1.4 数列在日常经济生活中的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 学习目标 1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式.　2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型等三种模型的本质特点，并学会应用，培养数学建模的核心素养. 任务一　单利与复利 问题1.在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中银行又是采用怎样的计息方式呢？ 提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似. 1.单利与复利 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息＝本金×利率×存期，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr). (2)复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S＝P(1＋r)n. 2.零存整取与定期自动转存 (1)零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝P. (2)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存.n年后，本利和为S＝P(1＋r)n. 学生用书⬇第37页 [微提醒]　复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列. (链教材P34例1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36％. (1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？ (2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(精确到1元) 解：(1)每月存500元，3年后的利息为 500(36×0.36％＋35×0.36％＋…＋2×0.36％＋1×0.36％)＝1 198.8≈1 199(元)， 所以3年后的本息和为500×36＋1 199＝19 199元. (2)设王先生每月存入x元，则有x(36＋×0.36％)＝20 000，x≈521(元)， 故王先生每月大约存521元. 　　“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列.“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列. 对点练1.某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2026年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2034年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 解：设从2026年年初到2034年年初每年的本利和组成数列{an}，到2033年为止，把2026年末存款的本利和看作a1，则2033年末存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)， a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， a8＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝a(1＋p)9－a(1＋p). 所以这个家庭应取出的钱数为[(1＋p)9－(1＋p)]元. 任务二　分期付款问题 问题2.王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？ 提示：等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的.等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金的减少而减少.不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大. 　　分期付款：分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清. [微提醒]　分期付款要综合运用等差数列、等比数列的知识，解题时要认真分析题意. 用分期付款的方式购买价格为100万元的住房一套，如果购买时先付20万元，以后每年付5万元加上欠款利息.签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为5％，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解：由题意得购买时先付20万元，余款80万元分16次还清，每次付款的数额构成数列{an}，则 a1＝5＋(100－20)×5％＝9(万元)， a2＝5＋(100－20－5)×5％＝8.75(万元)， a3＝5＋(100－20－2×5)×5％＝8.5(万元)， … an＝5＋[100－20－(n－1)·5]×5％＝－n＋(万元)(n＝1，2，…，16). 所以数列{an}是首项为9，公差为－的等差数列， 所以a5＝－×5＋＝8(万元). S16＝16×9＋＝114(万元). 因此，第5年该付8万元，购房款全部付清后实际共付134万元. 学生用书⬇第38页 1.做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. 2.等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题. 对点练2.某人向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28) 解：法一：由题意知贷款总额a＝200 000(元)，还款次数n＝12×10＝120， 还款期限m＝10(年)＝120(个月)，月利率r＝3.375‰＝0.003 375. 代入公式得，每月还款金额为 ≈2 029.66(元). 故每月应还贷约2 029.66元. 法二：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)， 则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120，解得x≈2 029.66. 故每月应还贷约2 029.66元. 任务三　零存整取与定期自动转存模型的比较 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5％)计算本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7％)n·a计算本利(n为年数). 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 解：若按第(1)种存款方式，则5年的零存整取本利是 2 000×(1＋5×0.065)＋2 000×(1＋4×0.065)＋…＋2 000×(1＋0.065)＝11 950(元)； 若按第(2)种存款方式，则到期时本利是 2 000×(1＋0.057)5＋2 000×(1＋0.057)4＋…＋2 000×(1＋0.057)≈2 000×≈11 860(元). 所以第(1)种存款方式到期的全部本利较高. 　　零存整取是等差数列求和在经济方面的应用，定期自动转存是等比数列求和在经济方面的应用.当单利显著高于复利利率时，即使复利有“利滚利”效应，单利仍可能胜出. 对点练3.比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算？ (1)将1 000元本金存入银行一年后(年利率为2.10％)，再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本利和多少元？ (2)将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类(年利率为3.0％)，三年后可得本利和多少元？ 解：(1)1 000元本金参加一年整存整取，到期可得本利和为1 000×(1＋2.10％)＝1 021(元). 转存一次时，本金为1 021元，所以到期本利和为1 021×(1＋2.10％)≈1 042.44(元). 再转存一次时，本金为1 042.44元，所以到期本利和为1 042.44×(1＋2.10％)≈1 064.33(元). 即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1 064.33元. (2)1 000元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为A＝p(1＋r·n)，这里r表示利率，n是计息期限，p是本金，即A＝1 000×(1＋3.0％×3)＝1 000×1.09＝1 090(元). 所以利用第二种储蓄方式更简便合算. 任务 再现 1.单利与复利.2.零存整取、定期自动转存、分期付款模型 方法 提炼 构造法、转化法、数学建模 易错 警示 题意理解错误，没能构造出合适的数列模型；数列模型的首项与项数弄错 学生用书⬇第39页 1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A.5(1＋2＋3＋…＋12)元 B.5(1＋2＋3＋…＋11)元 C.1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D.1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 答案：A 解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元.故选A. 2.按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4％，则3年后支取可获得利息为(　　) A.(5×0.04)3万元 B.5(1＋0.04)3万元 C.3×(5×0.04)万元 D.[5(1＋0.04)3－5]万元 答案：D 解析：3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元.故选D. 3.某彩电价格在去年6月份降价10％之后经10，11，12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是　　　　. 答案： －1 解析：设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a·90％×(1＋x)3＝a，所以1＋x＝，x＝－1. 4.银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利和为　　　　元. 答案：a(1＋p)10 解析：由题意知，第一年本利和为a(1＋p)元，第二年本利和为a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2元，第三年本利和为a(1＋p)2(1＋p)＝a(1＋p)3元，以此类推，第十年本利和为a(1＋p)10元. 学科网（北京）股份有限公司 $