专题11 导数中的切线问题（含公切线）（压轴题5大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题11 导数中的切线问题（含公切线） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求已知切点的切线方程及参数问题 1 类型二、求未知切点的切线方程及参数问题 4 类型三、利用切线求距离的最值问题 8 类型四、公切线问题 12 类型五、切线的条数问题 19 压轴专练 25 类型一、在已知切点的切线方程及参数问题 1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由函数，得， 因为函数在处的切线平行于直线， 所以且，得. 2．设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到倾斜角即可. 【详解】设，则， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得，故C正确. 故选：C 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在处的切线的斜率为1，则 【答案】1 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，则. 故答案为：1 6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 类型二、求未知切点的切线方程及参数问题 求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 【答案】D 【分析】先利用导数的几何意义求出切点坐标，再将其代入切线方程中. 【详解】因为，所以， 令，解得或（舍）， 令，则， 将点代入中得. 故选：D 3．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 4．已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，对函数求导，根据导数的几何意义得到方程，根据切点既在曲线上又在直线上得到方程，两边取对数得到，联立方程，解出，结合即可解得. 【详解】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 5．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知直线与曲线相切，则 【答案】 【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为， 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入可得，解得， 所以. 故答案为：. 7．（25-26高三上·山东青岛·月考）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【分析】由导数的几何意义求出时的切线方程，利用对称性可得时的切线方程. 【详解】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 类型三、利用切线求距离的最值问题 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 1．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值. 【详解】由题可知，曲线为， 则，设， 当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值， 令，，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 此时的距离最小值为直线与直线的距离：. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】的定义域为，求导可得， 所以在R上单调递增，又在R上单调递增， 故随增大，增长速度逐渐变快， 令，可得，又， 易知曲线上斜率为2的切线，对应切点坐标为． 所以切线方程为，即为，显然与直线平行， 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高二上·安徽·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知抛物线的切线与直线平行时，切点到直线距离最小，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为，则， 令，解得，此时， 可知抛物线上到直线距离最近的点的坐标是. 故选：C. 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】D 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【详解】由直线l的方程，得． 令，， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值， 又， 因为，，求导，得． 解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为， 所以d的最小值为． 故选：D． 5．（23-24高二下·山东·月考）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为， 又，即点在函数的图象上， 所以函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍， 由，则， 函数在点处的切线斜率为，令，解得，， 所以点到直线距离的最小值为， 所以这，两点之间距离的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值. 类型四、公切线问题 1、公切线问题 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 2、已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 1．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【详解】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 4．（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义分别为求切线方程，进而列式求解即可. 【详解】对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 由题意可得， 由可得， 则，整理可得，解得或， 所以公切线斜率为或. 故选：B. 5．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C 6．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 7．（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【答案】D 【分析】通过对和求导，根据导数几何意义，可求得切线方程，通过斜率和截距相等建立方程，可求得的关系，逐项代入化简，即可求得正确答案. 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 类型五、切线的条数问题 1、切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 2、已知切线的数量求参数 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 1．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 2．过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 3．过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 4．（24-25高二下·广东·月考）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的导数，得到切线斜率的表达式，进而建立关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数的零点情况来确定参数的取值范围. 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得， 设，由题意可知有3个零点，，显然， 由，得或， 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以，所以，或. 故选：A. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 7．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设切点坐标为，曲线的切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． 1．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】求得，利用，即可求得结果. 【详解】因为 ，所以 ， 由题意有 ，即， 可得，即， 解得， 故选：B 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案. 【详解】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 6．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 8．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：A． 9．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 10．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 11．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 12．若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解． 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 13．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】设曲线在点处的线线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，，当，， 所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得. 故选：B. 14．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】A 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 15．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可. 【详解】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则切线方程分别为，， 所以 由①得， 代入②得． 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以， 又当时，， 所以的值域为， 所以的取值范围是． 故选：D． 16．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 【详解】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 17．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项. 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 18．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 19．（25-26高二上·江苏南京·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是， 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以. 故答案为： 20．（25-26高二上·浙江丽水·期末）若直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求得切点坐标解方程即可. 【详解】设直线与曲线的切点为, 又易知,则曲线在切点处的斜率为， 可得，即切点为 则, 故答案为：. 21．（25-26高二上·吉林·期末）若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义可求出曲线在点处的切线，继而求出切线与坐标轴的截距，根据三角形面积即可求得答案. 【详解】由题意得， 故，又， 故曲线在点处的切线方程为，即， 令，则；令，则； 故切线与坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为： 22．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数求得曲线在处的切线斜率，根据两条直线垂直，斜率乘积为，求得的值. 【详解】函数，. 求导得,， 故曲线在处的切线斜率为. 由，得，所以其斜率为. 所以，解得 . 故答案为：. 23．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，设切点为，利用导数的几何意义得出切线方程，再由切线过可得，又切线有两条可得，代入即可求解. 【详解】由题意得，过点作曲线的切线， 设切点坐标为，则， 即，由于，故． 由题意可知为的两个解， 则，故． 故答案为：. 24．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 25．（24-25高二下·四川·期中）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵存在过原点的切线，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 26．（24-25高二下·广东湛江·期中）已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出导函数，在设切点计数得出切线，再应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合， 又因为，即，解得， 故在处的切线方程为， 分别整理得切线方程为，直线为0， 由平行直线间距离公式知，两直线间距离为． 故答案为：． 27．（24-25高二下·安徽·月考）过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的意义得到切线的斜率，然后由点斜式得到切线方程，代入点结合切点在曲线上化简可得. 【详解】设， 由题意可得切线的斜率， 所以切线方程为， 代入点可得 因为切点在曲线上，所以，代入上式可得， ，化简可得， 又，所以， 同理 所以直线方程为. 故答案为： 28．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数得除法运算即可求出第一空；设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】当时，， 则， 由， 得， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 整理得：， 因为切线有两条， 所以，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 导数中的切线问题（含公切线） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求已知切点的切线方程及参数问题 1 类型二、求未知切点的切线方程及参数问题 2 类型三、利用切线求距离的最值问题 3 类型四、公切线问题 4 类型五、切线的条数问题 6 压轴专练 8 类型一、在已知切点的切线方程及参数问题 1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在处的切线的斜率为1，则 6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 类型二、求未知切点的切线方程及参数问题 求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程. 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 3．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知直线与曲线相切，则 7．（25-26高三上·山东青岛·月考）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 类型三、利用切线求距离的最值问题 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 1．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·期中）若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 5．（23-24高二下·山东·月考）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型四、公切线问题 1、公切线问题 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 2、已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 1．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 5．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 类型五、切线的条数问题 1、切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 2、已知切线的数量求参数 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 1．过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 2．过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东·月考）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 3．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 9．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 10．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 12．若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 15．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为 . 19．（25-26高二上·江苏南京·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 20．（25-26高二上·浙江丽水·期末）若直线与曲线相切，则实数 ． 21．（25-26高二上·吉林·期末）若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 22．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 . 23．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 ． 24．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 25．（24-25高二下·四川·期中）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ． 26．（24-25高二下·广东湛江·期中）已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为 ． 27．（24-25高二下·安徽·月考）过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 28．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $