2.2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的几何意义核心知识点，从平均变化率（割线斜率）切入，通过Δx→0引导学生理解切线斜率即导数，构建“割线-切线-导数几何意义-切线方程”的学习支架，衔接导数概念与几何应用。 资料以问题链驱动直观想象，通过割线到切线的动态转化帮助学生理解核心概念，结合例题与变式对比“在某点”与“过一点”切线差异，提升数学运算与逻辑推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

2.2　导数的几何意义 学习目标 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养直观想象的核心素养.　2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程及曲线的切线问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　导数的几何意义 问题1.函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线. 问题2.当Δx变化时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线AB绕点A转动. 问题3.当Δx→0时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切的位置. 1.割线的定义 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线. 学生用书⬇第61页 2.切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切. 3.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f'(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. [微提醒]　(1)函数f(x)在x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于0时的极限，若存在，则函数y＝f(x)在x0处就有导数.(2)f'(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率.(3)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导. (1)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f'(4)等于(　　) A. B.3 C.4 D.5 (2)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝，则下列不等式正确的是(　　) A.k＜f'(x1)＜f'(x2) B.f'(x1)＜k＜f'(x2) C.f'(x2)＜f'(x1)＜k D.f'(x1)＜f'(x2)＜k 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，则k＝＝，所以f'(4)＝.故选A. (2)函数增长的越来越快，所以切线的斜率越来越大，所以f'(x1)＜k＜f'(x2).故选B. 　　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决. 对点练1.已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f(x1))，B，C(x3，f(x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(　　) A.f'＞f'＞f' B.f'＞f'＞f' C.f'＞f'＞f' D.f'＞f'＞f' 答案：B 解析：由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f'＜0，在B点的切线斜率等于0，即f'＝0，在C点的切线斜率大于0，即f'＞0，所以f'＞f'＞f'.故选B. 任务二　切线方程 问题4.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f'(x0)，你能写出y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 　　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f'(x0)，则y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). [微提醒]　切点(x0，f(x0))在曲线上也在切线上. [微思考]　“在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是否相同？ 提示：“在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是不同的.“在某点处的切线(方程)”是指以该点为切点的切线(方程)，切线只有一条；切线方程也只有一个，“过一点的切线(方程)”是指曲线的切线(方程)经过这点，这点可能不在曲线上，相应的切线(方程)可能不止一条(一个). (链教材P60例5)已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解：因为点P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 学生用书⬇第62页 [变式探究] 　(变设问)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 即y＝·x－＋. 因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2－＋，即－3＋4＝0. 所以＋－4＋4＝0，所以(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故曲线过点P(2，4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 对点练2.求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程. 解：因为点(－2，－1)在曲线y＝上， 所以曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于f(x)＝在x＝－2处的导数. 所以k＝f'(－2)＝ ＝＝＝－， 所以曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0. 任务三　导数几何意义的应用 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值. 解：对于曲线y＝x2－1，k1＝ ＝＝2x0. 对于曲线y＝1－x3，k2＝ ＝＝－3. 由题意得2x0＝－3，解得x0＝0或－，经检验均符合题意，故x0＝0或－. [变式探究] 1.(变条件)若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值. 解：因为k1＝2x0，k2＝－3， 由曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3)＝－1，解得x0＝. 2.(变设问)若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程. 解：由典例3知x0＝0或－. 当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1与y＝1. 当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0， 曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0. 所以所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0. 学生用书⬇第63页 求切点坐标的步骤 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数或斜率公式求出斜率； 第三步：利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； 第四步：把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 对点练3.(1)设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　) A.1 B. C.－ D.－1 (2)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为　　　　　. 答案：(1)A　(2)(3，30) 解析：(1)因为f'(1)＝＝＝(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确).故选A. (2)设点P(x0，2＋4x0)，则f'(x0)＝＝＝4x0＋4.令4x0＋4＝16得x0＝3，所以P(3，30). 任务 再现 1.导数的几何意义.2.切线方程.3.导数几何意义的应用 方法 提炼 数形结合、待定系数法 易错 警示 混淆“在一点处的切线”和“过一点的切线” 1.曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是(　　) A.－4 B.4 C.0 D.不存在 答案：C 解析：k＝＝(－2Δx)＝0.故选C. 2.设函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则等于(　　) A.4 B.2 C.1 D.－3 答案：A 解析：由导数的定义，得＝f'(1)，根据导数的几何意义，得f'(1)＝4，即＝4.故选A. 3.曲线y＝x2在点(2，1)处的切线方程为(　　) A.x－y－1＝0 B.x＋y－3＝0 C.x－y＋1＝0 D.x＋y－1＝0 答案：A 解析：f'(2)＝＝＝1，所以在点(2，1)处的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A. 4.已知函数f(x)＝在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝　　　　. 答案：±1 解析：f'(x0)＝＝－＝－.令－＝tan 135°＝－1，可得x0＝±1. 学科网（北京）股份有限公司 $