2.3 导数的计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数的计算核心知识点，从导函数定义出发，通过问题链引导学生利用导数定义推导具体函数（如f(x)=x²+5x）的导数，进而归纳幂函数导数规律，总结基本初等函数导数公式，最终应用于切线方程求解，构建“定义推导-公式归纳-应用实践”的学习支架。 资料以问题驱动和分层训练为特色，通过“问题引导-例题示范-对点练-变式探究”环节，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学运算核心素养，如利用定义推导导函数提升逻辑推理能力，切线方程求解强化数学语言表达（模型意识）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾知识、查漏补缺。

§3　导数的计算 学习目标 1.理解导函数的定义.　2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　导函数 问题1.如何利用导数的定义求函数f(x)＝＋x在x＝x0处的导数？ 提示：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝＋(x0＋Δx)－＝－＋Δx. ＝－＋1. 当Δx趋于0时，得到导数f'(x0)＝＝＝－＋1. 问题2.当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f'(x0)的值如何？ 提示：对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f'(x0)＝－＋1与之对应，所以f'(x)＝－＋1是x的函数. 学生用书⬇第64页 导函数 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f'(x)＝，那么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y'. [微提醒]　f'(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f'(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f'(x)的一个函数值. (链教材P64例3)求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)在下列各点处的导数： (1)x＝1；(2)x＝x0. 解：因为f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， 所以f'(x)＝ ＝ ＝(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1， 所以(1)f'(1)＝12×1＋1＝13， (2)f'(x0)＝12x0＋1. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f'(x) ＝. 对点练1.求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数. 解：f'(x)＝＝ ＝(2x＋Δx＋5)＝2x＋5， 所以f'(3)＝2×3＋5＝11. 任务二　基本初等函数的导数 问题3.下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f'(x)＝1＝1×x1－1； f(x)＝x2⇒f'(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f'(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f'(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝⇒f'(x)＝＝. 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 提示：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)'＝α. 基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y'＝0 y＝xα(α是实数) y'＝α y＝ax(a＞0，a≠1) y'＝axln a，特别地(ex)'＝ex y＝logax(a＞0，a≠1) y'＝，特别地(ln x)'＝ y＝sin x y'＝cos x y＝cos x y'＝－sin x y＝tan x y'＝ 学生用书⬇第65页 [微提醒]　对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f'(x)＝. 求下列函数的导数： (1)y＝2 026；(2)y＝；(3)y＝lg x；(4)y＝；(5)y＝2cos2()－1. 解：(1)y'＝0. (2)y'＝ln ＝－ln 3. (3)y'＝. (4)因为y＝＝， 所以y'＝()'＝＝. (5)因为y＝2cos2()－1＝cos x， 所以y'＝(cos x)'＝－sin x. 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. 2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 对点练2. 求下列函数的导数： (1)y＝sin ； (2)y＝； (3)y＝4x；(4)y＝log3x. 解：(1)y'＝0. (2)因为y＝＝， 所以y'＝－＝－. (3)因为y＝4x，所以y'＝4xln 4. (4)因为y＝log3x，所以y'＝. 任务三　导数公式的应用 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'＝，所以切线的斜率k＝， 所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [变式探究] 1.(变设问)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程. 解：设切点坐标为(x0，y0). 因为y'＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以＝4，得x0＝， 所以y0＝－ln 4，所以切点为， 所以所求切线方程为y＋ln 4＝4， 即4x－y－1－ln 4＝0. 学生用书⬇第66页 2.(变条件，变设问)求曲线y＝ln x过点M(0，1)的切线方程. 解：因为M(0，1)不在曲线y＝ln x上， 所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， 所以＝，即ln x0－1＝1， 所以x0＝e2，所以k＝， 所以切线方程为y－1＝(x－0)， 即x－e2y＋e2＝0. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 1.若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. 2.如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 对点练3.求过曲线y＝cos x上的一点P且与这点的切线垂直的直线方程. 解：因为y＝cos x，所以y'＝－sin x， 曲线在点P处的切线斜率是 k＝－sin ＝－. 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为， 所以所求的直线方程为y－＝， 即2x－y－＋＝0. 任务 再现 1.导函数.2.基本初等函数的导数.3.导数公式的应用 方法 提炼 公式法、待定系数法 易错 警示 公式记混用错；不化简成基本初等函数 1.若f(x)＝sin x，则f'＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：f'(x)＝cos x，f'＝cos ＝.故选D. 2.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.若y＝ln 2，则y'＝ B.若f(x)＝，则f'(3)＝－ C.若y＝2x，则y'＝x·2x－1 D.若y＝log2x，则y'＝，x＞0 答案：BD 解析：对于A，由y＝ln 2得y'＝0，故A错误；对于B，f'(x)＝－，故f'(3)＝－，故B正确；对于C，y'＝2xln 2，故C错误；对于D，y'＝，x＞0，故D正确.故选BD. 3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f'(m)＋g'(m)＝3，则m的值为　　　. 答案：1 解析：因为f'(x)＋g'(x)＝2x＋1，所以f'(m)＋g'(m)＝2m＋1＝3，故m＝1. 4.已知函数f(x)＝x3，则曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为　　　　　　　. 答案：3x－y－2＝0 解析：f'(x)＝3x2，则f'(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $