19.3 二次根式的加法与减法 教学评一体化设计（教学案+导学案+测评练习 ）2025-2026学年人教版数学八年级下册

《19.3二次根式的加法与减法》教学评一体化设计 （教学案+导学案+测评练习及答案） 一、教学案 （一）课题 19.3二次根式的加法与减法 （二）课时安排 2课时 第1课时：同类二次根式与二次根式的加减 第2课时：二次根式的混合运算 （三）学科素养目标 1.数学抽象 通过对二次根式结构特征的观察，抽象出同类二次根式的概念，发展符号意识与抽象概括能力。 2.逻辑推理 经历类比整式加减运算的过程，理解二次根式加减的本质是合并同类二次根式，能清晰说明运算依据，提升合情推理与演绎推理能力。 3.数学运算 掌握二次根式加减运算的步骤：先化简，再判断，后合并；能熟练进行加减及混合运算，养成规范、严谨、准确的运算习惯。 4.数学建模 能运用二次根式加减解决几何计算、实际问题，体会数学与生活的联系，建立运算模型思想。 5.运算素养与反思意识 形成“先化简、再运算、最后检查”的思维习惯，能主动纠错，提升运算准确性与综合运算能力。 （四）教学重难点 1.教学重点 （1）同类二次根式的概念与判断方法。 （2）二次根式加减运算的法则、步骤与规范书写。 （3）二次根式加减及混合运算的正确运算。 2.教学难点 （1）准确识别同类二次根式，明确非同类二次根式不能合并。 （2）运算前先将所有二次根式化为最简二次根式。 （3）二次根式混合运算中运算顺序、符号处理与公式应用。 （4）避免出现类典型错误。 （五）教学方法 1.类比迁移法：类比整式同类项合并，理解同类二次根式概念与加减法则，降低认知难度。 2.探究发现法：通过观察、猜想、验证、归纳，引导学生自主得出二次根式加减运算规律。 3.讲练结合法：例题示范与分层练习同步推进，及时巩固、及时纠错。 4.小组合作法：在判断同类二次根式、混合运算探究中开展小组讨论，促进互助学习。 5.问题驱动法：以典型错题、易错辨析、实际问题为导向，强化运算理解与应用意识。 （六）教学过程 第1课时同类二次根式与二次根式的加减 1.复习导入（5分钟） （1）回顾提问：最简二次根式的两个条件是什么？ （2）快速化简：、、、。 （3）引导观察：化简后有什么共同特征？引出同类二次根式概念，导入新课。 2.探究新知（20分钟） （1）同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 判断步骤：①化为最简；②看被开方数。 （2）二次根式加减法则 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式合并。 本质：与合并同类项一致，只把系数相加减，根式部分不变。 （3）例题示范 例1计算： 解：原式 例2计算： 解：原式 例3计算： 解：原式 例4辨析：判断下列运算是否正确，若错误请改正 （1）（错误，非同类二次根式不能合并） （2）（错误，合并时根式部分不变，改正：） 例5计算： 解：原式 强调：只有同类二次根式才能合并，非同类不能合并；所有二次根式必须先化为最简，再判断合并。 3.巩固练习（15分钟） （1）基础练习：判断同类二次根式。 （2）计算练习：纯加减运算。 （3）易错辨析：指出这类错误。 4.课堂小结（5分钟） （1）同类二次根式：最简后被开方数相同。 （2）二次根式加减三步：一化简、二判断、三合并。 （3）易错点：非同类二次根式不能合并，化简要彻底。 第2课时二次根式的混合运算 1.复习导入（5分钟） 回顾二次根式加减法则，快速口算简单加减题；回顾整式混合运算顺序，类比引出二次根式混合运算。 2.探究新知（20分钟） （1）运算顺序 与整式混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。 （2）运算律 加法交换律、结合律，乘法分配律同样适用。 （3）例题示范 例1计算： 解：原式 例2计算： 解：原式 例3计算： 解：原式 例4计算： 解：原式 例5计算： 解：原式 强调：结果必须化为最简二次根式；灵活运用乘法公式可简化运算；注意运算顺序和符号处理。 3.巩固练习（15分钟） 分层练习：基础运算、混合运算、整式公式类运算。 4.课堂小结（5分钟） （1）混合运算顺序不变。 （2）能用公式尽量用公式简化运算。 （3）结果必为最简，注意符号和运算步骤规范。 （七）板书设计 19.3二次根式的加法与减法 一、同类二次根式 最简后，被开方数相同 二、加减法则 先化简→再合并同类二次根式 三、混合运算 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减（有括号先算括号） 2.公式：； 3.关键：化简彻底、符号正确、结果最简 二、导学案 （一）学习目标 1.理解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式。 2.掌握二次根式加减运算步骤，能正确进行加减运算。 3.会进行二次根式混合运算，能运用运算律与乘法公式简化计算。 4.养成先化简、再运算、后检查的良好习惯。 （二）学习重难点 1.学习重点 （1）同类二次根式的概念与判断。 （2）二次根式加减运算步骤与规范运算。 2.学习难点 （1）准确识别同类二次根式。 （2）混合运算中运算顺序、公式运用与化简。 （3）避免化简不彻底、错误合并等典型错例。 （三）学习过程 1.课前预习 （1）最简二次根式满足：①不含分母；②不含开得尽方的因数或因式。 （2）化简下列各式： 　　　　　　　　 　　　　　　　　 2.课堂探究一：同类二次根式 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同。 练习：下列各组中，是同类二次根式的打√ （1）与　　（2）与 （3）与　　（4）与 3.课堂探究二：二次根式加减 步骤： 第一步：全部化为最简二次根式 第二步：找出同类二次根式 第三步：合并同类二次根式 例题： 课堂练习： （1） （2） （3） （4） （5） 4.课堂探究三：混合运算 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号。 公式：　 例题： 练习： （1） （2） （3） （4） 5.课堂小结 （1）只有同类二次根式才能合并。 （2）加减三步：化简、判断、合并。 （3）混合运算按顺序，能用公式用公式。 （4）结果一定是最简二次根式。 （四）课后作业设计 导学案课后作业 一、基础题（侧重同类二次根式判断、二次根式加减计算） 1.判断下列各组二次根式是否为同类二次根式（是打√，否打×）： （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 （5）与 （6）与 2.计算： 3.计算： 4.计算： 5.计算： 6.计算： 二、提高题（侧重混合运算、乘法公式运用） 1.计算： 2.计算： 3.计算： 4.计算： 三、拓展题（侧重几何边长、面积实际应用） 1.已知一个矩形的长为，宽为，求该矩形的周长和面积。 2.一个等腰三角形的腰长为，底边长为，求该三角形的周长。 3.已知一个正方形的面积为18，求该正方形的边长及对角线的长度（结果化为最简二次根式）。 4.一个直角三角形的两条直角边长分别为和，求该三角形的斜边长和面积。 导学案课后作业答案 一、基础题答案 1.（1）√（2）√（3）√（4）√（5）√（6）√ 2.原式 3.原式 4.原式 5.原式 6.原式 二、提高题答案 1.原式 2.原式 3.原式 4.原式 三、拓展题答案 1.周长：；面积： 2.周长： 3.边长：；对角线长： 4.斜边长：；面积： 三、测评练习及答案 测评练习 一、选择题 1.下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A.　B.　C.　D. 2.计算的结果是（　　） A.　B.　C.　D. 3.下列运算正确的是（　　） A.　B. C.　D. 4.计算的结果是（　　） A.　B.　C.　D. 二、填空题 1.化简：　　　　。 2.计算：　　　　。 3.计算：　　　　。 4.计算：　　　　。 三、解答题 1.计算： （1） （2） 2.计算： （1） （2） 3.已知一个矩形长为，宽为，求周长。 4.计算： 测评练习参考答案 一、选择题 1.B　2.C　3.D　4.A 二、填空题 1.　2.　3.　4. 三、解答题 1.（1）原式 （2）原式 2.（1）原式 （2）原式 3.周长 4.原式 学科网（北京）股份有限公司 $