2.6.2 函数的极值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数极值核心知识点，通过实例观察引入极值概念，梳理导数符号与单调性关系判定极值点，明确求极值的步骤，构建从概念理解到技能应用的学习支架。 以苏轼诗句创设情境培养数学眼光，问题链引导分析导数符号变化发展逻辑推理思维，例题变式强化数学运算与表达能力。课中助力教师引导探究，课后练习题与微提醒帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

6.2　函数的极值 学习目标 1.通过实例了解极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　2.会利用导数求函数的极大值、极小值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　3.体会导数与极值的关系. 任务一　函数极值的概念 　　苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？我们把这个问题放到数学中来看. 问题1.观察下列图形，函数y＝f(x)在x＝d，e，f，g，h，i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 提示：以x＝d，e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大. 问题2.函数y＝f(x)在点x＝d，x＝e处的导数值是多少？在点x＝d，x＝e附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 提示：函数y＝f(x)在点x＝d，x＝e处的导数值是0；在点x＝d附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0.类似地，在点x＝e附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0. 1.函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. (3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 2.函数的单调性与极值 (1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上单调递增，在区间(x0，b)上单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. (2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上单调递减，在区间(x0，b)上单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. [微提醒]　(1)极值点不是点.极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(2)极值是函数的局部性质.(3)函数的极值不唯一.极大值与极小值两者的大小不确定.(4)在连续可导函数f(x)中，若f'(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f'(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f'(x)的变号零点，才是函数f(x)的极值点. 学生用书⬇第76页 (多选题)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是 (　　) A.函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增 B.函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 C.当x＝－时，函数y＝f(x)取极大值 D.当x＝2时，函数y＝f(x)取极大值 答案：BD 解析：对于A，当x∈(3，4)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(4，5)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以A错误；对于B，当x∈(－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝－时，函数y＝f(x)不取极大值，所以C错误；对于D，当x∈(－2，2)时，f(x)单调递增，当x∈(2，4)时，f(x)单调递减，所以当x＝2时，函数y＝f(x)取极大值，所以D正确.故选BD. 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 对点练1.已知函数y＝f'(x)的图象如图所示，则关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) A.函数y＝f(x)有3个极值点 B.函数y＝f(x)在区间(－∞，－4)上单调递增 C.函数y＝f(x)在区间(－2，＋∞)上单调递增 D.当x＝0时，函数y＝f(x)取得极大值 答案：C 解析：结合导数与函数单调性的关系可知，当x＜－5时，f'(x)＞0，函数单调递增，当－5＜x＜－2时，f'(x)＜0，函数单调递减，当x＞－2时，f'(x)≥0，函数单调递增，故当x＝－5时，函数取得极大值，当x＝－2时，函数取得极小值，所以D错误；故函数y＝f(x)有2个极值点，故A错误；函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)，(－2，＋∞)；单调递减区间为(－5，－2)，故B错误，C正确.故选C. 任务二　求函数极值点 问题3.你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点. 提示：f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f'(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为x＝－1；极小值点为x＝1. 求函数极值点的步骤 1.求出导数f'(x). 2.解方程f'(x)＝0. 3.对于方程f'(x)＝0的每一个实数根x0，分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f'(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. [微提醒]　设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数f'(x)，则f'(x0)＝0.反之不一定成立.例如，对于f(x)＝x3，虽然f'(0)＝0，但是x＝0不是极值点. (链教材P80例2)求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点. 解：f'(x)＝9x2－1， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝. 当x＜－时，f'(x)＞0，函数在上单调递增； 当－＜x＜时，f'(x)＜0，函数在上单调递减，所以x1＝－是函数的极大值点. 当x＞时，f'(x)＞0，函数在上单调递增，所以x2＝是函数的极小值点. 学生用书⬇第77页 [变式探究] 　(变条件)求函数f(x)＝xex－x2－2x的极值点. 解：函数f(x)＝xex－x2－2x的定义域为R，f'(x)＝ex－2x－2＝， 令f'(x)＝0可得x＝－1或x＝ln 2，列表如下： x (－∞，－1) －1 (－1，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数f(x)的极大值点为－1，极小值点为ln 2. 一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法 　　解方程f'(x)＝0，当f'(x0)＝0时： 1.如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么x＝x0是极大值点. 2.如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么x＝x0是极小值点. 对点练2.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)， f'(－1)＝f'(1)＝0，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点. 解：(1)f'(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f'(－1)＝f'(1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，① 3a－2b＋c＝0，② 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1，③ 联立①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)可得f(x)＝x3－x， 所以f'(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1). 当x＜－1或x＞1时，f'(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减. 所以x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点. 任务三　求函数的极值 (链教材P81例3)求下列函数的极值： (1)f(x)＝(x3－1)2＋1； (2)f(x)＝＋3ln x. 解：(1)因为f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2， 所以f'(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1). 令f'(x)＝0，得x＝0或x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 2 ↘ 1 ↗ 所以当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值. (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝－＋＝. 令f'(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 3 ↗ 所以当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值. 求函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求方程f'(x)＝0的根； 第三步：用方程f'(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； 第四步：由f'(x)在方程f'(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 对点练3.求下列函数的极值： (1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝. 解： (1)因为f'(x)＝＝. 令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减 由上表看出，当x＝－1时，f(x)取得极小值f＝－3； 当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝－1. (2)函数f(x)＝， 且f'(x)＝.令f'(x)＝0，解得x＝e. 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f＝，没有极小值. 任务 再现 1.函数极值的定义.2.函数极值点与极值的判定及求法 方法 提炼 定义法、数形结合思想、方程思想 易错 警示 忽视求定义域；导数值为零不是此点为极值点的充要条件 学生用书⬇第78页 1.(多选题)若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则(　　) A.x1是f(x)的一个极大值点 B.x2是f(x)的一个极小值点 C.x3是f(x)的一个极大值点 D.x4是f(x)的一个极小值点 答案：AB 解析：对于A，由图可知，在x1左右两侧，函数f(x)左增右减，故x1是f(x)的一个极大值点，故A正确；对于B，由图可知，在x2附近的左右两侧，函数f(x)左减右增，故x2是f(x)的一个极小值点，故B正确；对于C，由图可知，在x3附近的左右两侧，函数f(x)单调递增，故x3不是f(x)的一个极值点，故C错误；对于D，由图可知，在x4左右两侧，函数f(x)左增右减，故x4是f(x)的一个极大值点，故D错误.故选AB. 2.已知f(x)在R上连续可导，且f'(x)是f(x)的导数，p：f'(x0)＝0，q：f(x)在x＝x0处取到极值，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：依题意f(x)在R上连续可导，且f'(x)是f(x)的导数，f'(x0)＝0，则x＝x0不一定是极值点，f(x)在x＝x0处取到极值，则f'(x0)＝0，所以p是q的必要不充分条件.故选B. 3.(双空题)函数f(x)＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　　　，极小值为　　　　. 答案：　－3 解析：f'(x)＝x2－2x－3.令f'(x)＞0，得x＜－1或x＞3；令f'(x)＜0得－1＜x＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3. 4.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为　　　　. 答案：0 解析：因为x＞0，f'(x)＝a－＝，所以当a≤0时，f'(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点. 学科网（北京）股份有限公司 $