正态分布及其考题透析讲义-2026届高三数学二轮专题复习

正态分布及其考题透析讲义 正态分布是客观物质世界中最常见、最重要的一种分布，它广泛存在于自然界、社会生产与生活、科学研究与实践等领域,是概率研究和统计分析方法的基础，因此在概率与统计中占有十分重要的地位.对于正态分布，考试大纲作了明确要求：利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.下面通过举例来帮助同学们理解正态曲线的特点，并学会掌握一些正态分布常考题型的解法. 知识梳理 1.正态分布的定义 若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为,则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作,读作服从,或服从正态分布.通常称式中参数分别表示随机变量总体的平均数和标准差，这个总体是无限容量的抽象总体,把这个正态变量的概率密度函数的图象称作正态曲线. 2.正态曲线的性质 (1)曲线位于轴上方,与轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线对称.(3)曲线在处达到峰值.(4)曲线与轴之间的面积为.(5)当时，曲线上升；当时，曲线下降.且当曲线向左、右两边无限延伸时，它向轴无限接近,轴是它的渐近线.(6)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴方向平行移动. (7)当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1).(2).(3).另外,总有:. 4.准则 从理论上来说服从正态分布的随机变量的取值范围为,但事实上在区间外取值的概率只有不足,由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件，在实际中常常认为这些情况在一次试验中几乎不可能发生.因此往往认为的取值是个有限区间，几乎全部集中在内,这在统计学上称作“准则”(倍标准差原则).在企业生产与管理中,经常应用这个准则进行产品质量检测和工艺品生产过程质量控制.在具体解题时要以试题中给的标准为依据. 5.标准正态分布 定义的正态分布为标准正态分布.若随机变量服从标准正态分布，记为.标准正态分布的概率密度函数常表示为；其概率分布函数常表示为. 标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，其转化定理为:若,则.若随机变量服从标准正态分布,就可通过查“标准正态分布表”得出其概率值；在“标准正态分布表”中,相应于的值是指总体取值小于的概率,即；若,则. 通过查“标准正态分布表”，就能解决一般正态分布的概率计数问题.(1)若,则.(2)若,，则. 典例分析 题型一、正态分布密度函数的图象与性质应用 例1.(1)某学校有名学生参加物理考试(满分:100分),若学生考试成绩服从正态分布,其密度函数曲线如下图,则成绩位于区间上的学生人数大约有( ) A. B. C. D. (2)设,,这两个正态密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) A. B. C.对任意正数, D.对任意正数, 【解析】(1)由于服从正态分布,设其密度函数,由图形得,峰值点,从而有,即.则 ,从而有,即成绩位于区间上的人数约有.故选D. (2)对于A，因为正态分布曲线关于直线对称，所以，所以 ；故A错误.对于B，因为的正态分布密度曲线比的正态分布密度曲线更“高瘦”，所以,所以；故B错误.对于C,在轴右侧任意作一条垂直于轴的直线,总有的正态分布密度曲线与轴之间围成的图形面积都大于的正态分布密度曲线与轴之间围成的图形面积,即对任意正数,；故C正确.对于D,因总成立，则 ；故D错误.故选C. 【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，是一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量；在一个正态分布的概率密度函数的解析式中,确定曲线对称轴的位置,而决定曲线的形状和最大值有关.要善于结合正态曲线的图形特征,并牢记正态曲线的有关性质,解题时才能灵活运用它们达到事半功倍之效. 【跟踪训练1】(1)设有一正态总体,它的正态曲线是函数的图象,且；若,则的平均值与方差分别是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 (2)设随机变量服从正态分布,若,则的值等于( ) A. B. C. D. 题型二、正态分布中的有关计算 例2.(1)若随机变量,且,则________． (2)如图,在边长为的正方形中随机投掷个点,则落入阴影部分(曲线段是正态分布的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值( ) (附:若,则, ) A. B. C. D. 【解析】(1)因,则正态曲线的对称轴,则有 ,故.故填. (2)依题意设,可得.则图中阴影部分的面积 ,由几何概型知,点落入阴影部分的概率为.则落入阴影部分的点个数约有 .故选A. 【点评】欲求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率时,只需借助正态曲线的图象与性质来解；根据图象的对称性,当时必然有,且反之亦然,这是解决问题的关键所在. 【跟踪训练2】(1)已知随机变量,且,则等于( ) A. B. C. D. (2)在一次高二联考中,某校学生的数学成绩(单位:分)服从正态分布,且在区间上的概率为,若该校高二有名学生参加这次联考,则其中数学成绩不及格(分数小于分)的学生人数估计有( ) A.人 B.人 C.人 D.人 题型三、准则在实际问题中的应用(小概率事件) 例3.(1)某儿童科研机构对同一地区同性别的年龄和身高均相同儿童的体重(单位:)进行研究后,得出如下结论:若随机变量服从正态分布,则定义的取值在区间内的儿童体重称为“理想体重”.经研究得出北京市周岁身高为男儿童的体重,在这类男儿童中测量出甲、乙两儿童的体重分别为和,则可判断( ) A.甲、乙的体重均理想 B.甲的体重理想,乙的体重非理想 C.甲、乙的体重均非理想 D.甲的体重非理想,乙的体重理想 (2)在正态分布中，数值落在内的概率为( ) A. B. C. D. 【解析】(1)由于正态总体在区间以外取值的概率只有不足,在实际中常常认为这些情况是不会发生的,是小概率事件.一旦小概率事件发生,就认为情况不正常. 依题意,得.则,从而知甲的体重理想,乙的体重非理想.故选B. (2)易知,,即.则 .故选A. 【点评】“准则”是人们通常意义上所说的小概率事件的标准,但在实际操作中应以具体规定为准.一般选用作为标准,数值在此范围内情况正常,否则就认为情况异常.有时也会选用这个标准,而基本不选用这个标准. 【跟踪训练3】(1)超市销售的某种包装大米的重量(单位:)服从正态分布,若任选一袋这种大米,则重量在间的概率是________． (2)某工厂生产的一种零件的外直径(单位:)服从正态分布,若该工厂生产这种零件共有10000个,则外直径在间的零件个数约有( ) A. B. C. D. 题型四、正态分布的综合应用 例4.假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过的概率为.(1)求的值；(参考数据:若,有,, .)(2)某客运公司用两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.两种车辆的载客量分别为人和人，从甲地去乙地往返的营运成本分别为元/辆和元/辆，公司拟组建一个不超过辆车的客运车队，并要求型车不超过型车辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地往返的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆? 【解析】(1)因随机变量服从正态分布,则有.从而知.由正态分布曲线的对称性,可得.(2)设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本.依题意知,还需满足:,,且.由(1)知，,故等价于.于是问题转化为求满足约束条件,且使目标函数取得最小值的.作出约束条件的可行域如图所示,可解得可行域的三个顶点坐标分别为.结合图形分析可知，当直线经过可行域的点时，直线在轴上的截距最小，即此时取得最小值.故应配备型车辆、型车辆.            【点评】本题是一道考查正态分布曲线及其性质与线性规划问题的综合试题.第(1)问是根据正态分布中随机变量在倍标准差范围内的概率进行计算；第(2)问是线性规划问题,由,将等价转化为是解题的难点和突破口,接下去的求解就是水到渠成的事了，由题意列出线性约束条件,画出可行域,并结合图形找出目标函数的整数最优解.  【跟踪训练4】从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；(ii)某用户从该企业购买了件这种产品,记表示这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数.利用(i)的结果,求的数学期望. 附：若，则且. 题型五、标准正态分布的广泛应用 例5.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶部碰头的概率在以下来设计的.设成年男子的身高(单位:)服从正态分布,问车门高度应如何设计才符合要求? 【解析】设车门高度为(单位:).按设计合理要求需满足即可,它等价于,下面需求出满足上式的最小值.因为,作标准化变换得,则有.可查标准正态分布表得,从而得,即得().故设计车门高度至少为时,可使成年男子与车门碰头的概率不超过. 【点评】正态分布有极其广泛的实际背景,在生活、生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.但在解决许多实际问题时,需将一般正态分布的随机变量“标准化变换”为标准正态分布的随机变量,然后通过查“标准正态分布表”求出所需问题的值. 【跟踪训练5】由一项医学实验研究得到某地婴儿出生的体重(单位:)近似服从正态分布,试估计该地区当年出生低体重儿(出生体重)所占婴儿的比例是多少? 跟踪训练参考答案 1.(1)B 由正态概率密度函数易得，而，解得.由期望和方差性质得,. (2)C 由正态分布曲线可知,曲线的对称轴为,于是有,得. 2.(1)D 由于正态曲线关于直线,易得,从而有. (2)B 依题意知,,而,则得.故数学成绩不及格的学生人数估计有人. 3.(1) 由于,得,故有 . (2)C 因得.则 ,于是有,故外直径长度在间的零件共约有个. 4.(1)抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 . . (2)(i)由(1)得,即,故知.从而. (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间内的概率.依题意知,故由二项分布的期望公式,得. 5.依题意，由于该地婴儿出生的体重(单位:)近似服从正态分布,作标准化变换得.则,查标准正态分布表得,即.故可估计该地区当年出生低体重儿所占婴儿的比例为. 学科网（北京）股份有限公司 $