专题6.3 频数与频率（4大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

专题6.3 频数与频率 知识点1：频数与频率的核心概念 1.频数：统计数据时，某个对象（或数据组）出现的次数叫做该对象的频数（如一组数据中“5”出现8次，“5”的频数为8）。 2.频率：频数与数据总数（或总次数）的比值叫做频率，公式为：（频率用小数或百分数表示）。 3.关键关系： 所有对象的频数之和=数据总数； 所有对象的频率之和=1（或100%）； 已知其中两个量（频数、频率、数据总数），可通过公式求出第三个量。 知识点2：频数分布表的制作与解读 1.制作步骤： 算极差：最大值-最小值（确定数据变化范围）； 定组距与组数：组距为每组数据的间隔（通常相等），组数根据数据总数和极差确定（一般分5~12组），公式参考：（若结果不为整数，组数取大于该值的最小整数）； 划记统计：将数据按组归类，用“正”字等方式统计每组频数； 列表格：包含组别、划记、频数、频率（可选）等栏目。 2.解读要点： 明确每组边界（注意“含最小值不含最大值”或“含最大值不含最小值”的约定）； 通过频数分布表快速获取每组数据的出现次数，分析数据分布特征。 知识点3：频数分布直方图的特点与绘制 项目 具体内容 定义 以横轴表示数据分组，纵轴表示频数，用连续排列的长方形高度反映每组频数的统计图 与条形统计图的区别 1.长方形连续排列（无间隔），体现数据的连续性； 2.横轴为数据范围（分组），纵轴为频数； 3.条形统计图横轴为具体类别，长方形有间隔 绘制步骤 1.依据频数分布表确定横轴（分组区间）和纵轴（频数刻度）； 2.按每组频数绘制长方形（宽度为组距，高度为频数）； 3.标注标题、横轴/纵轴名称及单位 知识点4：频数分布相关计算 1.组中值：每组数据的中间值，公式为：（用于估算数据总和）； 2.总体估计：用样本的频数分布特征（如频率、频数占比）估算总体中相应数据的情况，公式为：。 【基础必考题型】 【题型1】频数与频率的基础计算 1.核心知识点 频数、频率、数据总数的关系（）； 频数之和、频率之和的性质。 2.解题方法技巧 公式逆用：已知频数和数据总数求频率，或已知频率和数据总数求频数； 验证检验：计算后通过“频数之和=数据总数”“频率之和=1”验证结果正确性。 【例题1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）在数字“2026002026”中，数字“2”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率频数总次数是解答本题的关键．根据频率频数总次数，进行计算即可得到最后答案． 【详解】解：数字中，一共有个数字，其中有个， ， 在数字中，数字“”出现的频率是， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）年月日，十四届全国人大常委会第十八次会议作出决定，以法律形式将月日设立为台湾光复纪念日．则数据“”中“”的频数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数的定义，频数是指某个数据在总体中出现的次数，据此即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：数字“”中，数字“”出现在第位、第位和第位，因此共出现次，则频数为， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，频率的计算，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 先判断每个数是否为无理数，统计无理数的个数，再根据频率=无理数个数÷总个数计算频率即可得出结果． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数； ，是无理数，∴是无理数； ，是整数，属于有理数； 中是无理数，∴是无理数； 是循环小数，属于有理数； ∴无理数共有2个，总共有5个数， ∴无理数出现的频率为， 故选C． 【变式题1-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）榕榕对本班同学就“你喜爱什么电视节目”展开调查，全班同学都填写了调查问卷，每位同学只能选取其中的一类：A．新闻；B．体育；C．影视；D．综艺． 收集后得到如下数据： (1)请完成下列频数分布表： 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 (2)由上表可知，喜欢体育类节目的同学出现的频数是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了频数的概念、频数分布表的制作与读取，熟练掌握数据的统计与频数分布表的使用方法是解题的关键． （1）先对题干中给出的所有调查数据进行逐一统计，分别数出 A（新闻）、B（体育）、C（影视）、D（综艺）四个类别的出现次数，再将结果填入频数分布表． （2）直接从第（1）小题完成的频数分布表中，提取 “体育” 类别对应的频数即可． 【详解】（1）解：喜欢新闻的人数为4人，即频数为4；喜欢体育的人数为8人，即频数为8；喜欢影视的人数为14人，即频数为14；喜欢综艺的人数为14人，即频数为14； 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 4 8 14 14 （2）解：喜欢体育类节目的同学出现的频数是：． 【题型2】频数分布表的解读与补全 1.核心知识点 频数分布表的结构与制作步骤； 组距、组数、极差的关系。 2.解题方法技巧 补全思路：先根据已知组的频数和频率求出数据总数，再推算缺失组的频数（数据总数-其他组频数之和）； 边界注意：明确每组的包含范围，避免数据归类错误。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）某校随机调查了20名同学每周的课外阅读时间，结果如下（单位：小时）： 4，5，6，3，4，5，7，6，4，5，3，5，4，6，5，7，4，5，6，4 整理数据，填写下表： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 【答案】2,6,6,4,2 【分析】利用唱票法，解答即可． 本题考查了数据的整理，熟练掌握数据的整理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，数据整理如下： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 2 6 6 4 2 故答案为：2,6,6,4,2． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某女子排球队的30名运动员的身高情况如下表，填写下表中的“组中值”． 身高 人数 组中值 4 10 9 7 【答案】， ，，． 【分析】组中值是每个身高区间的中点值，通过计算每个区间的下限和上限的平均值得到； 本题考查了组中值的计算，熟练掌握组中值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为． 故答案为：，，，． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 尺码（） 销量（双） 根据上表，现有下列说法：①频数最大的尺码是；②频数最大的尺码是；③建议这家鞋店适当多进尺码为的鞋；④总销量是（双）．其中正确的说法有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查频数的概念及统计知识在实际销售中的应用，需明确频数是每个尺码对应的销售数量，再结合表格数据逐一判断说法正误． 【详解】解：由表格可知，尺码的销量为双，是所有尺码中销量最高的，即频数最大的尺码是， ①正确，②错误． 尺码的销量为双，占总销量的大部分， 建议适当多进该区间的鞋，③正确． 总销量是各尺码销量之和，即双，而非尺码数值之和，④错误． 综上，正确的说法是①③， 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·周测）为了了解某地八年级男生的身高情况，从当地某学校八年级学生中随机选取了60名男生统计身高情况．60名男生的身高（身高均为整数，单位：cm）分组情况如下表所示，则表中a，b的值分别为（    ） 分组 147.5～157.5 157.5～167.5 167.5～177.5 177.5～187.5 频数 10 26 a 频率 0.3 b A．18，0.3 B．6，0.3 C．18，0.1 D．6，0.1 【答案】C 【分析】本题考查了频率与频数的基本关系，掌握频数=频率×总数，频率=频数÷总数是解题的关键． 利用频率与频数的关系及总频数等于总人数求解． 【详解】解：∵总人数为，第三组频率为， ∴， ∵总频数之和为， ∴第四组频数， ∴， ∴． 故选：C． 【题型3】频数分布直方图的读数与简单计算 1.核心知识点 频数分布直方图的结构与含义； 横轴分组、纵轴频数的解读。 2.解题方法技巧 精准读数：根据长方形的高度对应纵轴刻度，获取每组频数； 简单运算：计算某几组频数之和、某组频率（频数÷数据总数）等。 【例题3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数直方图，则捐款人数最多的一组是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查频数分布直方图，读懂频数分布直方图．根据直方图中的数据可得答案． 【详解】解：由直方图可得，捐款人数最多的一组是元，有20个人， 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·期末）某班随机抽取10名学生的晚上睡眠时间，整理后分成四组，绘制成如图所示的频数直方图．其中2名同学的睡眠时间分别用字母a ，b代替，数据如下：6.5；a； b；7；7.5； 8；8.5；8.5；8.5；9．若，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】根据题目中所给的数据，结合频数直方图每一组的频数进行分析即可得解． 本题主要考查了频数分布直方图，能够读懂频数分布直方图是解题的关键． 【详解】解：由频数分布直方图可知，分成的四组的频数为：6 ~7组人数为1；7~8组人数为3；8~9组人数为5；9~10组人数为1．根据所给数据可知6 ~7组1人即是6.5；9~10组1 人为9；7~8组人数为3，尚缺一人；8~9组人数为5尚缺一人．所以a在7~8组，所以． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）每年的4月日是中国航天日．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“格物致知，叩问苍穹”的太空科普知识竞赛．学校随机抽取了七年级部分同学的竞赛成绩进行整理，分成五组：A组：分以下；组：分；组：分；组：分；组：分．每个组都含最小值，不含最大值，例如组包括分，但不包括分，并绘制了如图所示的频数直方图，扇形统计图．(图表信息不完整) 请结合以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了_____名七年级学生的竞赛成绩，其中组人数为_____； (2)扇形统计图中组对应的圆心角的度数为_____； (3)已知该校七年级共有名学生，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】(1)，； (2)； (3)人 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合应用，关键是从两种统计图中获取信息，利用“总数=频数÷频率”“圆心角频率”“用样本估计总体”等知识点来解题． （1）先根据组的频数和频率求出总人数，再根据组的频率求出组人数； （2）先求出组的频率，再计算对应的圆心角； （3）先求出样本中不低于分的频率，再用全校总人数乘以该频率进行估计． 【详解】（1）解：∵组频数为，占比， ∴总人数为； ∵组占比， ∴组人数为； 故答案为：，． （2）解：∵组频数为5，总人数为， ∴组频率为， ∴组对应的圆心角为； 故答案为：． （3）解：∵不低于分的是组和组，频数分别为和8， ∴样本中不低于分的频率为， ∴估计七年级不低于分的学生人数为(人)； 答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为人． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）周末，数学兴趣小组在某雷达测速区监测到的汽车时速数据中，随机抽取了100辆进行整理，得到频数分布表（每组数据中包含最小值，不包含最大值）和如图所示的频数直方图（不完整）． 时速（千米/时） 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 频数（辆） 5 30 40 10 (1) ，补全频数直方图； (2)若该雷达测速区位于市区（要求时速必须低于60千米/时），求超速车辆所占的百分比． 【答案】(1)，补全直方图见解析 (2) 【分析】本题考查调查方式，频数分布表与分布图，通过统计图表获取信息是解题的关键． （1）将抽样的样本容量100减去其他各组的频数，即可求出n的值，进而补全频数分布直方图； （2）将超速的汽车数量除以总数100即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为： 补全频数分布直方图如下： （2）解：， 答：超速车辆所占的百分比为． 【题型4】组数与组距的确定 1.核心知识点 极差、组距、组数的关系； 频数分布表的分组原则。 2.解题方法技巧 先算极差：最大值-最小值； 合理定组距：根据数据特点和总数选择合适组距（如数据为整数时，组距可设为5、10等）； 计算组数：按公式估算，确保组数在合理范围（5~12组）。 【例题4】.（21-22八年级下·全国·单元测试）在频数分布直方图中，每个小长方形的横宽和纵高分别是该小组的（    ） A．频数和组距 B．组距和频率 C．频率和频数 D．组距和频数 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图的意义和画法判断即可． 【详解】解：在频数分布直方图中， 每个小长方形的横宽指的是组距，纵高指的是频数， 故选D． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，解决本题的关键是了解频数分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图． 【变式题4-1】.（22-23七年级下·陕西渭南·期末）某班名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，每组组距相等，则组距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频数分布直方图，解题的关键是掌握组距的概念．根据组距的概念求解即可． 【详解】解：由题意可得，组距为（）， 故选：B． 【变式题4-2】.（23-24七年级下·广东广州·期末）某校为了调查七年级学生“解二元一次方程组”的运算能力，从七年级名学生中随机抽取名学生参加测试，对这名学生同时进行“解道二元一次方程组”的考查，每做正确道题得分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布直方图如下图表： 组别 成绩/分 频数/人 第组 第组 第组 第组 第组 请结合图表完成下列各题： (1)频数分布直方图中的组距，和的值分别是（    ） ．组距是，，                        ．组距是，， ．组距是，，                        ．组距是，， (2)若根据测试成绩绘制扇形图，第组值所对应的圆心角是（    ） ．               ．                    ．                   ． (3)若测试成绩高于分为合格，估计该校七年级学生在这次测试中的合格人数是（    ） ．                  ．                   ．                 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）频数分布表和频数分布直方图即可求解； （）用乘以第组的人数占比即可求解； （）用乘以成绩高于分的人数占比即可求解； 本题考查了频数分布表和频数分布直方图，样本估计总体，看到统计图表是解题的关键． 【详解】（1）解：由频数分布表可得组距， 由频数分布直方图可得， ∴， 故选：； （2）解：第组值所对应的圆心角为， 故选：； （3）解：， ∴估计该校七年级学生在这次测试中的合格人数人， 故选：． 【变式题4-3】.（2023八年级上·山东滨州·竞赛）2023年10月，滨州市各中小学开展了“书香传承慧读滨州”系列读书活动，活动期间，某中学开展了主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解全校1200名学生一年内阅读书籍的数量，从中随机抽取50名学生进行调查统计，绘制出如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 0.08 a b 16 0.32 6 c 10 0.20 合计 50 1.00 (1)请根据题中已有的信息求出a，b，c的值，并补全频数分布直方图． ______，______，______． (2)观察频数分布表或频数分布直方图，你发现该校整理数据时选择的组距是多少？这个组距是否合理？请判断并说明理由．______． (3)阅读书籍数量在15本以上（含15本）的学生将获得“阅读达人”的称号，请你根据样本估计该校能荣获此称号的学生大约有多少人． 【答案】(1)14，，；图见解析 (2)组距为5，这个组距选择比较合理，理由见解析 (3)该校能荣获此称号的学生大约有384人 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的互补性，补全频数分布直方图，用样本估计总体，是解决问题的关键， （1）根据直方图中的数据用数据总数减去其余各组频数可以得到a，根据组中的数据可以分别求得b、c的值； （2）根据频数分布表及频数分布直方图即可求解； （3）根据组和组中的频率和，可以计算出该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， 故答案为：14，，； 补全的频数分布直方图，如下图所示； （2）解：组距为5，这个组距选择比较合理，理由如下： 确保了数据不重不漏，且没有数据为空白的组，比较好的展示了数据的分布情况； （3）由题意可得，该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有：（人）， 答：该校能荣获此称号的学生大约有384人； 【培优高频题型】 【题型5】频数、频率与统计图的联动应用 1.核心知识点 频数分布表与频数分布直方图的信息转化； 频率与扇形统计图的结合（频率×360°=对应扇形圆心角）。 2.解题方法技巧 信息互补：从一种统计图获取数据总数、某组频数等，补全另一种统计图； 圆心角计算：若结合扇形统计图，某组对应圆心角=该组频率×360°。 【例题5】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是， b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的学生总数的值为___________ (2)补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度； (4)百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)48 (4)1020 【分析】本题主要考查了用样本估计总体的思想，补全频数分布直方图，求扇形圆心角的度数，条形统计图和扇形统计图的综合问题， 对于（1），根据D组的人数及其所占的百分比可得调查的学生人数； 对于（2），先求出C组的人数，再补全统计图即可； 对于（3），先求出B组所占的百分比，再乘以得出答案； 对于（4）用总人数乘以样本中睡眠时间在9小时以上的百分比可得答案． 【详解】（1）解：， 所以本次调查的学生总人数为30人； 故答案为：30； （2）解：，可知C组的人数有7人； 补全频数分布直方图如下： （3）解：， 所以B组所在扇形区域的圆心角为； 故答案为：48； （4）解：， 所以睡眠时间在9小时及以上的学生有1020名． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校为弘扬非遗文化，计划开设特色非遗活动．受时间限制，每位学生只能参加一类活动．为了解学生对扎染、剪纸、皮影三类活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了统计图如图． 根据图中信息，回答下列问题： (1)此次调查一共随机抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中剪纸对应扇形圆心角的度数； (3)若该校共有名学生喜欢这三类非遗活动，请估计喜欢扎染和皮影的学生的总人数． 【答案】(1)；见解析； (2)； (3)估计喜欢扎染和皮影的学生的总人数约人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，熟练掌握从统计图表中获取信息、扇形圆心角计算以及用样本估计总体的方法是解答本题的关键． （1）利用扎染的人数及其所占百分比，求出调查的总人数，再用总人数减去扎染和皮影的人数，得到剪纸的人数，从而补全条形统计图； （2）根据剪纸的人数占总人数的比例，结合扇形圆心角的计算公式，求出对应扇形圆心角的度数； （3）先计算出样本中喜欢扎染和皮影的学生所占的比例，再用全校总人数乘以该比例，估计全校喜欢这两类非遗活动的学生总人数． 【详解】（1）解：此次调查一共随机抽取了学生：（名）， 喜欢剪纸的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：； （2）解：， 答：扇形统计图中剪纸对应扇形圆心角的度数为； （3）解：（人）， 答：估计喜欢扎染和皮影的学生的总人数约人． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》中指出要促进人口高质量发展，健全养老事业和产业协同发展政策机制某社区积极响应“积极应对人口老龄化，关爱老年人健康”的号召，随机抽取了本社区名岁以上老年人，对其每日户外活动时间及主要活动类型进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷（1）您平均每日户外活动时间大约是________小时． （2）您户外活动的主要类型是________．（单选） A．散步、慢跑   B．广场舞、太极拳等集体活动   C．下棋、聊天等休闲活动   D．其他 平均每日户外活动时间分为组，分别是；；；． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数直方图，并求出活动时间大于等于小时的人数占调查人数的百分比； (2)在扇形统计图中，类型所占的圆心角为________度； (3)根据调查结果，请你为社区老年人活动中心提出一条活动安排建议． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，圆心角的计算，读懂题意，准确获取图中信息是解答的关键． （1）用抽取的总人数减去已知的组的人数，求出活动时间的人数，即可补全频数分布直方图；用样本中活动时间大于等于小时的人数除以样本容量即可得到百分比； （2）用类型所占的百分比乘以即可； （3）根据（1）中求出的活动时间大于等于小时的人数占调查人数的百分比给出合理的建议，答案不唯一． 【详解】（1）解：活动时间的人数为：（人）； 补全频数直方图如图所示： 活动时间大于等于小时的人数占调查人数的百分比为； （2）解：类型所占的圆心角为； 故答案为：； （3）解：该社区有的老年人平均每日户外活动时间大于等于小时，说明该社区老年人有较强的户外活动意愿，建议继续推广目前广受欢迎的活动，同时增加适合老年人其他休闲活动类型，满足不同兴趣需求（答案不唯一）． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·重庆·期末）为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年  月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（    ）（单选）． （A）漆扇摇香    （B）花漾手作    （C）宋韵点茶    （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，________，________； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； (3)请补全条形统计图； (4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 【答案】(1)50，30 (2)72 (3)见解析 (4)100 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，根据部分求总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据部分的实际数据和占比求总数即可，根据部分实际数据和总数求占比即可； （2）用周角度数乘其占比即可求出圆心角度数； （3）求出“B”所对应的人数，再补全条形统计图即可； （4）根据样本频数求出总体频数即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：50，30； （2）解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； （3）解：“B”所对应的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （4）解：（人） 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人． 【题型6】基于频率稳定性的总体估计 1.核心知识点 频率的稳定性（大量重复试验中，频率趋近于概率/固定值）； 样本频率估计总体的方法（总体数量×样本稳定频率）。 2.解题方法技巧 找稳定频率：通过统计图或表格，识别频率趋于稳定的数值（如树苗成活率稳定在0.9）； 估算计算：用总体总数×稳定频率，得到总体中某部分的估计数量； 验证合理性：结合样本代表性，确认稳定频率的可信度（样本容量越大，估计越准确）。 【例题6】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活 棵． 【答案】36000 【分析】根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在，解答即可． 本题考查了频率估计总体，熟练掌握频率的意义是解题的关键． 【详解】解：根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在， 故40000棵这种树苗成活数量为：（棵）， 故答案为：36000． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·重庆渝中·期末）某农业种植园引进了一种新型辣椒，为了解该品种辣椒的挂果情况，随机抽查若干株，记录下它们的挂果数量x（单位：个），并绘制如下统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 百分比 8 16 a 24 12 合计 请结合图表中的信息解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)已知种植园共种植新型辣椒株，估计挂果数量在“”的辣椒有多少株？ 【答案】(1) (2)见详解 (3)挂果数量在“”的辣椒约有株 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本容量，样本估算总体数量的计算是关键． （1）运用某项求样本容量， （2）根据计算得到（株），由此即可补全图形； （3）根据样本估算总体数量即可求解． 【详解】（1）解：频数为株，百分比为， ∴， ∴（株）， ，即， 故答案为：； （2）解：（株）， 补全图形如下， （3）解：（株）， ∴挂果数量在“”的辣椒约有株． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）太谷区某中学开展《将“具身智能”的种子，播撒进中学课堂里》的社团活动．该社团为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是___________．（单选） A．学习管理        B．健康管理 C．时间管理        D．其他问题 问题2：你每周使用智能软件的时间是___________分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 正正正正正 正正 正正正 学生每周使用智能软件时间的频数分布直方图 （1）本次调查“问题2”中获取的数据是___________数据（选填“定性”或“定量”）； （2）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）该校共有名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． （4）请根据上述统计图表，给该校同学们提出一个合理的建议． 【答案】（1）定量；（2）见解析；（3）人；（4）同学们每周使用智能软件的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率． 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，定性数据和定量数据的定义，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）根据定性数据和定量数据的定义解答即可； （2）先求出调查的总人数，再用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）用样本估计总体的方法解答即可； （4）根据每周使用智能软件的目的和使用时间的分布情况合理提建议即可． 【详解】解：（1）“问题2”中获取的数据是定量数据， 故答案为：定量； （2）总人数为（人）， 每周使用智能软件的时间在这一组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： ； （3）， 即使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人； （4）同学们每周使用智能软件的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率． 【变式题6-3】.（21-22八年级上·辽宁盘锦·月考）某学校为了了解八年级名学生期末考试的体育测试成绩，从中随机抽取了部分学生的成绩（满分分，而且成绩均为整数），绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图）．请结合图表信息解答下列问题： 分组 频数 频率 (1) ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)该问题中的样本容量是多少？ (4)如果成绩在分以上（不含分）的同学属于优良．请你估计该校八年级约有多少人达到优良水平？ 【答案】(1)， (2)图见解析 (3) (4)人 【分析】本题考查的是读频数分布直方图和频数分布表获取信息的能力，以及补全频数分布直方图、样本估计总体、样本容量、频数、频率的求法，利用统 计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图（表），才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据成绩在“”的频数是，对应的频率是，求出抽取的学生人数，进而分别求出成绩在“”的频数和成绩在“”的频率即可； （2）根据（1）的结果即可补全频数分布直方图； （3）根据（1）的结果可知样本容量； （4）利用总人数乘以对应的频率即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， ，； 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：由（1）得，该问题中的样本容量是； （4）解：估计该校八年级达到优良水平的人数为：（人）． 答：估计该校八年级约有人达到优良水平． 【题型7】基于频数分布的总体估计 1.核心知识点 样本与总体的关系； 用样本频率估算总体数量。 2.解题方法技巧 步骤：先计算样本中某部分的频率（频数÷样本容量），再用总体总数×该频率，得到总体中该部分的估计数量； 误差说明：估算结果为近似值，样本代表性越强，误差越小。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）随着信息技术的迅猛发展，人们的支付方式日益多样和便捷，为调查大学生的支付习惯，某中学数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了某高校的部分大学生进行调查，其中要求每人只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)共调查了__________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为__________； (2)计算使用微信支付和银行卡支付的人数，并将条形统计图补充完整； (3)如果该高校共有名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？ 【答案】(1)， (2)，，条形图见详解； (3)名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名 【分析】本题考查了统计图表的综合应用，包括条形统计图、扇形统计图的信息提取与转化，以及用样本估计总体的统计思想，熟练掌握各类统计图表的解读方法和相关计算是解答本题的关键． （1）利用条形统计图中“现金支付”的人数（人）和扇形统计图中其对应的百分比（），通过“总人数部分人数对应百分比”求出调查的总人数；再根据“支付宝支付”的人数与总人数的占比，结合“扇形圆心角对应占比”计算出其圆心角度数； （2）利用总人数和扇形统计图中“微信支付”“银行卡支付”的占比，分别计算出对应的人数，再将数据补充到条形统计图中，完成图表的完整呈现； （3）先计算出样本中“喜欢支付宝支付和微信支付”的学生所占的总比例，再用该比例乘以全校总人数，从而估计出全校喜欢这两种支付方式的学生总数． 【详解】（1）解：由图可知，用现金的有人，占总人数的， 总人数（人）， 用支付宝的有人，占总人数的， 表示“支付宝”的扇形圆心角度数为； （2）解：使用微信支付的人数为：（人）， 使用银行卡支付的人数为：（人）， 条形图如下； （3）解：喜欢支付宝支付的学生所占比例为， 喜欢支付宝支付和微信支付的学生所占比例为， 喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有（人）． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西·月考）某校为了积极推进“书香校园”建设，培养学生良好的阅读习惯，对全校学生的每日课外阅读时间（单位：分钟）进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外阅读时间频数分布表 阅读时间/分钟 频数 频率 6 8 m a 2 请你根据图表中的信息，解答下列问题． (1)频数分布表中a的值为________，m的值为________． (2)补全频数分布直方图． (3)若该校共有学生1500人，试估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有多少人． 【答案】(1)4； (2)见解析 (3)450人 【分析】本题考查了频数分布直方图，频数与频率，用样本估计总体等，弄清题意，读懂统计图表，从中找到必要的信息是解题的关键． （1）求出调查的总人数，即可求解； （2）根据（1）中的结果即可补全频数分布直方图； （3）用1500乘以每天课外阅读时间不低于40分钟的频率即可求解． 【详解】（1）解：调查的总人数为人， ，； 故答案为：4；； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）． 答：估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有450人． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）某校想了解学生每周的自主学习时间，随机调查了部分学生，并将学生每周的自主学习时间（单位：小时）分成五组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)共随机调查了_____人，并请补全频数分布直方图； (2)求组对应的圆心角度数； (3)若学生每周自主学习时间在6小时及以上，则可获得“学习之星”奖章，请估计该校3000名学生中有多少人能获得“学习之星”奖章？ 【答案】(1)200，图见解析 (2) (3)估计1200人 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等； （1）由组人数为人，所占百分比为，可求调查总人数；求出组人数，补全图，即可求解； （2）求出A组人数人，由即可求解； （3）由即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 故答案为； 组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：A组人数：（人）， 所以组对应的圆心角为：； （3）解：（人）． 答：估计该校3000名学生中1200人能获得“学习之星”奖章． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·重庆·期末）为了弘扬中华传统文化，某校组织全校1300名学生进行“中华诗词知识竞答”大赛，从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分，成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：），得到如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 某校部分学生中华诗词知识竞答成绩的频数直方图 某校部分学生中华诗词知识竞答成绩的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1) ，并补全频数直方图； (2)图中“B”所对应的扇形圆心角度数为 °； (3)若规定学生的比赛成绩为优秀，请估计全校比赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】(1)40，图见解析 (2)72 (3)455 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，根据部分数据求样本容量，利用样本频数估计总体频数，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据D组的数据除以其占比即可得出样本容量，然后求出各组的数据，补全频数直方图即可； （2）用周角度数乘B组占比即可； （3）利用样本频数估计总体频数即可． 【详解】（1）解：， C组人数为， B组人数为； 补全频数直方图如下， 故答案为：； （2）解：图中“B”所对应的扇形圆心角度数为， 故答案为：72； （3）解：（人） 所以，估计全校比赛成绩达到优秀的学生人数为455人． 【压轴素养题型】 【题型8】频数分布直方图的补全与优化 1.核心知识点 频数分布直方图的绘制规则； 频数分布表与直方图的对应关系。 2.解题方法技巧 补全步骤：先根据已知长方形高度求出样本容量，再推算缺失组的频数，最后绘制对应长方形； 优化要点：确保横轴分组边界清晰，纵轴刻度均匀，长方形宽度一致、连续排列。 【例题8】.（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】(1)抽样调查 (2)756 (3)0.94 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，调查方式，求频数，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据抽样调查的概念可得答案； （2）根据频率频数总数计算即可； （3）利用频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：此调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）， 故答案为：756； （3）这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为0.94， 故答案为：0.94． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）某县举行以“青春筑国魂”为主题的征文比赛，将每篇参赛征文的成绩记为m分（），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． 分数m/分 频数/篇 百分比 38 a b 10 请根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若将这次统计的结果绘制成扇形统计图，求成绩m在分所在扇形圆心角的度数． 【答案】(1)；；； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力． （1）用的频数除以其所对应的频率即可得出总人数，乘以可求的值，用即可得出的值，用即可得出的值； （2）根据频数分布表补全频数分布直方图即可； （3）用 分以上的百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意可得总人数为， ， ， ， 故答案为：；；； （2）解：补全成绩频数分布直方图如下： ； （3）解：成绩m在分所在扇形圆心角的度数为． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 成绩（分） 频数（人） 频率 合计 根据所给信息，解答下列问题： (1) ， ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在分以上（包括分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中，成绩是“优”等的约有多少人？ 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)人 【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断是解决本题的关键． （1）根据第一组的频数是，频率是，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得的值，用第三组频数除以数据总数可得的值； （2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图； （3）利用总数乘以“优”等学生的所占的频率即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数， 则，， 故答案为：、、； （2）解：频数分布直方图如图所示， （3）解：估计该校参加本次比赛的名学生中，成绩是“优”等的约有人． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广东湛江·期末）黄丽同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 百分比 2 6 ______ 9 ______ ______ 2 合计 40 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布表； (2)补全频数分布直方图； (3)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于1000不足1600元）的大约有多少户？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)338户 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）总数乘以第三组频率可得其频数，根据各组频数之和等于总数求得第5组频数，由频率频数总数求得对应频率； （2）根据（1）的结果即可补全频数分布直方图； （3）利用总数450，乘以抽查的户数中中等收入所占的百分比即可． 【详解】（1）解：收入是一组的户数是：户， 一组的户数是，所占百分比为， 补全频数分布表如下： 分组 频数 百分比 2 6 18 9 3 2 合计 40 故答案为：18；3；； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（户）， 答：估计该居民小区家庭属于中等收入大于或等于1000不足1600元的大约有户． 【题型9】多统计图综合分析 1.核心知识点 多种统计图的信息互补； 频数、频率、圆心角、变化趋势的综合解读。 2.解题方法技巧 信息整合：从频数分布直方图获取频数，从扇形图获取频率占比，从折线图分析变化趋势； 综合计算：结合多个图表数据，解决复杂问题（如估算不同时期的总体数量、分析数据变化原因）。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）为了解某社区居民每月信息消费的情况，学校社会实践小组到该社区随机调查了部分住户2025年7月的信息消费金额，并将收集到的数据整理成不完整统计图（如图1、图2）．请结合图中相关数据回答下列问题． 7月消费额分组统计表： 组别 消费额（元） A B C D E (1)本次调查样本的容量是___________； (2)D组的频数是___________，E组的频率是___________，B组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)若该社区有1500户住户，估计当月信息消费额不少于300元的有多少户． 【答案】(1)50 (2)14， (或)， (3)540 【分析】本题考查的是频数直方图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用C组的频数的和除以C组所占的百分比即可求得总数，即样本容量； （2）利用总数乘以百分比即可求得D组的频数；用总数减去A、B、C、D的频数即是D的频数，用D的频数除以总数即是D的频率；B组所占的百分比，即可得到B组对应扇形的圆心角的度数； （3）利用总数1500乘以D、E的百分比的和即可． 【详解】（1）解：本次调查样本的容量为， 故答案为：50； （2）解：D组的频数为， E组的频数为， 则E组的频率， B组对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：14，8%(或0.08)，72； （3）解：（户）． 答：估计当月信息消费额不少于300元的有540户． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．现想了解学生的选择意向，随机抽取七年级A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中交通监督所占的百分比； (2)求D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，并补全折线统计图； (3)若该校共有学生2000人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 【答案】(1) (2)15人，图见解析 (3)估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数为760人 【分析】本题考查折线统计图、扇形统计图及用样本估计总体的综合应用，灵活运用各统计图数据间的关系及用样本估计总体的方法求解是解题关键． （1）由折线统计图可以算出4个班交通监督的总人数，除以调查总人数再乘以100%即可得到答案； （2）由已知条件可以算出4个班选择环境保护的总人数，减去前面3个班选择环境保护的总人数，即可得到4班选择环境保护的人数，然后可以补全折线统计图； （3）用1减去“环境保护”、“交通监督”及“都不选择”三项的总比例，再乘以学校总人数即可． 【详解】（1）解：． 所以扇形统计图中交通监督所占的百分比为． （2）解：（人），（人）． 所以D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数为15人． 补全折线统计图如图： 各班级选择环境保护和交通监督志愿者队伍的学生人数折线统计图 （3）解：（人） 答：估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍人数为人． 【变式题9-2】.（2025·福建福州·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，频数分布直方图，解题的关键是求出相应的解析式； （1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料100吨得到成品草莓酱的吨数，用销售总价减去生产成本减去采购成本即可解答； （3）根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为 （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨） 乙生产线分配到草莓原料100吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的利润（万元）； （3）解：当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大，理由如下： 当工厂与农场的路程距离，甲生产线减重率为0.05；设甲生产线的产品销售价格为，与距离的关系式为，把，，，代入得： ，解得：， 即当，甲生产线的产品销售价格为， 当工厂与农场的路程距离，由图象可知甲产品销售价格下降，收购价格增大，甲生产线减重率增大，变为0.10，故利润会降低，故选址应该． 设甲生产线分配到的草莓原料为x吨， 则：甲生产线的生产成本（万元）为：，甲生产线的销售总额（万元）为：； 乙生产线的生产成本（万元）为：，乙生产线的销售总额（万元）为：； 采购成本为： 设总利润， ∴， ∴， ∵，s越大利润也大，即时，利润最大，， ∵甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍； ∴， ∵随增大而增大， ∴时，； 答：当工厂与农场的路程距离，甲生产线分配到的草莓原料为200吨时，利润最大． 【变式题9-3】.（23-24八年级下·福建厦门·期末）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，频数分布直方图，解题的关键是求出相应的解析式； （1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料80吨得到成品草莓酱的吨数即可解答， （3）根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为 （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨） 乙生产线分配到草莓原料80吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的销售总额（万元）； （3）解：当工厂与农场的路程距离，甲生产线减重率为0.05；设甲生产线的产品销售价格为，与距离的关系式为，把，，，代入得： ，解得：， 即当，甲生产线的产品销售价格为， 当工厂与农场的路程距离，由图象可知甲产品销售价格下降，收购价格增大，甲生产线减重率增大，变为0.10，故利润会降低，故选址应该. 设甲生产线分配到的草莓原料为x吨，则乙生产线分配到的草莓原料为吨， 则：甲生产线的生产成本（万元）为：，甲生产线的销售总额（万元）为：； 乙生产线的生产成本（万元）为：，乙生产线的销售总额（万元）为：； 采购成本为： 设总利润， ∴， ∴，s越大利润也大，即时，利润最大，， ∵甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍； ∴，， ∵随增大而增大， ∴时， 易错点 1.频率计算错误：误将频数当作频率，或忽略“频率=频数÷数据总数”的公式； 2.分组边界混淆：未明确每组的包含规则，导致数据归类错误（如将10归到“10~20”组还是“0~10”组）； 3.组数与组距确定不当：组数过少导致数据分布模糊，组数过多导致数据分散无规律； 4.频数分布直方图绘制错误：长方形之间留间隔，或纵轴刻度不均匀； 5.总体估计时，混淆样本容量与总体总数，导致估算结果偏差。 重点 1.掌握频数、频率的概念及三者之间的换算关系； 2.能独立制作频数分布表，绘制频数分布直方图； 3.能从频数分布表/直方图中提取关键信息，分析数据分布特征； 4.会用样本的频数、频率估算总体相关数量； 5.理解频数分布与其他统计图的关联，能进行信息转化。 难点 1.合理确定组距与组数，确保频数分布能清晰反映数据特征； 2.跨学科或创新情境中，将实际问题转化为频数分布相关的统计问题； 3.多统计图综合分析，整合不同图表信息解决复杂问题； 4.基于频数分布数据进行合理决策，体现统计素养； 5.含隐藏条件的频数分布计算，精准挖掘题干或图表中的隐含信息。 【对应练习题】 一、单选题 1．“少年强则国强，强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率的求解，根据频率是频数与总数的比值，计算“强”字出现次数与总字数的比即可． 【详解】解：总字数为14，“强”字出现3次， 频率为， 故选：B． 2．在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 【答案】A 【分析】本题考查频数的定义．频数是指某个对象在总体中出现的次数，只需统计句子中字母“e”出现的次数即可求解． 【详解】解：∵在句子“We like maths”中，字母“e”出现2次， ∴字母“e”出现的频数是2， 故选：A． 3．2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布直方图的相关知识，关键是从直方图中读取各分数段的人数，再结合选项进行判断． 【详解】解：由频数分布直方图可知，各分数段的人数分别为：分有4人，分有人，分有人，分有8人，分有2人． 总人数为人，故A选项正确； 得分在分之间的人数为人，是各分数段中人数最多的，故B选项正确； 得分在分之间的人数为2人，占总人数的比例为，故C选项正确； 及格(不低于分)的人数为人，不是人，故D选项错误． 故选：D． 4．如图是某班级的一次数学测试成绩统计图(说明：图中的50~60表示，其余类推)，则下列说法不正确的是(    ) A．参加测试的总人数为40人 B．人数最少的分数段的频数为2 C．得分在60~70分的人数最多 D．本次测试的及格(分)率为 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图的相关知识，解题的关键是从直方图中准确读取各分数段的人数，并据此进行计算和判断． 先从图中读取各分数段人数，50~60分有4人，60~70分有12人，70~80分有14人，80~90分有8人，90~100分有2人；再依次对各选项进行验证，计算总人数、判断人数最少分段的频数、判断人数最多的分段、计算及格率． 【详解】解：A、总人数为人，此选项正确，不符合题意； B、人数最少的分数段是90~100分，频数为2，此选项正确，不符合题意； C、得分在70~80分的人数最多，为14人，不是60~70分，此选项错误，符合题意； D、及格（分）人数为人，及格率为，此选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．如图，为了解某校七年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．下列说法不正确的是（    ） A．抽取的学生人数是50 B．该校七年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生有240人 C．估计七年级学生身高在165cm~170cm的学生最多 D．七年级学生身高在160cm~165cm的学生占调查人数的30% 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图，熟练掌握从直方图中读取关键信息是解题的关键； 根据直方图的信息逐一选项分析正误即可． 【详解】解：A、抽取的学生人数是，正确，不符合题意； B、（人），即估计身高不低于165cm的学生有240人，正确，不符合题意； C、由题图可知，身高在的学生最多，故估计七年级学生身高在的学生最多，错误，符合题意； D、七年级学生身高在的学生占调查人数的，正确，不符合题意． 二、填空题 6．人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据数据描述求频率． 计算单词“”中字母e的出现次数与总字母数的比值即可． 【详解】解：单词“”，总字母数为8，字母e出现4次，因此频率为， 故答案为：． 7．一次统计七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，根据这个直方图，下面说法正确的是 （填序号）． ①参加测试的总人数是15；②数据分组时的组距为20；③最后一组所占的百分比为30%；④第二组数据的频数是4． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了频数分布直方图的数据分析，掌握总人数为各组频数之和，组距为相邻组的上限差，百分比为该组频数除以总人数，频数可直接从图中读取是解题的关键． 先计算总人数判断①，通过相邻组的上限差计算组距判断②，计算最后一组的百分比判断③，直接读取第二组的频数判断④． 【详解】参加测试的总人数为， ①正确． ， ②正确． ， ③不正确． 频数分布直方图中第二组数据的频数是4， ④正确．综上，说法正确的是①②④． 故答案为：①②④． 8．某学校组织学科素养能力竞赛，从参与竞赛的全体同学中随机抽取50名同学的成绩（得分为整数，竞赛成绩为百分制），整理并制成如图所示的频数分布直方图，若规定80分以上为优秀，则优秀学生人数占总人数的百分比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数直方图和求两项之和所占总体百分比，理解题意是解决本题的关键． 根据直方图可得，优秀学生人数为30人，进而即可求解． 【详解】解：由直方图可得，优秀学生人数为（人）， ∴优秀学生人数占总人数的百分比为， 故答案为：． 9．为了解七年级学生的体能情况，学校随机抽查名学生测试一分钟仰卧起坐的次数，并将结果绘制成如图所示的频数直方图，那么仰卧起坐的次数在次的人数占抽查总人数的百分比是 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答；根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐的次数在次的人数占抽查总人数的百分比． 【详解】解：∵仰卧起坐的次数在次的有人， ， ∴仰卧起坐的次数在次的人数占抽查总人数的百分比是， 故答案为：． 10．为了解某校八（1）班学生的身高情况，小亮统计了全班学生的身高（单位：cm）数据，将其整理并绘制出如图所示的频数直方图（每组含前一个边界不含后一个边界，如145~150表示大于或等于145且小于150．试题中类似的记号均表示这一含义）．下列说法：①八（1）班学生总人数是40；②这一身高段的频数是5；③身高低于155cm的学生人数占总人数的；④一半以上的学生身高是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】利用频数分布直方图判断即可. 【详解】解：八（1）班学生总人数是（人），正确； 学生的身高是定量数据，正确； 身高低于的学生人数占总人数的，错误； 一半以上的学生身高是,正确； 所以正确的序号是． 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；解决问题的关键是利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 三、解答题 11．某校2027届为丰富学生暑假活动，提高学生的身体素质，开展了“每天运动1小时”系列体育锻炼活动．体育锻炼项目共五个，分别为（篮球）、（跳绳）、（羽毛球）、（乒乓球）、（慢跑），为了解该校2027届全体学生参加以上五个体育活动的意愿，随机抽取了部分学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个体育活动，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数为_________； (2)通过计算补全条形统计图，并求出扇形统计图中“”部分圆心角的度数； (3)若该校2027届共有420名学生，估计该届有多少名学生愿意参加“跳绳”活动? 【答案】(1)60 (2)10， (3)70 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体，看懂统计图并获取有用信息是解答的关键． （1）由项目人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各项目人数之和等于总人数求出人数即可补全图形；用乘项目人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中项目人数所占比例即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数为（人， 故答案为：60； （2）参加项目人数为（人， 补全图形如下： 扇形统计图中“”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：； （3）（人， 答：估计该届有70名学生愿意参加“跳绳”活动． 12．某校八（）班推动劳动技能教育，准备开设四个劳动兴趣小组，分别为组果树嫁接、组家电安装、组石磨豆腐、组雕花艺术，每一位同学必须且只能选择一个兴趣小组加入．班主任对全班同学进行调查，并将收集的数据制作了统计表和扇形统计图．根据图表提供的信息，解答下列问题： 小组 人数 (1)该班级共多少名同学； (2)求出扇形统计图中组所对应的圆心角的度数； (3)制作各小组人数的频数分布直方图． 【答案】(1)该班级共有名同学； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用组人数除以所占比即可求解； （）利用乘以组人数所占比即可求解； （）根据频数分布直方图制作方法即可求解． 【详解】（1）解：（名）， 答：该班级共有名同学； （2）解：组人数（名）， ∴扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为； （3）解：制作各小组人数的频数分布直方图如图， ． 13．为了了解1000名初三毕业生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳的测试，将所得数据进行处理，得到如下频数分布表： 组别 分组 频数 百分比 1 89.5～99.5 4 4% 2 99.5～109.5 3 3% 3 109.5～119.5 45 45% 4 119.5～129.5 5 129.5～139.5 6 6% 6 139.5～149.5 2 2% 合计 100% (1)这个问题中，总体是________；样本容量________； (2)第四小组的频数________，百分比=________； (3)若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率是多少？ 【答案】(1)1000名初三毕业生一分钟跳绳次数  100 (2)40  40% (3)93% 【分析】（1）总体是指研究对象的整个集合，本题中就是名初三毕业生一分钟跳绳的次数；样本容量可通过已知频数和百分比计算，用第一组的频数除以其百分比即可得到； （2）先算出样本容量，再用总频数减去其他组的频数得到第四组的频数，最后用第四组频数除以样本容量得到百分比； （3）先确定达标的组（次数次对应的组），计算这些组的频数之和，再除以样本容量得到达标率，以此来估计总体的达标率． 【详解】（1）解：总体是名初三毕业生一分钟跳绳的次数； 样本容量 ：． （2）解：第四组的频数：． 百分比：． （3）解：达标的组为第、、、组，其频数之和为：． 达标率为：． 所以估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率是． 【点睛】本题考查了总体、样本容量的概念，频数分布表的计算，以及用样本估计总体的统计思想．解题关键是理解频数与百分比的关系，并能从表格中提取有效信息进行计算． 14．2025年11月9日是第34个“全国消防日”，某校为了增强学生的消防安全意识、普及消防知识，组织全校1200名学生开展了消防安全知识竞赛．教务处将随机抽取的n名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）整理分成了A，B，C，D四组，并得到如下不完整的图表． 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b    根据以上信息，解答下列问题： (1)_________，_________，_________； (2)请补全频数直方图，扇形统计图中表示“C”的扇形的圆心角度数为_________； (3)若规定学生竞赛成绩在分数段为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】(1)60，6，12 (2)画图见解析， (3)240名 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用B组的人数除以其人数占比可得参与调查的人数，即可得到n的值，进而可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可补全统计图，用360度乘以C组的人数占比可求出对应的圆心角度数； （3）用1200乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：名， ∴这次调查一共抽取了60名学生，即， ∴， ∴； （2）解：补全频数直方图如下：   扇形统计图中表示“C”的扇形的圆心角度数为； （3）解：由题意，得全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为名． 15．期中考试阅卷后，我校教务处从中随机抽取n名八年级学生的数学成绩（满分100分），将成绩分为以下四组A：；B：；C：；D：，并绘制出不完整的统计图． (1)填空：______；C组所占的百分比为______；扇形统计图中D组对应的圆心角为______． (2)补全频数分布直方图． (3)我校八年级学生共有1000名，若规定学生成绩为优秀，试估算全校八年级学生数学成绩达到优秀的人数． 【答案】(1)50；； (2)画图见解析 (3)300人 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，根据C的频数总人数求得所占的百分比，根据各组人数之和等于总人数求出D组人数，继而用360°乘D组人数所占比例即可； （2）根据所求D组人数即可补全图形； （3）总人数乘以样本中D组人数所占比例即可． 【详解】（1）解：由题意得， C组所占的百分比为 扇形统计图中D组对应的圆心角为 故答案为：50；； （2）解：D组的人数为（人） 补全频数分布直方图如图所示． （3）解：（人） 答：估算全校八年级学生数学成绩达到优秀的人数约300人． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 频数与频率 知识点1：频数与频率的核心概念 1.频数：统计数据时，某个对象（或数据组）出现的次数叫做该对象的频数（如一组数据中“5”出现8次，“5”的频数为8）。 2.频率：频数与数据总数（或总次数）的比值叫做频率，公式为：（频率用小数或百分数表示）。 3.关键关系： 所有对象的频数之和=数据总数； 所有对象的频率之和=1（或100%）； 已知其中两个量（频数、频率、数据总数），可通过公式求出第三个量。 知识点2：频数分布表的制作与解读 1.制作步骤： 算极差：最大值-最小值（确定数据变化范围）； 定组距与组数：组距为每组数据的间隔（通常相等），组数根据数据总数和极差确定（一般分5~12组），公式参考：（若结果不为整数，组数取大于该值的最小整数）； 划记统计：将数据按组归类，用“正”字等方式统计每组频数； 列表格：包含组别、划记、频数、频率（可选）等栏目。 2.解读要点： 明确每组边界（注意“含最小值不含最大值”或“含最大值不含最小值”的约定）； 通过频数分布表快速获取每组数据的出现次数，分析数据分布特征。 知识点3：频数分布直方图的特点与绘制 项目 具体内容 定义 以横轴表示数据分组，纵轴表示频数，用连续排列的长方形高度反映每组频数的统计图 与条形统计图的区别 1.长方形连续排列（无间隔），体现数据的连续性； 2.横轴为数据范围（分组），纵轴为频数； 3.条形统计图横轴为具体类别，长方形有间隔 绘制步骤 1.依据频数分布表确定横轴（分组区间）和纵轴（频数刻度）； 2.按每组频数绘制长方形（宽度为组距，高度为频数）； 3.标注标题、横轴/纵轴名称及单位 知识点4：频数分布相关计算 1.组中值：每组数据的中间值，公式为：（用于估算数据总和）； 2.总体估计：用样本的频数分布特征（如频率、频数占比）估算总体中相应数据的情况，公式为：。 【基础必考题型】 【题型1】频数与频率的基础计算 1.核心知识点 频数、频率、数据总数的关系（）； 频数之和、频率之和的性质。 2.解题方法技巧 公式逆用：已知频数和数据总数求频率，或已知频率和数据总数求频数； 验证检验：计算后通过“频数之和=数据总数”“频率之和=1”验证结果正确性。 【例题1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）在数字“2026002026”中，数字“2”出现的频率是 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）年月日，十四届全国人大常委会第十八次会议作出决定，以法律形式将月日设立为台湾光复纪念日．则数据“”中“”的频数是 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）榕榕对本班同学就“你喜爱什么电视节目”展开调查，全班同学都填写了调查问卷，每位同学只能选取其中的一类：A．新闻；B．体育；C．影视；D．综艺． 收集后得到如下数据： (1)请完成下列频数分布表： 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 (2)由上表可知，喜欢体育类节目的同学出现的频数是________． 【题型2】频数分布表的解读与补全 1.核心知识点 频数分布表的结构与制作步骤； 组距、组数、极差的关系。 2.解题方法技巧 补全思路：先根据已知组的频数和频率求出数据总数，再推算缺失组的频数（数据总数-其他组频数之和）； 边界注意：明确每组的包含范围，避免数据归类错误。 【例题2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）某校随机调查了20名同学每周的课外阅读时间，结果如下（单位：小时）： 4，5，6，3，4，5，7，6，4，5，3，5，4，6，5，7，4，5，6，4 整理数据，填写下表： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 2 6 6 4 2 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某女子排球队的30名运动员的身高情况如下表，填写下表中的“组中值”． 身高 人数 组中值 4 10 9 7 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 尺码（） 销量（双） 根据上表，现有下列说法：①频数最大的尺码是；②频数最大的尺码是；③建议这家鞋店适当多进尺码为的鞋；④总销量是（双）．其中正确的说法有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③ 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·周测）为了了解某地八年级男生的身高情况，从当地某学校八年级学生中随机选取了60名男生统计身高情况．60名男生的身高（身高均为整数，单位：cm）分组情况如下表所示，则表中a，b的值分别为（    ） 分组 147.5～157.5 157.5～167.5 167.5～177.5 177.5～187.5 频数 10 26 a 频率 0.3 b A．18，0.3 B．6，0.3 C．18，0.1 D．6，0.1 【题型3】频数分布直方图的读数与简单计算 1.核心知识点 频数分布直方图的结构与含义； 横轴分组、纵轴频数的解读。 2.解题方法技巧 精准读数：根据长方形的高度对应纵轴刻度，获取每组频数； 简单运算：计算某几组频数之和、某组频率（频数÷数据总数）等。 【例题3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是某班45名同学爱心捐款额的频数直方图，则捐款人数最多的一组是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·期末）某班随机抽取10名学生的晚上睡眠时间，整理后分成四组，绘制成如图所示的频数直方图．其中2名同学的睡眠时间分别用字母a ，b代替，数据如下：6.5；a； b；7；7.5； 8；8.5；8.5；8.5；9．若，则a的范围是 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）每年的4月日是中国航天日．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“格物致知，叩问苍穹”的太空科普知识竞赛．学校随机抽取了七年级部分同学的竞赛成绩进行整理，分成五组：A组：分以下；组：分；组：分；组：分；组：分．每个组都含最小值，不含最大值，例如组包括分，但不包括分，并绘制了如图所示的频数直方图，扇形统计图．(图表信息不完整) 请结合以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了_____名七年级学生的竞赛成绩，其中组人数为_____； (2)扇形统计图中组对应的圆心角的度数为_____； (3)已知该校七年级共有名学生，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）周末，数学兴趣小组在某雷达测速区监测到的汽车时速数据中，随机抽取了100辆进行整理，得到频数分布表（每组数据中包含最小值，不包含最大值）和如图所示的频数直方图（不完整）． 时速（千米/时） 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 频数（辆） 5 30 40 10 (1) ，补全频数直方图； (2)若该雷达测速区位于市区（要求时速必须低于60千米/时），求超速车辆所占的百分比． 【题型4】组数与组距的确定 1.核心知识点 极差、组距、组数的关系； 频数分布表的分组原则。 2.解题方法技巧 先算极差：最大值-最小值； 合理定组距：根据数据特点和总数选择合适组距（如数据为整数时，组距可设为5、10等）； 计算组数：按公式估算，确保组数在合理范围（5~12组）。 【例题4】.（21-22八年级下·全国·单元测试）在频数分布直方图中，每个小长方形的横宽和纵高分别是该小组的（    ） A．频数和组距 B．组距和频率 C．频率和频数 D．组距和频数 【变式题4-1】.（22-23七年级下·陕西渭南·期末）某班名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，每组组距相等，则组距为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（23-24七年级下·广东广州·期末）某校为了调查七年级学生“解二元一次方程组”的运算能力，从七年级名学生中随机抽取名学生参加测试，对这名学生同时进行“解道二元一次方程组”的考查，每做正确道题得分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布直方图如下图表： 组别 成绩/分 频数/人 第组 第组 第组 第组 第组 请结合图表完成下列各题： (1)频数分布直方图中的组距，和的值分别是（    ） ．组距是，，                        ．组距是，， ．组距是，，                        ．组距是，， (2)若根据测试成绩绘制扇形图，第组值所对应的圆心角是（    ） ．               ．                    ．                   ． (3)若测试成绩高于分为合格，估计该校七年级学生在这次测试中的合格人数是（    ） ．                  ．                   ．                 ． 【变式题4-3】.（2023八年级上·山东滨州·竞赛）2023年10月，滨州市各中小学开展了“书香传承慧读滨州”系列读书活动，活动期间，某中学开展了主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解全校1200名学生一年内阅读书籍的数量，从中随机抽取50名学生进行调查统计，绘制出如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 0.08 a b 16 0.32 6 c 10 0.20 合计 50 1.00 (1)请根据题中已有的信息求出a，b，c的值，并补全频数分布直方图． ______，______，______． (2)观察频数分布表或频数分布直方图，你发现该校整理数据时选择的组距是多少？这个组距是否合理？请判断并说明理由．______． (3)阅读书籍数量在15本以上（含15本）的学生将获得“阅读达人”的称号，请你根据样本估计该校能荣获此称号的学生大约有多少人． 【培优高频题型】 【题型5】频数、频率与统计图的联动应用 1.核心知识点 频数分布表与频数分布直方图的信息转化； 频率与扇形统计图的结合（频率×360°=对应扇形圆心角）。 2.解题方法技巧 信息互补：从一种统计图获取数据总数、某组频数等，补全另一种统计图； 圆心角计算：若结合扇形统计图，某组对应圆心角=该组频率×360°。 【例题5】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图： 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是， b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的学生总数的值为___________ (2)补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度； (4)百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校为弘扬非遗文化，计划开设特色非遗活动．受时间限制，每位学生只能参加一类活动．为了解学生对扎染、剪纸、皮影三类活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了统计图如图． 根据图中信息，回答下列问题： (1)此次调查一共随机抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中剪纸对应扇形圆心角的度数； (3)若该校共有名学生喜欢这三类非遗活动，请估计喜欢扎染和皮影的学生的总人数． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》中指出要促进人口高质量发展，健全养老事业和产业协同发展政策机制某社区积极响应“积极应对人口老龄化，关爱老年人健康”的号召，随机抽取了本社区名岁以上老年人，对其每日户外活动时间及主要活动类型进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷（1）您平均每日户外活动时间大约是________小时． （2）您户外活动的主要类型是________．（单选） A．散步、慢跑   B．广场舞、太极拳等集体活动   C．下棋、聊天等休闲活动   D．其他 平均每日户外活动时间分为组，分别是；；；． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数直方图，并求出活动时间大于等于小时的人数占调查人数的百分比； (2)在扇形统计图中，类型所占的圆心角为________度； (3)根据调查结果，请你为社区老年人活动中心提出一条活动安排建议． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·重庆·期末）为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年  月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（    ）（单选）． （A）漆扇摇香    （B）花漾手作    （C）宋韵点茶    （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，________，________； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； (3)请补全条形统计图； (4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 【题型6】基于频率稳定性的总体估计 1.核心知识点 频率的稳定性（大量重复试验中，频率趋近于概率/固定值）； 样本频率估计总体的方法（总体数量×样本稳定频率）。 2.解题方法技巧 找稳定频率：通过统计图或表格，识别频率趋于稳定的数值（如树苗成活率稳定在0.9）； 估算计算：用总体总数×稳定频率，得到总体中某部分的估计数量； 验证合理性：结合样本代表性，确认稳定频率的可信度（样本容量越大，估计越准确）。 【例题6】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活 棵． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·重庆渝中·期末）某农业种植园引进了一种新型辣椒，为了解该品种辣椒的挂果情况，随机抽查若干株，记录下它们的挂果数量x（单位：个），并绘制如下统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 百分比 8 16 a 24 12 合计 请结合图表中的信息解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)已知种植园共种植新型辣椒株，估计挂果数量在“”的辣椒有多少株？ 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）太谷区某中学开展《将“具身智能”的种子，播撒进中学课堂里》的社团活动．该社团为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是___________．（单选） A．学习管理        B．健康管理 C．时间管理        D．其他问题 问题2：你每周使用智能软件的时间是___________分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 正正正正正 正正 正正正 学生每周使用智能软件时间的频数分布直方图 （1）本次调查“问题2”中获取的数据是___________数据（选填“定性”或“定量”）； （2）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）该校共有名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． （4）请根据上述统计图表，给该校同学们提出一个合理的建议． 【变式题6-3】.（21-22八年级上·辽宁盘锦·月考）某学校为了了解八年级名学生期末考试的体育测试成绩，从中随机抽取了部分学生的成绩（满分分，而且成绩均为整数），绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图）．请结合图表信息解答下列问题： 分组 频数 频率 (1) ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)该问题中的样本容量是多少？ (4)如果成绩在分以上（不含分）的同学属于优良．请你估计该校八年级约有多少人达到优良水平？ 【题型7】基于频数分布的总体估计 1.核心知识点 样本与总体的关系； 用样本频率估算总体数量。 2.解题方法技巧 步骤：先计算样本中某部分的频率（频数÷样本容量），再用总体总数×该频率，得到总体中该部分的估计数量； 误差说明：估算结果为近似值，样本代表性越强，误差越小。 【例题7】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）随着信息技术的迅猛发展，人们的支付方式日益多样和便捷，为调查大学生的支付习惯，某中学数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了某高校的部分大学生进行调查，其中要求每人只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)共调查了__________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为__________； (2)计算使用微信支付和银行卡支付的人数，并将条形统计图补充完整； (3)如果该高校共有名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？ 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西·月考）某校为了积极推进“书香校园”建设，培养学生良好的阅读习惯，对全校学生的每日课外阅读时间（单位：分钟）进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外阅读时间频数分布表 阅读时间/分钟 频数 频率 6 8 m a 2 请你根据图表中的信息，解答下列问题． (1)频数分布表中a的值为________，m的值为________． (2)补全频数分布直方图． (3)若该校共有学生1500人，试估计该校学生每天课外阅读时间不低于40分钟的有多少人． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）某校想了解学生每周的自主学习时间，随机调查了部分学生，并将学生每周的自主学习时间（单位：小时）分成五组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)共随机调查了_____人，并请补全频数分布直方图； (2)求组对应的圆心角度数； (3)若学生每周自主学习时间在6小时及以上，则可获得“学习之星”奖章，请估计该校3000名学生中有多少人能获得“学习之星”奖章？ 【变式题7-3】.（25-26七年级上·重庆·期末）为了弘扬中华传统文化，某校组织全校1300名学生进行“中华诗词知识竞答”大赛，从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分，成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：），得到如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 某校部分学生中华诗词知识竞答成绩的频数直方图 某校部分学生中华诗词知识竞答成绩的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1) ，并补全频数直方图； (2)图中“B”所对应的扇形圆心角度数为 °； (3)若规定学生的比赛成绩为优秀，请估计全校比赛成绩达到优秀的学生人数． 【压轴素养题型】 【题型8】频数分布直方图的补全与优化 1.核心知识点 频数分布直方图的绘制规则； 频数分布表与直方图的对应关系。 2.解题方法技巧 补全步骤：先根据已知长方形高度求出样本容量，再推算缺失组的频数，最后绘制对应长方形； 优化要点：确保横轴分组边界清晰，纵轴刻度均匀，长方形宽度一致、连续排列。 【例题8】.（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）某县举行以“青春筑国魂”为主题的征文比赛，将每篇参赛征文的成绩记为m分（），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表． 分数m/分 频数/篇 百分比 38 a b 10 请根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)补全频数分布直方图； (3)若将这次统计的结果绘制成扇形统计图，求成绩m在分所在扇形圆心角的度数． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 成绩（分） 频数（人） 频率 合计 根据所给信息，解答下列问题： (1) ， ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在分以上（包括分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中，成绩是“优”等的约有多少人？ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广东湛江·期末）黄丽同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 百分比 2 6 ______ 9 ______ ______ 2 合计 40 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布表； (2)补全频数分布直方图； (3)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于1000不足1600元）的大约有多少户？ 分组 频数 百分比 2 6 18 9 3 2 合计 40 【题型9】多统计图综合分析 1.核心知识点 多种统计图的信息互补； 频数、频率、圆心角、变化趋势的综合解读。 2.解题方法技巧 信息整合：从频数分布直方图获取频数，从扇形图获取频率占比，从折线图分析变化趋势； 综合计算：结合多个图表数据，解决复杂问题（如估算不同时期的总体数量、分析数据变化原因）。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）为了解某社区居民每月信息消费的情况，学校社会实践小组到该社区随机调查了部分住户2025年7月的信息消费金额，并将收集到的数据整理成不完整统计图（如图1、图2）．请结合图中相关数据回答下列问题． 7月消费额分组统计表： 组别 消费额（元） A B C D E (1)本次调查样本的容量是___________； (2)D组的频数是___________，E组的频率是___________，B组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)若该社区有1500户住户，估计当月信息消费额不少于300元的有多少户． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．现想了解学生的选择意向，随机抽取七年级A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中交通监督所占的百分比； (2)求D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，并补全折线统计图； (3)若该校共有学生2000人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 【变式题9-2】.（2025·福建福州·三模）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱．小苏经过考查，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨．平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如果采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标．计算公式：减重率） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为40%．成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动．小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； (2)若乙生产线分配到草莓原料100吨，试求出成品草莓酱的利润（用含s的式子表示）； (3)经过调研，工厂本季计划用100吨草莓做草莓酱，考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的2倍，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与甲生产线的草莓原料吨数，并说明理由． 【变式题9-3】.（23-24八年级下·福建厦门·期末）某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 易错点 1.频率计算错误：误将频数当作频率，或忽略“频率=频数÷数据总数”的公式； 2.分组边界混淆：未明确每组的包含规则，导致数据归类错误（如将10归到“10~20”组还是“0~10”组）； 3.组数与组距确定不当：组数过少导致数据分布模糊，组数过多导致数据分散无规律； 4.频数分布直方图绘制错误：长方形之间留间隔，或纵轴刻度不均匀； 5.总体估计时，混淆样本容量与总体总数，导致估算结果偏差。 重点 1.掌握频数、频率的概念及三者之间的换算关系； 2.能独立制作频数分布表，绘制频数分布直方图； 3.能从频数分布表/直方图中提取关键信息，分析数据分布特征； 4.会用样本的频数、频率估算总体相关数量； 5.理解频数分布与其他统计图的关联，能进行信息转化。 难点 1.合理确定组距与组数，确保频数分布能清晰反映数据特征； 2.跨学科或创新情境中，将实际问题转化为频数分布相关的统计问题； 3.多统计图综合分析，整合不同图表信息解决复杂问题； 4.基于频数分布数据进行合理决策，体现统计素养； 5.含隐藏条件的频数分布计算，精准挖掘题干或图表中的隐含信息。 【对应练习题】 一、单选题 1．“少年强则国强，强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频率是（     ） A． B． C． D． 2．在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 3．2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 4．如图是某班级的一次数学测试成绩统计图(说明：图中的50~60表示，其余类推)，则下列说法不正确的是(    ) A．参加测试的总人数为40人 B．人数最少的分数段的频数为2 C．得分在60~70分的人数最多 D．本次测试的及格(分)率为 5．如图，为了解某校七年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．下列说法不正确的是（    ） A．抽取的学生人数是50 B．该校七年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生有240人 C．估计七年级学生身高在165cm~170cm的学生最多 D．七年级学生身高在160cm~165cm的学生占调查人数的30% 二、填空题 6．人工智能（）模型官方于2025年正式上线，引发了社会各界的广泛关注．在英文单词“”里，字母e出现的频率为 ． 7．一次统计七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，根据这个直方图，下面说法正确的是 （填序号）． ①参加测试的总人数是15；②数据分组时的组距为20；③最后一组所占的百分比为30%；④第二组数据的频数是4． 8．某学校组织学科素养能力竞赛，从参与竞赛的全体同学中随机抽取50名同学的成绩（得分为整数，竞赛成绩为百分制），整理并制成如图所示的频数分布直方图，若规定80分以上为优秀，则优秀学生人数占总人数的百分比为 ． 9．为了解七年级学生的体能情况，学校随机抽查名学生测试一分钟仰卧起坐的次数，并将结果绘制成如图所示的频数直方图，那么仰卧起坐的次数在次的人数占抽查总人数的百分比是 ．（精确到） 10．为了解某校八（1）班学生的身高情况，小亮统计了全班学生的身高（单位：cm）数据，将其整理并绘制出如图所示的频数直方图（每组含前一个边界不含后一个边界，如145~150表示大于或等于145且小于150．试题中类似的记号均表示这一含义）．下列说法：①八（1）班学生总人数是40；②这一身高段的频数是5；③身高低于155cm的学生人数占总人数的；④一半以上的学生身高是．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 11．某校2027届为丰富学生暑假活动，提高学生的身体素质，开展了“每天运动1小时”系列体育锻炼活动．体育锻炼项目共五个，分别为（篮球）、（跳绳）、（羽毛球）、（乒乓球）、（慢跑），为了解该校2027届全体学生参加以上五个体育活动的意愿，随机抽取了部分学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个体育活动，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数为_________； (2)通过计算补全条形统计图，并求出扇形统计图中“”部分圆心角的度数； (3)若该校2027届共有420名学生，估计该届有多少名学生愿意参加“跳绳”活动? 12．某校八（）班推动劳动技能教育，准备开设四个劳动兴趣小组，分别为组果树嫁接、组家电安装、组石磨豆腐、组雕花艺术，每一位同学必须且只能选择一个兴趣小组加入．班主任对全班同学进行调查，并将收集的数据制作了统计表和扇形统计图．根据图表提供的信息，解答下列问题： 小组 人数 (1)该班级共多少名同学； (2)求出扇形统计图中组所对应的圆心角的度数； (3)制作各小组人数的频数分布直方图． 13．为了了解1000名初三毕业生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳的测试，将所得数据进行处理，得到如下频数分布表： 组别 分组 频数 百分比 1 89.5～99.5 4 4% 2 99.5～109.5 3 3% 3 109.5～119.5 45 45% 4 119.5～129.5 5 129.5～139.5 6 6% 6 139.5～149.5 2 2% 合计 100% (1)这个问题中，总体是________；样本容量________； (2)第四小组的频数________，百分比=________； (3)若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率是多少？ 14．2025年11月9日是第34个“全国消防日”，某校为了增强学生的消防安全意识、普及消防知识，组织全校1200名学生开展了消防安全知识竞赛．教务处将随机抽取的n名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）整理分成了A，B，C，D四组，并得到如下不完整的图表． 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b    根据以上信息，解答下列问题： (1)_________，_________，_________； (2)请补全频数直方图，扇形统计图中表示“C”的扇形的圆心角度数为_________； (3)若规定学生竞赛成绩在分数段为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 15．期中考试阅卷后，我校教务处从中随机抽取n名八年级学生的数学成绩（满分100分），将成绩分为以下四组A：；B：；C：；D：，并绘制出不完整的统计图． (1)填空：______；C组所占的百分比为______；扇形统计图中D组对应的圆心角为______． (2)补全频数分布直方图． (3)我校八年级学生共有1000名，若规定学生成绩为优秀，试估算全校八年级学生数学成绩达到优秀的人数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $