1.5 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

*§5　数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.　2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　数学归纳法 问题1.我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.那么，在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 提示：使所有骨牌都能倒下的条件有两个： (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. [微提醒]　(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) 学生用书⬇第40页 A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，在n＝k时的等式左端应加上　　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：(1)当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. (2)n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的等式左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 数学归纳法的三个关键点 1.验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2.递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. 3.利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 对点练1.(1)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*且n＞1)，第一步要证明的不等式是　　　　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了　　　　项. (2)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从“k到k＋1”左边需要增加的代数式是　　　　　　. 答案：(1)1＋＋＜2　2k　(2)(k＋1)2＋k2 解析：(1)由已知n∈N*且n＞1，故第一步要证明的不等式是当n＝2时成立的不等式，即1＋＋＝1＋＋＜2；又当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋…＋，共2k－1项之和，当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋， 共2k＋1－1项之和，所以增加了＋＋＋…＋，共增加了－＝2k＋1－2k＝2k项. (2)分别把n＝k和n＝k＋1代入等式左边可得12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12①，12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12②，由②－①得(k＋1)2＋k2. 任务二　综合应用 应用1　利用数学归纳法证明等式 证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝成立. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋ ＝＝＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对一切n∈N＋等式都成立. [变式探究] 　(变条件)本例等式若改为＋＋…＋＝(n∈N＋)，试用数学归纳法证明. 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝成立. 那么当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N＋等式都成立. 用数学归纳法证明等式的方法 对点练2.用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N＋. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1×22＝4， 右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4， 所以左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)成立. 那么当n＝k＋1时， 1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对任意n∈N＋，等式都成立. 学生用书⬇第41页 应用2　利用数学归纳法证明不等式 证明：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋). 证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＝，故左边＞右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋＞成立. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋(＋＋－)，* 法一：(分析法)下面证＋＋－≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 法二：(放缩法)＋＋＋－＞＋＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 对点练3.用数学归纳法证明：不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2成立. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立. 根据(1)和(2)，可知原不等式对任意n∈N＋都成立. 应用3　归纳－猜想－证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明. 解：(1)a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝， 猜想an＝. 证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，即ak＝成立. 由题设an＝，得ak＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak ＝k(2k－1)·＝. 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，命题成立. 根据①和②，可知命题对任何n∈N＋都成立. “归纳－猜想－证明”的解题步骤 对点练4.观察下列等式： 1＝1； 2＋3＋4＝9； 3＋4＋5＋6＋7＝25； 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49； … 按照以上式子的规律： (1)写出第5个等式，并猜想第n(n∈N＋)个等式； (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N＋)个等式成立. 解：(1)第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92. 第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N＋. (2)证明：①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立. ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2成立. 则当n＝k＋1时，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2， 即n＝k＋1时等式成立. 根据①和②，可知对任意n∈N＋等式都成立. 任务 再现 1.数学归纳法的概念.2.用数学归纳法证明等式.3.用数学归纳法证明不等式.4.“归纳－猜想－证明”问题 方法 提炼 数学归纳法、分析法、放缩法、归纳猜想 易错 警示 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 学生用书⬇第42页 1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 答案：C 解析：令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得.故选C. 2.证明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　) A.1 B.k－1 C.k D.2·3k 答案：D 解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(3k＋1－1)－3k＋1＝2·3k项.故选D. 3.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是　　　　　　　　. 答案：(2k＋1)＋(2k＋2) 解析：因为要证明的等式的左边是连续正整数的和，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 4.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为　　　　　　　　　　(n∈N＋). 答案：1＋＋＋…＋＞ 解析：因为3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，所以可猜测1＋＋＋…＋＞(n∈N＋). 学科网（北京）股份有限公司 $