1.1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

1.2　数列的函数特性 学习目标 1.了解数列的几种表示方法，培养数学抽象的核心素养.　2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，能从函数的角度研究数列，提升逻辑推理的核心素养.　3.了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列的增减性的方法，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 任务一　数列的函数特性 问题1.已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9； (2)1，，，，…； (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300. 你能作出它们的图象吗？ 提示： 问题2.数列是特殊的函数，那么特殊的表现是什么呢？ 提示：表现在：①定义域为正整数集；②图象是一群孤立的点. 1.数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象. 2.数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用图象、列表、通项公式. [微提醒]　(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点.(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，对应项的变化趋势. 学生用书⬇第5页 在数列{an}中，an＝n2－8n，画出{an}的图象. 解：列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示. 　　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的. 对点练1.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： (1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 任务二　数列的增减性 问题3.已知图①是数列：3，4，5，6，7，8，9的图象，图②是数列：1，，，的图象，图③是5 300，5 300，5 300，…，5 300的图象.观察图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是由一些点组成的，图①数列中的项逐渐变大，对应的函数图象是上升的.图②数列中的项逐渐变小，对应的图象是下降的.图③数列中的项不变，这些点在与x轴平行的一条直线上. 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1＜an 常数列 各项都相等 an＋1＝an [微提醒]　(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性.(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. [微思考]　若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f(n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ 提示：一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n(n∈N＋)是递增数列，但f(x)＝x2－x在区间[1，＋∞)上不单调. 学生用书⬇第6页 已知数列{an}的通项公式是an＝，则该数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案：B 解析：对任意n∈N＋，因为an＋1－an ＝－ ＝＜0，所以数列{an}是递减数列.故选B. [变式探究] 　(变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k＞0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性. 解：＝·＝＜1. 因为k＞0，n∈N＋，所以an＞0， 所以an＋1＜an，所以{an}是递减数列. 判断数列增减性的方法 1.作差法：将an＋1－an与0进行比较. 2.作商法：将与1进行比较(在作商时，要注意an＜0还是an＞0). 3.函数性质法：利用对应函数在(0，＋∞)上的单调性，判断数列的增减性. 对点练2.已知数列{an}的通项公式是an＝，判断数列{an}的增减性. 解：法一(作差法)：因为an＋1－an＝－＝＝＞0， 所以an＋1＞an对任意的n∈N＋都成立，所以{an}是递增数列. 法二(作商法)：因为an＝＞0，所以＝·＝＝＞1， 所以an＋1＞an对任意的n∈N＋都成立，所以{an}是递增数列. 法三(函数性质法)：因为an＝＝＝2－， 由于函数y＝2－上单调递增，所以{an}是递增数列. 任务三　综合应用 应用1　利用数列的增减性求参数 已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A.(－∞，3] B.(－∞，4] C.(－∞，5) D.(－∞，6) 答案：D 解析：依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ＜0，即λ＜2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立，当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ＜6，即λ的取值范围是(－∞，6).故选D. 　　利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围. 对点练3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是　　　　. 答案：(0，＋∞) 解析：因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k＞0，所以k＞0. 应用2　数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N，n≥1). (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{an}的增减性，并求数列{an}的最大项和最小项. 解：(1)由题意得，a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， a5＝＝. (2)an＝＝＝1＋， 当n≤49时，an＞1且{an}递增；当n≥50时，0≤an＜1且{an}递增. 所以最大项为a49＝2；最小项为a50＝0. 学生用书⬇第7页 求数列{an}的最大项和最小项的方法 1.数列或函数的单调性法. 2.不等式法：利用(n≥2)求数列中的最大项an， 利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定. 对点练4.已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项. 解：设an是数列{an}中的最大项， 则 所以即9≤n≤10， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. [教材拓展1]　斐波那契数列(源于教材P9　阅读材料) (1)数学家斐波那契在自己的著作中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足Fn＋2＝Fn＋1＋Fn(n≥1，n∈N＋)，该数列称为斐波那契数列.在斐波那契数列中，1＋F2＋F4＋F6＋…＋F2 026等于(　　) A.F2 025 B.F2 026 C.F2 027 D.F2 028 (2)(多选题)斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：F＝F(2)＝1，F＝F＋F.在现代物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果.根据以上描述，以下说法正确的是(　　) A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前10项可以看出，设第n项为an，则＋＋…＋＝anan＋1 D.设第n项为an，随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，则k＝ 答案：(1)C　(2)BCD 解析：(1)由Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，得Fn＋1＝Fn＋2－Fn， 所以1＋F2＋F4＋F6＋…＋F2 026＝1＋(F3－F1)＋(F5－F3)＋…＋(F2 027－F2 025)＝1－F1＋F2 027＝F2 027.故选C. (2)“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，因为a1＝a2，所以该数列不是一个递增数列，故A错误；因为a11＝89，即89是该数列的一项，故B正确；因为a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以＝a2·a1，＝a2·＝a2·a3－a2·a1，＝a3·＝a3·a4－a3·a2，…， ＝an·＝an·an＋1－an·an－1，所以＋＋…＋＝an·an＋1，故C正确；因为an＋2＝an＋1＋an，两边同除以an＋1，可得＝1＋，又随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，所以＝1＋k，解得k＝(负值已舍去)，故D正确.故选BCD. 任务 再现 1.数列的函数特性.2.数列的增减性的判断及应用.3.求数列的最大(小)项 方法 提炼 图象法、单调性比较(定义法、函数法)、转化与化归思想 易错 警示 求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错 1.已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　) A.一条直线 B.一条线段 C.一条射线 D.一群孤立的点 答案：D 解析：因为an＝3n－2，n∈N＋，所以数列{an}的图象是一群孤立的点.故选D. 2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A.R B.(0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，0] 答案：C 解析：因为{an}是递减数列，所以an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.故选C. 3.若an＝，则an与an＋1的大小关系是(　　) A.an＞an＋1 B.an＜an＋1 C.an＝an＋1 D.不能确定 答案：B 解析：an＝＝3－，所以an＋1－an＝－＝－＝＞0，即an＜an＋1.故选B. 4.在数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是　　　　. 答案：30 解析：an＝－n2＋11n＝－＋，又n∈N＋，所以当n＝5或6时，an取最大值30. 学科网（北京）股份有限公司 $