课时分层评价29 导数中的函数构造问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时分层评价29导数中的函数构造问题用P16 对应学生 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查（第1一9题，每小题5分，共45分） 1.已知函数x)x∈R)满足1)=1，且fx)<,则x)<登+的解集为( A.{x|-1<x<1 B.{x|x<-1 C.{x|x<-1,或x>1} D.xx>1 答案：D 解析：构造函数h(x)=x)一兰一号，所以h'x)=fx)-寺<0，故h(x)在R上单调递 减，且h(I)=1)-号-号=0，故h(x)<0的解集为{x|x>1}.故选D. 2.己知函数x)的定义域为R,fx)为fx)的导函数，且x)十(x一1fx)>0,则( A.1)=0 B.Ax)<0 C.x)>0 D.(x-1x)<0 答案：C 解析：令gx)=(x一1x),则g(x)=x)十(x-1fx)>0,所以g(x)在R上是增函数， 又因为g(1)=0,所以当x>1时，g(x)=(x-1)x)>0;当x<1时，gx)=(x一 1x<0,所以当x≠1时，x)>0,又1)+(1一1f1)=1)>0,所以A,B,D错 误，C正确.故选C 3.定义在R上的函数fx)的导函数为f(x),若对任意实数x,有x)>fx),且x)+2 026为奇函数，则不等式x)十2026e<0的解集是( ) A.(-∞，0) B.(-∞，2026) C.(0,+∞) D.(2026,+∞) 答案：C 解析：因为x)+2026为奇函数，所以f0)+2026=0,即0)=一2026.令(x)= 9+2026,因为m)>f,则F)=®<0，所以F9)=型+2026在R上 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2xXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 单调递减.因为F0)=四+2026=0，所以四)十2026c<0的解集等价于型+2 026<0的解集，即F(x)<F0)的解集，则x>0,所以不等式fx)十2026<0的解集 为(0，十∞).故选C. 4.定义域为(-罗，晋)的函数x)满足x)十（一x)=0,其导函数为fx),当0≤x<罗 时，有fx)cosx+fx)sinx<0成立，则关于x的不等式x)<√2f()·cosx的解集 为() A.（-,-平)U(平) B.() C.(-,0)U(0,) D.(-,0)U() 答案：B 解析：因为)十一)=0且x∈(-号号)，所以)是奇函数，设g)=熙，则当 0≤x<号时，g=fwf血<0，所以g在[0，号)上单调递减.又9是奇函 cosx 数，所以gw)=器也是奇函数，所以gx)在(-受，0]上单调递减，从而g)在 (-受号)上单调递减，因为不等式)<f(得)·cosx,所以<健 g(x)<g(),所以晋<x<罗.故选B. 5.(多选题)已知x)为(0，十∞)上的可导函数，且(x十1)·f(x)>x),则下列不等式一 定成立的是( A.34)<43) B.44)>53) C.33)<42) D.33)>42) 答案：BD 解析：由（+1>，得x+1/一>0，令g)=g,则g)= (x+1)f'(☒f( >0,所以g)在(0，+)上单调递增，所以g2)<g3)<g4),则9<型<碧， 4 、5 即42)<33)，53)<44).故选BD. 6.设定义在(0，+∞)的函数x)的导函数为fx),且满足fx)十3x)>0,则关于x的 不等式（等-1）x一3)一3)<0的解集为( ) ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2xXk.G0m○ 您身边的互联网+教辅专家 A.(3,6) B.(0,3) C.(0,6) D.(6,十∞) 答案：A 解析：构造函数g(x)=x3x),则g(x)=x2[3x)十/x)]>0,所以g(x)在(0，十∞)上单 调递增，（等-1）3x-3)-3)<0,即(x-3)x-3)-273)<0,所以gx-3)<g(3), x-3<3, 则x-3>0,所以3<<6.故选A 7.己知x)的导函数fx)=2x-是，且e)=e2,则x)的解析式为 答案：x)=x2-lnx+1 解析：由fx)=2x-是，可设x)=x2-nx十c,又e)=e2,所以e2-l+c=e2,即c =1,所以fx)=x2-lnx+1. 8.设函数x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，其导函数为fx),且有2fx)十 xfx)>x,则不等式(x一2025)x一2025)-42)≤0的解集为 答案：(2025,2027] 解析：因为函数x)是定义在(0，十∞)上的可导函数，且有2fx)十x)>x,所以 2x)十xf(x)>x2.设函数g(x)=xx),则gx)=2xx)十x2f(x)>0,所以函数g(x)在 (0,+∞)上单调递增.又因为(x-2025)x-2025)-42)≤0，即(x-2025)x-2 「x-2025>0, 025)≤222)，所以gx-2025)≤g2),则{x-2025≤2，即2025<≤2027，即不等 式的解集为(2025,2027]. 9.设a=999n1001,b=1000n1000,c=1001n999,则a,b,c的大小关系 为 答案：c>b>a 解析：设x)=(1000-x)n(1000十x),x∈[-1,1]，当x∈[-1,1]时，fx)=-n (1000+)+88=<0,所以函数x)单调递减，所以-1)=1001血999>0)=1 000ln1000>1)=999ln1001,所以c>b>a. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 10.(13分)己知函数x)=xnx十x(x-a)2,a∈R. (I)当a=0时，求x)在x=e处的切线斜率； (2)若存在x∈[，2]，使得)>x)成立，求实数a的取值范围. 解：(1)当a=0时，x)=xnx十x3, 则fx)=1+lnx+3x2. 当x=e时，f(e)=1+lne+3e2=3e2+2, 即x)在x=e处的切线斜率为3e2+2. (2)由x)>xfx)成立， 可得[9]=过f型<0. 设gy=f=lnx+(x-aP, 则存在x∈[，2，使得g)=是十20c-a)<0成立，即a>(x+泰)mm 又x十泰≥28京=2， 当且仅当x=会，即=吗时取等号， 所以a>V2, 所以实数a的取值范围为(W2,十∞). 可综合运用（第11一13题，每小题5分，共15分） 11.己知函数x)的定义域为R,其导函数为fx),且3x)-fx)>0在R上恒成立， 则下列不等式一定成立的是() A.1)<e30) B.1)<e2f0) C.1)>e30) D.f1)>e20) 答案：A 解析：令g9=思，则gm) ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(xea-3f (xe3x (e3)2 =f-3r图， 因为3x)-fx)>0在R上恒成立，所以g(x)<0在R上恒 成立，故g)在R上单调递减，所以g<g0,即型<四，即1<e0),故选 A. 12.己知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则() A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 答案：D 解析：因为ae35=5e,所以a>0,同理b>0,c>0.令x)=,x>0,则fx)= 型，当0<x<1时，0，当>1时，)>0，故在(0,1)止单调递减， 在(1，十∞)上单调递增.因为ae5=5e,故号=置，即5)=a).又0<a<5,故 0<a<1,同理可得0<b<1,0<c<1,4)=b),3)=c,.因为5)>4)>3)， 故a)>b)>c),所以0<a<b<c<1.故选D. 13.(多选题)若x2>x>1,则( A.exa-e*1>3ln x2-3ln x B.exa-ex1<3ln x2-3ln x C.x2e1<1e3 D.xexi<xexa 答案：CD 解析：令x)=e-3nx,x∈(1，+∞)，则fx)=e-是，x∈(1，+∞).因为函数y= ex和y=-是在x∈(I,十∞)上单调递增，所以fx)=e一是在x∈(1，十∞)上单调递 增.又f1)=e-3<0,f3)=e3-1>0,所以存在a∈(1,3)，使得fa)=0,当x∈ (1,a)时，fx)<0,x)单调递减；当x∈(a,+∞)时，fx)>0,x)单调递增，所以 当2>>1，)与x2)的大小无法确定，即ex1-3n灯1与e*2-3血2的大小无法确 定，所以e2一e1与3n3-3n的大小无法比较，故A、B错误；令gx)=罗，则 g)==，显然当>1时，gm)>0,所以g0在(1，十©)上单调递增.因 x2 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2xXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 为>>1，所以需<需，即e1<:e,故C正确；令h)=e,则h)=e(x +1),显然当x>1时，h(x)>0,所以h(x)在(1，+∞)上单调递增，因为2>x1>1, 所以1e1<r2e2,故D正确.故选CD. 14.(13分)开放题)己知函数fx)=x2-2anx+(a-2)x. (I)当a=1时，求函数fx)在[1，e]上的最小值和最大值： (2)是否存在实数a,对任意的，2∈(0，十∞)，且1≠x2, 郑有>a恒成 立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 解：(1)当a=1时，x)=x2-2nx-x. 则fx)=x-是-1= -tx②，xe1,e. 所以当x∈[1,2)时，fx)<0;当x∈(2，e]时，fx)>0. 所以x)在[1,2)上单调递减，在(2，e]上单调递增. 所以当x=2时，x)取得最小值，其最小值为2)=一2n2. 又1)=-，e)=号-e-2, e)-f1)=号-e-2十=e<0, 所以e)<f1),所以nx)max-=1)=-. 2)假设存在实数，对任意的，∈0，十o)且≠，都有>a恒成 立， 不坊设0<<3，因为2>a, 所以2)-ax2>x1)一ax1: 令g(x)=x)-ax, 则由此可知g(x)在(0，十∞)上单调递增， g(x)=x2-2alnx+(a-2)x-ax =支x2-2alnx-2x, 则g(x)=x-是一2=2登2， 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由此可得g(x)≥0在(0，十∞)上恒成立， 只需-1-2a≥0，解得a≤-. 即a的取值范围是(-o,-专] ⊙创新拓展 15.(5分)设函数x)在R上的导数为fx),对任意的x∈R,有x)一一x)=2sinx, 且在[0，+∞)上fx)>cosx.若f(受-t)一f(t)>cost-sint,则实数t的取值范围为 答案：（-0) 解析：因为x)一-x)=2sinx,所以x)-sinx=-x)-sin(一x).设gx)=x)-sin x,可得g(x)=g(一x),则gx)为偶函数.因为在[0，十∞)上，fx)>cosx,所以g(x)= fx)-cosx>0,故g(x)在[0，十∞)上单调递增.根据偶函数的图象的对称性，可知 gx)在(-∞，0)上单调递减.由f受-t)-ft)>cost-sint,得f(t)-sint<f (受-t)-cost=f(受-t)-sin(受-t),即g(t)<g(变-t),所以|t|<|罗- t|,即2<（受-t)2,化简得妥-πt>0,解得tK. 16.(17分)已知函数x)=是-nx(a∈R). (1)讨论x)的单调性： (2)若x1,2是方程x)=2的两个不同实根，证明：十2>急 解：(1)因为fx)=是-nx(x>0), 所以fx)=一是一是=一警. ①当a≥0时，fx)<0在(0，+∞)上恒成立， 故x)在(0，+∞)上单调递减. ②当a<0时，由fx)>0,得0<x<-a; 由fx)<0,得x>-a. 即x)在(0，一a)上单调递增，在(-a,十∞)上单调递减， 综上，当a≥0时，x)在(0，十∞)上单调递减； 当a<0时，x)在(0，一a)上单调递增， ·独家授权侵权必究· 画学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2xXk.G0m○ 您身边的互联网+教辅专家 在（一a,十∞）上单调递减」 (2)证明：因为x1)=2)=2, 所以是-nx1一2=0，悬-nx3-2=0, 即xlni+2x1-a=0,x2ln3十2x2-a=0. 设g(x)=xnx十2x-a,则g(x)=lnx十3， 故g(x)在(0，意)上单调递减，在(，+o)上单调递增. 由题意设0<：<总<2， 欲证十2>品，只需证>忌一， 又，忌-∈（信，+0o),gx)在（急，+0）上单调递增， 故只需证g)>g(品-x1) 因为gx)=g),所以只需证gx)>g(品-x1)对任意的∈(0，志)恒成立即可， 即xlnx十2x-a>(是-x1)lm(器-x1)+2(3-x1)-a. 整理得xn灯+2>（品-x1)ln(备-x1)+急-2， 即xlnx-(3-x)m(3-x1)+41-急>0. 设h(y=xnx-(品-x)1n(器-x)+4x-吉，x∈(0，点)， 则h(x)=lnx十ln（是-x)+6 =ln(s-x2)+6. 因为0<x<,所以0<-x2<品， 所以h'x)=ln(3-x2)+6<0, 所以h(x)在(0，)上单调递减， 则hx)>h(è)=0. 所以如十3>品成立。 ·独家授权侵权必究·