《1.3直角三角形》同步练习题2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.3直角三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．以下命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．对顶角相等 C．直角三角形两锐角互余 D．若，则 2．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 4．如图，已知，，垂足是D，则图中与互余的角有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，，B，E，C在一条直线上．下列结论：①是的平分线； ；③；④线段是的中线；⑤，其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ． 9．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 10．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 11．如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 12．如图，中，于，于，与相交于，若，，，则的大小是 ． 13．如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 14．如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则 ． 三、解答题 15．写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (2)已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． (3)偶数一定能被2整除． 16．如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（    ） 所以，（    ） 因为， 所以（    ）． 所以____________（    ）． 17．秋千问题 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点时，过点作于点．此时点到的距离． 【问题解决】当乐乐从处摆到处时，则有，过点作于点． (1)求证： (2)求的长． 18．在中，平分． (1)如图①，过点A作于点D．若，求的度数； (2)如图①，过点A作于点D，猜想与的数量关系，并说明你的理由； (3)如图②，F为上一点，过点F作于点D，直接写出与的数量关系． 19．如图①，在中，，，是上一点，，延长交于点．    (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)如图，连接，求证：平分． 20．已知，在中，，是中线，以为边在右侧作等边． (1)如图1，连接，交于点F． ①若，求的度数； ②求证：； (2)如图2，若点B、A、E在一条直线上，以为边在下方作等边，连接交于点P，试猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 参考答案 1．C 【分析】先根据四个选项的命题写出各自的逆命题，然后再逐一判定各个逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A、若，则的逆命题为若，则，显然可以举出一个反例，当时，，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； B、对顶角相等的逆命题为若两个角相等，则它们是对顶角，结合对顶角定义，相等角不一定是对顶角，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； C、直角三角形中两锐角互余的逆命题为在三角形中，若两个锐角互余，则该三角形为直角三角形，根据直角三角形的判定可知，该命题正确，是真命题，符合题意； D、若，则的逆命题为若，则，显然可以举出一个反例，当与互为相反数时，但，故逆命题为假命题，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查逆命题的书写，以及命题真假的判断，涉及不等式性质、对顶角、直角三角形的判定和等式的性质等知识，熟练掌握相关定义与性质是解决问题的关键． 2．C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 3．D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 4．B 【分析】根据直角三角形的性质和互余的定义，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 图中与互余的角有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，互余定义，找到与和为的角是关键． 5．C 【分析】分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 6．B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质(角互余)、全等三角形的判定与性质，同时涉及对顶角相等、线段的和差计算等基础几何知识，核心是利用全等三角形实现线段的等量转化．先通过直角三角形的角互余关系推出，再利用证明，得到，结合线段的和差进而得到的长度． 【详解】解：∵， ∴。 ∴，， ∴ ∵在和中， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 7．A 【分析】根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质依次分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故②正确； ∴， ∴是的平分线，故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴线段是的中线，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 故⑤错误； 不正确的有⑤， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8．如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题以及命题的改写，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：由题意，逆命题为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形 9． 面积相等的两个三角形全等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 10．58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 11．1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，等角的余角相等，掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：于，于， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 14．13 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点G作于点H，先证明,根据直角三角形的性质求出，再证明，求得，即可求得答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， ∵， ， ， ， ， , ，， ， ， 如图，过点G作于点H，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：13． 15．(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，假命题．反例：两个角都是，它们相等但不是直角． (2)逆命题：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角，假命题．反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． (3)逆命题：如果一个数能被2整除，那么它是偶数，真命题．证明见解析． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”，互换后逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角． （2）原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”，互换后逆命题为：已知两个角，如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角． （3）原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被2整除”，互换后逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数． 【详解】（1）解：原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”， 逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 逆命题为假命题， 反例：若两个角都是，它们相等但不是直角． （2）解：原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”， 逆命题为：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角， 逆命题为假命题， 反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）解：原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被 2 整除”， 逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数， 逆命题为真命题， 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 16．垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定即可得出答案． 【详解】证明：因为， 所以（垂直的定义） 所以，（直角三角形的两个锐角互余） 因为， 所以（ 等角的余角相等 ） 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，，，同位角相等，两直线平行． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，直角三角形的性质： （1）由垂直的定义可得，通过等量代换可得； （2）证明，可得． 【详解】（1）证明：于点于点于点， ， ，， ． （2）解：在和中， ， ， 的长为． 18．(1) (2)猜想：．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键 （1）由内角和定理得，由角平分线性质得，再根据直角三角形的性质可得，从而由可得答案； （2）由平分得，由得，根据可得答案； （3）作于G，则可得，由（2）知，即可得答案． 【详解】（1）解： ， ． 平分， ． ， ． 则． （2）解：猜想：．理由如下 平分， ． ， ． （3）解：． 如图，作于G， 由（2）可得， ，， ， ， ∴． 19．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，再结合，，利用即可得出结论； （2）由（1）可得，，由全等三角形的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可判断和的位置关系； （3）过点作交于点，则，由（1）可得，，于是可得，，又因，因而，再结合，利用可证得，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由（2）可得，则，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ； （2）解：，理由如下： 由（1）可得：，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，过点作交于点， ， 由（1）可得：，， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 由（2）可得：， ， ， 平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（，），等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．(1)①，②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形三线合一得出平分，且，设，则．在中，，，，再求解可得出结论； （2）过点E作于H，由等边三角形性质可得，，再求得，，即，再由等腰三角形性质可得，，可证得，从而得出，再由等边三角形的性质可得，，再证得，证明，可得，即．再证明可得出结论． 【详解】（1）解：①∵，是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴； ②证明：∵，是中线，是等边三角形， ∴平分，且，，， 设， 则． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解： 证明：如图，过点E作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵B、A、E在一条直线上，，， ∴，， 即， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 又∵， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $