课时分层评价16 平均变化率 瞬时变化率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价16　平均变化率　瞬时变化率 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.函数f(x)＝x2＋2C在区间上的平均变化率为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：＝＝1.故选A. 2.某物体做自由落体运动的位移s＝gt2，g＝9.8 m/s2，若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体(　　) A.从1 s到s这段时间的平均速度 B.从0 s到1 s这段时间的平均速度 C.在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D.在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：A 解析：因为s－s(1)表示从1 s到s这段时间内物体的位移改变量，Δt为从1 s到s的时间改变量，所以表示从1 s到s这段时间的平均速度.故选A. 3.若函数f(x)＝x2＋3，当2≤x≤m时，平均变化率为6，则m等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：由题得＝＝＝m＋2＝6，所以m＝4，故选B. 4.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　) A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 答案：C 解析：在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大.故选C. 5.若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　) A.＞v2 B.＜v2 C.＝v2 D.不能确定 答案：C 解析：平均速度为＝＝＝2g，＝＝＝gΔt＋2g，因为当Δt趋于0时，趋于2g，所以v2＝2g，所以＝v2.故选C. 6.(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B.在时间内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，故A错误，C正确；在时间内，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝12 m/s，故B正确，D正确.故选BCD. 7.如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为　　　　. 答案：－1 解析：依题意可得f(1)＝3，f(3)＝1，所以f(x)在[1，3]上的平均变化率＝＝＝－1. 8.函数y＝f(x)＝x2在上的平均变化率为k1，在上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是　　　　. 答案：k1＞k2 解析：因为函数y＝f(x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy＝f－f(x0)＝－＝Δx，所以k1＝＝2x0＋Δx.因为函数y＝f(x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy＝f(x0)－f＝－＝Δx(2x0－Δx)，所以k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，所以k1＞k2. 9.(双空题)设函数f(x)＝x，g(x)＝，h(x)＝x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为　　　　　　(用“＞”“＜““＝”连接)；三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是　　　　. 答案：m1＝m2＝m3　h(x)＝x3 解析：由题意，m1＝＝1，m2＝＝1，m3＝＝1，故m1＝m2＝m3；根据瞬时变化率的概念，计算可得三个函数在x＝1处的瞬时变化率分别为1，，3，所以瞬时变化率最大的是h(x)＝x3. 10.(13分)已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率. 解：(1)因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)， 所以＝＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知，＝4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02. (3)由(1)可知f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝2Δx＋8， 当Δx趋于0时，趋于8. 故f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设＞0(x1＞x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比(　　) A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 答案：D 解析：由＞0(x1＞x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加，又平均变化率＝10＞＝1，说明盈利增加的幅度变小.故选D. 12.(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c(单位：mg/mL)随时间t(单位：h)变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是(　　) A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B.在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度不相同 C.在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 答案：ACD 解析：对于A，在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；对于B，两条曲线在t2时刻的图象相交，所以甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故B错误；对于C，根据平均变化率公式，可知在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，故C正确；对于D，在[t1，t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在[t2，t3]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，故D正确.故选ACD. 13.(双空题)物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)＝3t2＋t.我们计算在t＝2的附近区间[2，2＋Δt]内的平均速度＝＝　　　　　　，当Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t＝2时的瞬时速度大小为　　　　. 答案：13＋3Δt　13 解析：由s(t)＝3t2＋t得＝＝＝13＋3Δt，当Δt趋近于0时，＝＝13＋3Δt→13. 14.(15分)已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.求： (1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率，即气球膨胀过程中半径的改变量与表面积改变量的比值； (2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率. 解：由S(r)＝4πr2，r＞0， 把r表示成表面积S的函数：r(S)＝. (1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的改变量ΔS＝20－10＝10(cm2)， 气球半径的改变量Δr＝r(20)－r(10) ＝－)≈0.37(cm). 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037. (2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的改变量Δr＝－)≈0.24(cm). 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.024. 15.(5分)如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为　　　　.(注：π≈3.1) 答案：9 解析：由题意知，圆锥的轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，因为9.3t＝π·h，所以h3＝27t，所以h＝3.因为＝ ＝ ＝，所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝分钟时的瞬时变化率为9. 16.(17分)若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝求： (1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度. 解：(1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18， 当Δt趋于0时，趋于－18， 所以物体在t＝0时的瞬时速度(初速度v0)为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1时的瞬时变化率. 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12， 当Δt趋于0时，趋于－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 学生用书⬇第58页 学科网（北京）股份有限公司 $