1.5.2 三角形三个内角的平分线 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.5.2 三角形三个内角的平分线 第一章 三角形的证明及其应用 复习回顾 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E O A B P D E O A B P D E 进行新课 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。 ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。 ∴∠BDE=90°– 45°= 45°。 ∴BE = DE（等角对等边）。 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）。 ∴AC = BC = CD + BD = cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。 ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD。 （第1题） 1. 如图，在中，和 的平分线交于点， ， ，若的面积为 ， 则 的面积为( ) A A. B. C. D. 中考考法 6 （第2题） 2. 如图是油路管道的一部 分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三 角形，两直角边，的长分别为 和 .按照输油中心 到三条支路的距离相等 来连接管道，则 到三条支路的管道总长 （计算时视管道为线段）是___ . 6 中考考法 7 例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P. 分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件? 已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 P A B N C M 点P到∠A的两边的距离相等 点P到∠ABC， ∠ACB的两边的距离相等 证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线， ∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等). 同理，PE=PF. ∴ PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P. 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 P A B N C M D F E （第3题） 3.如图，已知在 中， ，，， 平分，平分， 与 交于点，若过点的直线 平分的面积，那么 的值为___. 6 中考考法 10 【点拨】如图，连接，过点 作 于点，于点 ， 于点平分， 平分 ，与交于点， ， ，， ， ， 中考考法 11 ，即 ，解得 过点的直线平分 的 面积， ， ， . 中考考法 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等. 该点称为三角形的内心. 符号语言： ① 在△ABC中， ∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线， ∴ BD，CE，AG相交于一点P. ② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB， 垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF. 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 知识点2 三角形三个内角的平分线的性质 取一张半透明纸，在半透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现? 三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部. 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 （第4题） 4.如图，在中，和 的平分 线,相交于点，过点作 于点 ，则以下结论：①若 ，则 ； ；③若 ， ，则 ①②③ ；④平面内到三条直线,, 距离相等的 点有3个.其中正确的有________.（只填写序号） 中考考法 16 （第4题） 【点拨】在中，若 ，则 .,分别平分, ， , 中考考法 17 在 中， ，故 ①正确； ， . 中考考法 如图①所示，过点作,于点, ， 过点作于点，是 的平分线， , ， ， ，故②正确； 中考考法 如图②所示，过点作,于点, ，连接 ,分别平分,，， ， 故③正确； 中考考法 ， 三角形内部有一个点 到 直线,,的距离相等，如图③所示，作 外角的平 分线,，交于点.过点作, , ,由角平分线的性质定理可得 ， 同理可得，三角形外部共有3个点到直线,, 的距离相等， 共有4个点到直线,, 的距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③. 中考考法 5.[2025北京汇文中学月考] 已知点是 平分线上的一 点，的两边，分别与射线，相交于， 两点，且 ，过点作 ，垂足 为 .#1 （1）如图①，当点在线段上时，求证： ； 中考考法 22 【证明】如图①，过点作，垂足为 . 因为平分，，所以 . 因为 ， ， 所以 . 又因为 ， 所以.所以 . 中考考法 23 （2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出 线段，与 之间的数量关系； 中考考法 24 【解】.【点拨】如图②，过点作 ， 垂足为.因为平分，，所以 .又因 为，所以,所以 .因为 ， ，所以 .又因为 ， 所以，所以 ，所以 ，所以 . 中考考法 25 （3）如图③，在（2）的条件下，若 ，连接 ，作的平分线交于点，交于点 ，连接 并延长交于点，若，，求线段 的长. 中考考法 26 【解】如图③，在上截取，连接 . 因为平分，所以 . 又因为，所以 , 所以， . 因为是的平分线，是 的平分线， 所以是的平分线，所以 . 中考考法 27 因为， ，所 以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 . 又因为 ， 所以，所以 ， 所以 . 中考考法 课堂小结 A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 $