课时分层评价12 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价12　*数学归纳法 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　) A.1 B.1＋2 C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23 答案：D 解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D. 2.平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　) A.f(k)＋1 B.f(k)＋k C.f(k)＋k＋1 D.k·f(k) 答案：B 解析：若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交，有k个交点，故交点个数最多为f(k)＋k.故选B. 3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案：D 解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2－n＋1.故选D. 4.用数学归纳法证明“2n＞n＋2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 答案：B 解析：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；要验证n＝1时，左边＝21＝2，右边＝1＋2＝3，2n＞n＋2不成立，n＝2时，左边＝22＝4，右边＝2＋2＝4，2n＞n＋2不成立，n＝3时，左边＝23＝8，右边＝3＋2＝5，2n＞n＋2成立，n＝4时，左边＝24＝16，右边＝4＋2＝6，2n＞n＋2成立，因为n≥3时，2n＞n＋2恒成立，所以n0应取3.故选B. 5.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B.　 C. D. 答案：B 解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝.故选B. 6.(多选题)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立.则下列结论正确的是(　　) A.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 答案：BC 解析：由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立.故选BC. 7.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋　　　　. 答案：π 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 8.用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则2＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是　　　　　　　　. 答案：2＋f(1)＝2f(2) 解析：因为n≥2，所以n0＝2，观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2). 9.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝　　　　　　　　　. 答案：＋＋…＋ 解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 10.(13分)设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论. 解：(1)因为a1＝1，an＋1＝f(an)， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋). (2)证明：①易知当n＝1时，结论成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①②知，对一切n∈N＋，都有an＝. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　) A.假设n＝k，证明n＝k＋1命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C.假设n＝2k＋1，证明n＝k＋1命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 答案：D 解析：对于A，当n＝k时，k＋1表示除1以外的所有正整数， 故A错误；对于B，当n＝k(k是正奇数)时，k＋1表示正偶数，故B错误；对于C，当n＝2k＋1时，不包含1，且k＋1不一定表示正奇数，故C错误；对于D，当n＝k(k是正奇数)时，k＋2表示下一个正奇数，故D正确.故选D. 12.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f＜7成立，则f＜6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f≥k＋1成立 C.若f(2)＜3成立，则f(1)≥2成立 D.若f≥5成立，则当k≥4时，均有f≥k＋1成立 答案：AD 解析：对于A，当f≥k＋1成立时，总有f≥k＋2成立.则逆否命题：当f＜k＋2成立时，总有f＜k＋1成立.若f＜7成立，则f＜6成立，故A正确；对于B，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f≥k＋1成立，故B错误；对于C，当f≥k＋1成立时，总有f≥k＋2成立.则逆否命题：当f＜k＋2成立时，总有f＜k＋1成立.故若f(2)＜3成立，则f(1)＜2成立，故C错误；对于D，根据题意，若f≥5成立，则f≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f≥k＋1成立，结合f≥5，所以当k≥4时，均有f≥k＋1成立，故D正确.故选AD. 13.观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜　　　　. 答案： 解析：由已知中的不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方，右边分母与左边的项数相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第2 024个不等式右边为＝，所以1＋＋＋…＋＜. 14.(15分)(新情境)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值； (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明. 解：(1)令x＝y＝0， 得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. (3)由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立. 15.(5分)若正项数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝，n∈N＋，则a2 026的值是(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 答案：D 解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝，所以在正项数列{an}中，当n＝1时，a1＝，解得a1＝1，当n＝2时，1＋a2＝，解得a2＝－1或a2＝－1－(舍去)，所以a3＝－，a4＝2－，…，因此猜想an＝－.证明：当n＝1时，显然成立；假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＝－成立.则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝(ak＋1＋)＝＋ak＋1，所以－ak＋1＝2，解得ak＋1＝－.故当n＝k＋1时，结论也成立.故an＝－，所以a2 026＝－.故选D. 16.(17分)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a2＋a3＝a7.正项数列{bn}的前n项和Sn满足：对任意n∈N＋，bn－1， ，bn＋2成等比数列. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝，n∈N＋.证明：对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn＞. 解：(1)由可得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1， 由题设，2Sn＝①，取n＝1得2b1＝，解得b1＝2或b1＝－1(舍去). 又2Sn＋1＝ ②， ①②两式相减得，＝0，所以bn＋1－bn＝1，故bn＝n＋1. (2)证明：由(1)得：cn＝，n∈N＋，当n＝1时，不等式显然成立， 假设n＝k时不等式成立，即c1·c2·…·ck＞， 那么当n＝k＋1时，c1·c2·…·ck·ck＋1＞·＞· ＝·＝·＝， 所以当n＝k＋1时，结论也成立.综上，对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn＞. 学科网（北京）股份有限公司 $