模块综合检测卷-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

模块综合检测卷 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.数列1，，，，…的第8项是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：观察1，，，，…可看为，，，，…，分母是2n－1，分子为n2，故第8项为.故选D. 2.已知函数f(x)＝sin x＋cos，则f'＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为f(x)＝sin x＋cos，则f'(x)＝cos x，故f'＝cos＝.故选B. 3.在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝(　　) A.3 B.－3 C.±3 D.无法确定 答案：C 解析：因为a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，所以a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝＝9，所以a7＝±3.故选C. 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则等于(　　) A.－55 B.0 C.55 D.73 答案：D 解析：因为Sn＝n2－16n，所以当n＝1时，a1＝－15，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17.令an≤0，解得n≤8(n∈N＋).则＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.故选D. 5.数列{an}的前n项和Sn＝A(3n－1)(A≠0)，若k为3和l的等差中项(k，l∈N＋)，则＝(　　) A.3 B.9 C.27 D.与A的取值有关 答案：C 解析：n＝1时，a1＝S1＝2A，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝A(3n－1)－A(3n－1－1)＝2A×3n－1，且n＝1也符合，所以{an}是公比为3的等比数列，由k为3和l的等差中项知2k＝l＋3，所以＝＝q3＝27.故选C. 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则下列说法错误的是(　　) A.f(0)＝0 B.当x＜0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C.f(x)≥2，当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点 答案：C 解析：对于A，根据奇函数的定义有f(0)＝0，故A正确；对于B，当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(x2－3)e－x＋2，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；对于C，当x＞0时，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)(x＋3)ex，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f()＝2，当x→0＋时，f(x)→－1，所以由f(x)≥2得x≥；当x＜0时，f(－1)＝2(e－1)＞2，满足f(x)≥2，但－1∉[，＋∞)，故C错误；对于D，根据C解析知x＝1是函数f(x)的极小值点，根据奇函数图象关于原点对称，知x＝－1是函数f(x)的极大值点，故D正确.故选C. 7.已知函数f(x)＝x2＋aln x，若对∀x1，x2∈[2，＋∞)(x1≠x2)，∃a∈［1，］，使｜｜＞m成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(－∞，) C. D. 答案：D 解析：当a∈时，f(x)＝x2＋aln x在(0，＋∞)上单调递增，则＞0，因为＞m，所以＞m.记g(x)＝f(x)－mx，因为＞m，所以＞0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g'(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即x＋－m≥0在[2，＋∞)上恒成立，整理得m≤x＋在[2，＋∞)上恒成立，则m≤，故有m≤2＋，因为∃a∈，使m≤2＋成立，所以m≤，即m≤.故选D. 8.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＜f(x)且f为偶函数，f(x＋1)为奇函数，若f(9)＋f(8)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为(　　) A. B. C.(0，＋∞) D. 答案：C 解析：因为f为偶函数，f(x＋1)为奇函数，所以f＝f，f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，所以f(x)＝f，f(x)＋f(－x＋2)＝0，所以f(－x＋6)＋f(－x＋2)＝0.令t＝－x＋2，则f(t＋4)＋f(t)＝0.令上式中t取t－4，则f(t)＋f(t－4)＝0，所以f(t＋4)＝f(t－4).令t取t＋4，则f(t)＝f(t＋8)，所以f(x)＝f(x＋8).所以f(x)为周期为8的周期函数.因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，令x＝0，得：f(1)＋f(1)＝0，所以f(1)＝0，所以f(9)＋f(8)＝1，即为f(1)＋f(0)＝1，所以f(0)＝1.记g(x)＝，所以g'(x)＝.因为f'(x)＜f(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)＝在R上单调递减.不等式f(x)＜ex可化为＜1，即为g(x)＜g.所以x＞0.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.如图是导函数y＝f'(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A.(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B.(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 答案：ABD 解析：由题意，可知当x＜－1或3＜x＜5时，f'(x)＜0；当x＞5或－1＜x＜3时，f'(x)＞0，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故C说法错误，A、B、D正确.故选ABD. 10.已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A.an＝2n B.数列{an}单调递减 C.Sn＋1＝2Sn＋2 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 答案：AC 解析：由题意可知q＞0，根据a4＝2a2＋a3，得2q3＝4q＋2q2，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以an＝2×2n－1＝2n，故A正确；由a1＝2，q＝2，知{an}单调递增，故B错误；Sn＝＝2n＋1－2，则2Sn＋2＝2n＋2－2＝Sn＋1，所以C正确；令bn＝lg an，则bn＝lg 2n，所以bn＋1－bn＝lg 2n＋1－lg 2n＝lg＝lg 2，所以{lg an}是以lg 2为公差的等差数列，故D错误.故选AC. 11.已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1，则下列说法正确的是(　　) A.当b＝0时，f(x)有两个极值点 B.当a＝0时，f(x)的图象关于中心对称 C.当b＝，且a＞－4时，f(x)可能有三个零点 D.当f(x)在R上单调时，a2≥3b 答案：BC 解析：对于A，当b＝0时，f(x)＝x3－ax2＋1，f'(x)＝3x2－2ax，若a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，则f(x)在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；对于B，当a＝0时，f(x)＝x3＋bx＋1，f(－x)＝－x3－bx＋1，则f(x)＋f＝2，所以f(x)的图象关于中心对称，故B正确；对于C，当b＝时，f(x)＝x3－ax2＋x＋1，f'(x)＝3x2－2ax＋＝3，取－4＜a＜－3，即－64＜a3＜－54时，此时＞，所以当x＜时，f'(x)＞0，所以f(x)在上单调递增，当＜x＜时，f'(x)＜0，所以f(x)在上单调递减，当x＞时，f'(x)＞0，所以f(x)在上单调递增，所以函数极小值为f＝＋1＜0，函数极大值为f＝1＞0，即ff＜0，所以f(x)在有一个零点，又因为f(a)＝＋1＜－＜0，f＝－＋1＞0，所以f(x)在有一个零点，在有一个零点，即当－4＜a＜－3时，f(x)有三个零点，故C正确；对于D，若f(x)在定义域R上是单调函数，则f'(x)＝3x2－2ax＋b≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12b≤0，解得a2≤3b，所以D错误.故选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知各项均为正数的等比数列满足：a4＝4，则log8a2＋log8a3＋log8a7的值为　　　　　. 答案：2 解析：设数列公比为q，则a4＝a1q3＝4，则log8a2＋log8a3＋log8a7＝log8＝log8＝log8＝log864＝2. 13.若函数f(x)＝－4x3＋3x在(a，a＋2)上存在最小值，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为f(x)＝－4x3＋3x，所以f'(x)＝－12x2＋3.令f'(x)＝0，得x＝±，则当x∈(－∞，－)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－，)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝－，f(x)有极小值.因为函数f(x)＝－4x3＋3x在(a，a＋2)上存在最小值，且f(1)＝f＝－1，所以a＜－＜a＋2≤1，解得－＜a≤－1. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2).若λ(Sn－an)＋λ＋5≥(2－λ)n对∀n∈N＋都成立，则实数λ的最小值为　　　　. 答案： 解析：因为Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，所以Sn＋1－Sn＝2n＋Sn－Sn－1(n≥2)，又a2－a1＝2，所以an＋1－an＝2n，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1，n＝1时，a1＝1满足上式，所以Sn＝2n＋1－n－2，代入λ＋λ＋5≥(2－λ)n，得λ≥，构造函数g(x)＝，求导得g'(x)＝，当x＝＋时，g'(x)＝0；当x＜＋时，g'(x)＞0；当x＞＋时，g'(x)＜0.于是函数g(x)在x＝＋时取得最大值， 又因为3＜＋＜4，g(3)＝，g(4)＝，故，所以 λ≥，故实数λ的最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由an＋1＝2an＋1， 可得an＋1＋1＝2(an＋1). 因为a1＋1＝2≠0， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以an＋1＝2×2n－1＝2n， 所以an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝3n·2n， 所以Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n， 所以2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1， 所以－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1 ＝(3－3n)2n＋1－6. 所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6. 16.(15分)某市为提高市民的健康水平，拟在半径为20 m的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场(如图所示的阴影部分)分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形ABCD区域是休闲健身区，以CD为底边的等腰三角形区域PCD是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，AB中点恰好为圆心O.设∠COB＝θ，健身广场的面积为S. (1)求出S关于θ的函数解析式； (2)当角θ取何值时，健身广场的面积最大，最大值为多少？ 解：(1)由已知得BC＝20sin θ，OB＝20cos θ， 等腰△PCD底边CD上的高为20－20sin θ， 所以S＝2×20cos θ×20sin θ＋×40cos θ(20－20sin θ)＝800sin θcos θ＋400 ＝400 ＝400(sin θcos θ＋cos θ) 所以S＝400(0＜θ＜). (2)设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ， 则f'＝cos2θ－sin2θ－sin θ＝－2sin2θ－sin θ＋1＝－2， 由f'(θ)＞0得0＜θ＜，由f'＜0得＜θ＜， 所以f(θ)在上单调递增，在上单调递减， 所以θ＝时，f＝f＝＋＝， 所以Smax＝×400＝300， 即θ＝时，健身广场的面积最大， 最大值为300 m2. 17.(15分)在“①f(x)的图象在点处的切线斜率为1；②f'(1)＝0；③f(x)有两个极值点－1，1”这三个条件中任选一个补充在下面的问题(1)中，并加以解答. 已知f(x)＝xex－. (1)若　　　　，求实数m的值； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)若m＞0，讨论f(x)的单调性 解：(1)方案一：选条件①. 易得f'(x)＝， 所以f'＝＝1，所以m＝0. 方案二：选条件②. 易得f'(x)＝， 所以f'(1)＝＝0，所以m＝e. 方案三：选条件③. 易得f'(x)＝，若m≤0，则不符合条件③，故m＞0， 所以由f'(x)＝0，得x1＝－1，x2＝ln m. 因为f(x)有两个极值点－1，1，所以ln m＝1， 所以m＝e. (2)f'(x)＝. 当m＞0时，由f'(x)＝0，得x＝－1或x＝ln m. (ⅰ)若m＝，则f'(x)＝≥0. 所以f(x)在R上单调递增. (ⅱ)若m＞，则ln m＞－1. 所以当f'(x)＞0时，x＜－1或x＞ln m； 当f'(x)＜0时，－1＜x＜ln m. 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. (ⅲ)若0＜m＜，则ln m＜－1. 所以当f'(x)＞0时，x＜ln m或x＞－1； 当f'(x)＜0时，ln m＜x＜－1. 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当0＜m＜时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减； 当m＝时，f(x)在R上单调递增； 当m＞时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 18.(17分)正项数列{an}的前n项和Sn满足－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N＋，都有Tn＜. 解：(1)由－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于数列{an}是正项数列， 所以Sn＞0，所以Sn＝n2＋n. 则a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 又a1＝2＝2×1满足上式. 综上，数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N＋). (2)证明：因为an＝2n， 所以bn＝＝＝， Tn＝［1－＋－＋－＋…＋－＋－］ ＝＜＝. 所以对于任意的n∈N＋，都有Tn＜. 19.(17分)已知函数y＝f(x)＝xln x和y＝g(x)＝m. (1)当m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根； (2)若对任意的x∈，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)的图象的上方，求实数m的取值范围； (3)求证：＋＋…＋＞ln，n∈N＋. 解：(1)当m＝1时，由f(x)＝g(x)得 xln x＝x2－1， 又x＞0，所以方程可化为ln x－x＋＝0. 令h(x)＝ln x－x＋，则h'(x)＝－1－＝＝＜0， 所以h(x)在上单调递减， 又h(1)＝0，故方程f(x)＝g(x)有唯一的实根，即x＝1. (2)对于任意的x∈，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)的图象的上方， 即对任意的x∈，f(x)＜g(x)， 即ln x＜m恒成立. 设F(x)＝ln x－m，则对任意的x∈，F(x)＜0恒成立. F'(x)＝－m＝. ①若m≤0，则F'(x)＞0，则F(x)在上单调递增，又F(1)＝0， 所以F(x)＞0，与F(x)＜0矛盾； ②若m＞0，方程－mx2＋x－m＝0的判别式Δ＝1－4m2， 当Δ≤0，即m≥时，F'(x)≤0，则F(x)在上单调递减，又F(1)＝0， 所以F(x)＜0，不等式成立. 当Δ＞0，即0＜m＜时，方程－mx2＋x－m＝0有两个实根， 设两根为x1，x2，且x1＜x2，则 所以方程有两个正实根且0＜x1＜1＜x2. 当x∈时，F'(x)＞0，F(x)单调递增， 此时F(x)＞0，与F(x)＜0矛盾. 综上所述：实数m的取值范围是. (3)证明：由(2)知，当x＞1，m＝时， ln x＜恒成立. 令x＝＞1， 则ln＜＝， 即ln－ln＜， 所以 所以＋＋…＋＞ln，n∈N＋. 学科网（北京）股份有限公司 $