1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 情境导入 A B P 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 点P是码头的位置 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵ MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°， ∵ AC=BC，PC=PC， ∴ △PCA≌△PCB(SAS). ∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等). 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： ∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC， ∴ PA=PB. 注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等. （第1题） 1. 如图，，，点 在线段的垂直平分线上且点 ， ，三点共线，若， ， 则线段 的长度为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 中考考法 5 （第2题） 2. 教材P33例1 如图，在 中，，是 上的一 点，是上一点，且 ，若 ，则 的长为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 中考考法 6 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 思考 你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这个定理的逆命题吗? 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?请证明自己结论的正确性. 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C， 则PC是△PAB的高. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. ∴PC是△PAB的中线（三线合一）. ∴AC=BC. ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 B M P A N C 符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 注意：由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 3. 如图，在中， ， 是线 段的垂直平分线，已知，则 ____. （第3题） 中考考法 11 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内 一点，且 OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 A B C O 证明：∵ AB=AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定 一条直线). 还有其他证法吗? 有其他证法. 证明：如图所示，设AO交BC于点D. 在△ABO和△ACO中， ∵ AB=AC，OB=OC，AO=AO， ∴ △ABO≌△ACO(SSS)， ∴ ∠BAO=∠CAO，又AB=AC， ∴ AD⊥BC，BD=CD， ∴ 直线AO垂直平分线段BC. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 A B C O D （第4题） 4. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞” 等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000 多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图， 已知，， ， ，制作这个风筝需要的布料至少为 _______ . 2 700 中考考法 14 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角? A B E C D ∵ AB=AD，CB=CD， ∴ AC是BD的垂直平分线. 像AB=AD，CB=CD这样的四边形ABCD叫作“筝形”. 5.如图，在中，点是边上的一点，连接， 垂 直平分线段，垂足为，交于点，连接 . 中考考法 16 （1）若，的周长为7，求 的周长； 中考考法 17 【解】垂直平分线段 ， ， . 的周长为7，即 ， . 的周长为 . 中考考法 18 （2）若 ， ，求 的度数. ， ， ， . . 又 ， . ， . . 中考考法 19 （第6题） 6. 如图，在中， ，分别以顶点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 和点，作直线分别与， 交于点 和点；以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于 点和点 ，再分别以点，点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 交于点，作射线 ，若射线恰好经过点 ， 则下列四个结论： ； 垂直平分线段 ；； . 其中，正确结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 中考考法 20 （第6题） 【点拨】由题可知 垂直平分线段 ， .由题可 知平分 ， ， . 中考考法 21 ，故①正确. ， ， 平 分，.又 ， 垂直平分线段 ，故②正确. ， ， ，故③正确. （第6题） 中考考法 ， .易知 ， ， 故④正确.故选D. （第6题） 中考考法 7. 如图，的两边， 的垂直平 分线分别交于点，，若 ，则 的度数是( ) B （第7题） A. B. C. D. 中考考法 24 （第7题） 【点拨】的两边， 的垂直平 分线分别交于点，， ， ， ①， . ， ， 由①②组成 中考考法 25 方程组 解得 （第7题） 中考考法 （第8题） 8. 如图，在 中， ，，，若点 从点出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 . 若点恰好运动到的垂直平分线上，则 的 值为_ ______. 或 中考考法 27 （第8题） 【点拨】作的垂直平分线，分别交, 于 点,,在 中， 当点运动到点 时，， ， .在 中，由勾股定理 得，即，解得 ;② 当点运动到点时， ， ，.综上所述，的值为或 . 中考考法 28 （第9题） 9.如图，在平面直角坐标系中， 的边 在轴上，且，点 的坐标为 ,点为的中点， 的垂直平分线交 轴于点，交于点，为线段 上一 动点，当的周长最小时，点 的坐标 为________. ， 中考考法 29 课堂小结 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理 判定定理 A B C M N P $