； 综上所述：若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 类型三、极值（点）中的参数问题 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解. 【详解】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，即可得解. 【详解】由已知得， 当或时，，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，即，得. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 4．已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，分情况讨论，可得当是有一个极值点，利用极值点有且仅有一个，故在没有极值点，构造新函数列出不等式即可求得结果. 【详解】因为，求导得，令，得， 当时， 观察图像可知在处有， 且当时，，此时，函数在区间上单调递减， 当时，，此时，函数在区间上单调递增， 故是函数的一个极值点; 当时，构造函数，求导得，令，解得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以是函数的极小值点，也是最小值点，要使函数有且仅有一个极值点， 故，解得：， 且，，故此时单调递增且恒大于0，满足函数没有极值点; 故选：C 6．（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 7．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 9．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 10．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 11．（24-25高二下·福建厦门·期中）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，即可得到与时，都单调无极值点，当时，结合隐零点问题，代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：B. 类型四、求函数的最值 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 2．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 【答案】(1)． (2)极大值为，极小值为； 【分析】（1）先对原函数求导得到导函数表达式，再利用基本不等式求出导函数的最小值. （2）通过导函数的正负判断原函数的单调性以确定极值，再计算区间端点与极值点的函数值，从而确定值域范围. 【详解】（1）由题意得的定义域为，求导得，由基本不等式，可知，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. （2）由（1）知． 令，得，或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为，极小值为， 又，， 显然，，所以在上的值域为． 3．（24-25高二下·山东淄博·月考）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)最大值为， 最小值为 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）对函数求导后，求得在上递增，在上递减，计算即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， ，， 因为，所以， 所以的最小值为. 4．（24-25高二下·北京·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)求函数在区间上的最大值 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数研究单调性，即可得极值； （3）由题设有，，再讨论、确定对应最大值. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程，则； （2）由（1）有， 或时，，则在、上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以函数极大值为，极小值为. （3）在区间上，，显然， 若，则，此时的最大值为0； 若，则，此时的最大值为. 5．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 6．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算，然后计算； （2）利用导数讨论的范围判断函数的单调性，得到，然后计算即可. 【详解】（1），，， 由题可知：，所以 （2）函数的定义域均为， 由（1）可知：， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值； 当时，令，则；令令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值. 因为有最小值，所以， 所以， ， 则 7．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 类型五、最值中的参数问题 1、若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 2、已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围． 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 2．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【详解】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 3．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导并根据参数的取值进行分类讨论得出其单调性，再由最大值解方程可得. 【详解】易知，且； 令，解得或（舍）； 显然当时不合题意， 当时，若，易知，此时函数在上单调递增， 若，易知，此时函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，即， 解得，符合题意； 当时，若，易知，此时函数在上单调递减， 若，易知，此时函数在上单调递增； 此时无最大值，不符合题意； 综上可知，. 故选：A. 4．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 5．若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将用进行替换，再利用参变量分离将问题转化为求最大值的问题，再利用导数求最值即可. 【详解】令，，则可转化为，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故， 所以，解得， 则的取值范围是， 故选：C． 6．（24-25高二下·广东深圳·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，得到在上递增，得出，进而求得的取值范围, 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，可得， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数的取值范围为. 故选：B． 7．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 8．已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】根据恒成立确定的关系式，从而将转化为只有的式子，再利用导数讨论单调性求最值即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立， 则函数和的零点相同， 所以，则， 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，所以最大值为， 故选：A. 9．设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后，验证对任意能否恒成立，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为，则， 则函数在上为增函数， 考虑到，，因此讨论分界点为． 当时，则对任意实数，， 此时，函数在上为增函数，则对任意的，，合乎题意； 当时，因为函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 所以，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 1．设函数，若的极小值为，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】对函数求导，根据导数的符号确定极小值点，结合已知极小值列方程求参数. 【详解】由已知，得，令，有， 当时，，当时，， 所以在处取得极小值，为， 所以，得． 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 【答案】A 【分析】先求，由题意得解得，根据的值检验在处取得极小值即可. 【详解】由得 函数在处取得极小值， 解得或 ①当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极小值，所以符合题意. ②当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极大值，不合题意. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解. 【详解】函数，则， 因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因在区间上单调递减，则， 故，即实数的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高二下·江苏无锡·月考）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在内存在最小值，则，得． 故选：C 6．（24-25高二下·福建莆田·月考）若对任意的，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，由导数知识求出可得答案. 【详解】因为，所以， 令， 则， 对于，. 所以在上单调递增，则， 则在上单调递增，则.则. 故选：B 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，再根据在区间上有两个根，结合韦达定理与判别式列式求解即可. 【详解】由题意， 又函数既有极大值也有极小值，故方程有两个不相等的正根， 故，则，排除ACD. 因为，故异号，故. 故选：B 8．已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案. 【详解】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 9．若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，问题化为导函数在上有两个变号零点，令，与在上有两个交点，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，令， 又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点， 令在上单调递减，且， 根据二次函数性质知只需与在上有两个交点， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上，在上， 综上，与有两个交点，则. 故选：B 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，利用得，然后按照、和分类讨论研究函数单调性，从而利用极小值点的定义求解即可. 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 11．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，讨论参数a的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可得范围. 【详解】由题意，函数，可得， 若时，当时在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，令，即， 画出函数与的图象，如图所示，    结合图象，存在，使得， 当时单调递减； 当时单调递增， 此时函数在上有最小值，符合题意． 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：A 12．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定零点的重复条件，令化简表达式，构造函数，通过求解单调性得出最值，即可求出的取值范围. 【详解】由题意， 在中，若恒成立， 设的解为，此时需同时成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴， 在中，， 令，得， 当即时函数单调递减， 当即时函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∴， 故选：A. 13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：先对函数求导两次，根据极值点个数和函数的单调性求出结果即可；方法2：先对函数求导 一次，然后将函数有两个极值点转化为在上有两个不相等的根，然后变形化简构造新函数，求导判断单调性，结合图形求出结果即可. 【详解】方法1：函数的定义域为， 求导得，由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 由，得时；，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当时，， 当时，， 因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 方法2：函数的定义域为， 求导得， 由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 即在上有两个不相等的根，即有两个不相等的根， 当不是方程的根，所以上述方程等价于有两个不相等的根， 等价于函数的图象与函数有两个不同的交点， 设，定义域为， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ，，而当从大于的方向趋近于时，， 当时，，大致图象如下 数形结合可知，当且仅当时，函数的图象与函数有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 14．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知函数的图像经过点. (1)求； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)2 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）把点代入解析式可求； （2）求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数的最大值与最小值. 【详解】（1）函数的图像过点， ，即， ，. （2）由（1）得，， ， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， ，，，， 且， 在上的最大值为，最小值为. 15．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 16．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 18．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 19．已知函数，，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， ①当，即时，得，则. ∴函数在上为增函数. ②当，即时，令，得， 解得 (ⅰ)若，则， ∵，在或时，；时， ∴在，上为增函数，在上为减函数. (ⅱ)若，则，当时，，当时，， ∴函数在上为减函数，在上为增函数. 综上可知，时，函数在上为增函数； 时，函数在，上为增函数，在上为减函数； 时，函数在上为减函数，在上为增函数. 20．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 21．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用导数的符号变化判断单调性，进而确定极值. 【详解】（1）当时，. . ，又. 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，. . 令. 则. 当时，，函数在上单调递增. 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 22．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 23．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出导数，利用给定导数值求出. （2）利用导数分类探讨函数的单调性，进而确定极值点个数. （3）利用（2）的结论，列出不等式求解. 【详解】（1）函数，求导得， 因为，所以. （2）由（1）知，令，而，则， ①当时，即，此时，则， 所以在上单调递增，无极值点； ②当时，即，有两个不等的实根，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，没有极值点；当时，有2个极值点. （3）若在区间上存在极值，由（2）知，，解得， 所以a的取值范围是. 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论得到函数的单调性，分别求出函数的最小值. 【详解】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 25．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 26．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，求证：有唯一的极值点，且． 【答案】证明见解析 【分析】通过二次求导，确定导函数的单调性，进而可判断，再通过零点整体代换可证. 【详解】求导可得 令，则， 易得当时，，当时， 所以在单调递减，且此时，则在内无零点； 在单调递增，且，， 所以有唯一变号零点， 所以有唯一的极值点． 且满足：得， 则． 又，， 所以，由对勾函数的单调性易得， 所以． 27．已知函数，． (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：有且仅有一个极值点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）化简恒成立的不等式可得，由可得取值范围； （2）令，利用导数可知单调递减，结合零点存在定理可得存在唯一零点，进而得到单调性，根据极值点定义可证得结论. 【详解】（1）在上恒成立， 在上恒成立， 当时，在上取得最大值， ，即实数的取值范围为. （2）由（1）知：， 当时，，在上单调递增； 当时，令，则， 在上单调递减，又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：在上单调递增，在上单调递减， 有且仅有一个极值点. 28．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 29．已知函数（且） (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)当时，证明：在上有唯一的极小值点. 【答案】(1)最大值为，最小值为1 (2)证明见解析 【分析】（1）求函数的导函数，令可得，分区间判断函数的单调性，结合单调性求函数的最值； （2）求函数的导函数，证明有且只有一个根，判断函数的单调性，由此证明在上有唯一的极小值点. 【详解】（1）当时，，， 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是的极小值点，所以最小值为； 又，， 所以，所以在上的最大值为，最小值为1. （2）当时，， 令，即，变形为. 因为，所以，故. 由于（）在上单调递增且值域为， 结合，， 所以存在唯一的，使得，即. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是在上唯一的极小值点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $