课时分层评价24 函数的最值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价24　函数的最值 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.下列命题中，真命题是(　　) A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 答案：B 解析：函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误.故选B. 2.函数f(x)＝x3－3x，则下列结论正确的是(　　) A.有最大(小)值，但无极值 B.有最大(小)值，也有极值 C.既无最大(小)值，也无极值 D.无最大(小)值，但有极值 答案：C 解析：f'(x)＝3x2－3＝3，当x∈时，f'(x)＜0，所以f(x)在上单调递减，因此函数f(x)无最大值和最小值，也无极值.故选C. 3.函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是(　　) A.－ B.2 C.＋ D.＋1 答案：A 解析：f'(x)＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2]，所以f'(x)＝1－2sin x＞0在上恒成立，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)min＝f＝－＋2cos ＝－.故选A. 4.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A.f(a)－g(b) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(a) D.f(b)－g(a) 答案：C 解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为f'(x)＜g'(x)，所以F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上单调递减，所以F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).故选C. 5.已知函数f(x)＝x＋e－x，则函数f(x)在上的最小值为(　　) A.1 B.1＋ C.－1＋e D.1－ 答案：A 解析： f(x)＝x＋e－x，x∈，则f'(x)＝1－e－x＝，x∈，当－1≤x＜0时，f'(x)＝＜0，f(x)单调递减；当0＜x≤1时，f'(x)＝＞0，f(x)单调递增.则f(x)在x＝0时取得最小值f(0)＝0＋e0＝1.故选A. 6.(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A.f(x)＞0的解集是{x｜0＜x＜2} B.f(－)是极小值，f()是极大值 C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 答案：ABD 解析：由f(x)＞0得0＜x＜2，故A正确；f'(x)＝(2－x2)ex，令f'(x)＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f'(x)＜0，当－＜x＜时，f'(x)＞0，所以当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确；当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.故选ABD. 7.函数f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是　　　　. 答案：e－1 解析：由题意得f'(x)＝ex－1.令f'(x)＝0，得x＝0.当x∈[－1，0)时，f'(x)＜0；当x∈(0，1]时，f'(x)＞0.所以f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增.又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，所以f(－1)－f(1)＝2＋－e＜0，所以f(－1)＜f(1).所以f(x)max＝f(1)＝e－1. 8.函数f(x)＝ex－｜x｜＋(1－e)x的最小值为　　　　　　　. 答案：0 解析：当x≤0时，f(x)＝ex＋(2－e)x＞0；当x＞0时，f(x)＝ex－ex，f'(x)＝ex－e，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x≥1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增.又f(1)＝0，所以f(x)min＝f(1)＝0. 9.(双空题)设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 答案：　0 解析：由f(x)＝得f'(x)＝，令f'(x)＞0，则1－ln x＞0，解得0＜x＜e；令f'(x)＜0，则1－ln x＜0，解得x＞e，所以函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减.又f(1)＝0，f(4)＝＞0，所以f(x)的最大值为f(e)＝＝，f(x)的最小值为f(1)＝0. 10.(13分)已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋5. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解：(1)f(x)的定义域为R，f'(x)＝2x2－2x－4＝2. 令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2. 当x＜－1时，f'(x)＞0，当－1＜x＜2时，f'(x)＜0，当x＞2时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)由(1)知，当x在区间上变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x －3 (－3，－1) －1 (－1，2) 2 (2，3) 3 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －10 单调递增 单调递减 － 单调递增 2 所以函数f(x)在区间上的最小值为－10，最大值为. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.(新角度)音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数y＝Asin ωx的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍.当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一、三分之一……)也在振动，所以我们听到声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋…，则声音函数y＝sin x＋sin 2x在[0，2π]上的最大值是(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：y'＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)，x∈[0，2π].令y'＝0，即(2cos x－1)(cos x＋1)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，所以x＝或x＝π或x＝，又当x＝时，y＝；当x＝π时，y＝0；当x＝时，y＝－；当x＝2π时，y＝0；当x＝0时，y＝0，所以ymax＝.故选B. 12.函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：f'(x)＝2x＋(a－1)－＝，设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24＞0，因此g(x)＝0有两个不同实根，又g(0)＝－3＜0，因此g(x)＝0的两根一正一负，由题意正根在(1，2)内，所以解得－＜a＜2.故选A. 13.已知函数f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝e－x－a，∀x1∈[－1，1]，∃x2∈[0，2]，使不等式f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由题意，可得f(x)min≥g(x)min，当－1≤x≤1时，f'(x)＝，由f'(x)＜0，可得－1≤x＜0，由f'(x)＞0，可得0＜x≤1，所以函数f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－a，所以g(x)在[0，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝－a，所以0≥－a，解得a≥.所以实数a的取值范围是. 14.(15分)已知函数f(x)＝2ex(x＋1). (1)求函数f(x)的极值； (2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞－3)上的最小值g(t). 解：(1)f'(x)＝2ex(x＋2)， 由f'(x)＞0，得x＞－2； 由f'(x)＜0，得x＜－2. 所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 在(－∞，－2)上单调递减. 所以f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值. (2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 在(－∞，－2)上单调递减. 因为t＞－3，所以t＋1＞－2. ①当－3＜t＜－2时，f(x)在[t，－2)上单调递减，在(－2，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝f(－2)＝－2e－2. ②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝f(t)＝2et(t＋1). 综上，g(t)＝ 15.(5分)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a＞1)，若对于任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为　　　　. 答案：4 解析：由题意得，f'(x)＝3ax2－3，当a＞1时，令f'(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈[－1，1].①当－1≤x＜－时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；②当－＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；③当＜x≤1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.所以只需f≥0，且f(－1)≥0即可，由f≥0，得a·－3·＋1≥0，解得a≥4，由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4. 16.(17分)已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R). (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a). 解：(1)因为a＝1，所以g(x)＝ln x＋x2－3x， 所以g'(x)＝＋2x－3＝， 因为x∈[1，e]，所以g'(x)≥0， 所以g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(x)max＝g＝e2－3e＋1. (2)g(x)的定义域为，g'(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝. ①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1； ②当1＜＜e，即2＜a＜2e时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，h(a)＝g＝aln －a2－a； ③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g＝a＋e2－2e. 综上，h(a)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $