课时分层评价11 数列在日常经济生活中的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价11　数列在日常经济生活中的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1％，那么5年后这个小镇的人口数为(　　) A.20×1.015万 B.20×1.014万 C.20×万 D.20×万 答案：A 解析：某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1％，那么1年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)万，2年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)2万，3年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)3万，4年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)4万，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)5＝20×1.015万.故选A. 2.小芳“双11”以分期付款的方式购买一台标价6 600元的笔记本电脑，购买当天付了2 600元， 以后的8个月，每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息(月利率为2％)，若12月算分期付款的首月，则第3个月小芳需要给商家支付(　　) A.550元 B.560元 C.570元 D.580元 答案：B 解析：第3个月小芳需要给商家支付500＋(4 000－2×500)×2％＝560元.故选B. 3.某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本利和为103元；B种面值为50元，半年到期本利和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本利和为100元，则三种债券的收益，从小到大排列为(　　) A.B，A，C B.A，C，B C.A，B，C D.C，A，B 答案：B 解析：假设都投入10 000元，一年到期，A种共获得10 300元，B种共获得10 000×≈10 567.8(元)，C种共获得10 000×≈10 309.3(元).故收益从小到大排列为A，C，B.故选B. 4.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元.约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率为1％，当付清全部房款时，各次付款的总和为(　　) A.1 205万元 B.1 255万元 C.1 305万元 D.1 360万元 答案：B 解析：由题意知，还款的次数为÷50＝20次，每次付款本金均为50万元，利息依次为1 000×1％，950×1％，…，50×1％构成了一个等差数列，则所还欠款利息总额为×1％＝×20×1％＝105万元，故各次付款的总和为1 150＋105＝1 255万元.故选B. 5.(新情境)(多选题)在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5 000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为手机，然后他分期还款.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5％，设郭靖每个月还款数为x，则下列说法正确的是(　　) A.郭靖选择的还款方式为“等额本金还款法” B.郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法” C.郭靖每个月还款的钱数 x＝ D.郭靖第3个月还款的本金为 答案：BCD 解析：每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为x，则每个月所还本金为，，，…，，所以＋＋…＋＝5 000，解得x＝.故选BCD. 6.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，鼓励储户三年定期存款，那么q的值应略大于(　　) A. B.[(1＋r)3－1] C.(1＋r)3－1 D.r 答案：B 解析：设储户存款为a元，则存三年定期的本利和应略大于存一年定期自动转存三年后的本利和，即a＋3aq＞a(1＋r)3，所以1＋3q＞(1＋r)3，所以q＞[(1＋r)3－1].故选B. 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为　　　　　　　元. 答案：78ar 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 8.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为r，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计6年内还清，以复利计算，则每年应偿还　　　　　　万元. 答案： 解析：设每年应偿还x万元，则a(1＋r)6＝x＋x(1＋r)＋x(1＋r)2＋x(1＋r)3＋x(1＋r)4＋x(1＋r)5，所以a(1＋r)6＝，故x＝. 9.某人每月15日发工资，2025年1月15日发工资后，他随即从工资中拿出1 000元存入银行，以后每月领工资后，都在当天从工资中拿出1 000元存入银行.若银行存款月利率为0.002，那么按照复利，一年后他可以从银行取出本利共　　　　元.(精确到1元，1.00212≈1.024) 答案：12 024 解析：2025年1月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00212，2025年2月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00211，2025年3月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00210，……，2025年12月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.002，因此，一年后他可以从银行取出本利共1 000×(1.002＋1.0022＋…＋1.00212)＝≈12 024(元). 10.(13分)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区2023年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米. (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2023年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？ (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％？(参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587) 解：(1)设从2023年起，每年的保障性租赁住房面积形成数列{an}， 由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝25，d＝5， 则Sn＝25n＋×5＝(5n2＋45n). 令(5n2＋45n)≥475，即n2＋9n－190≥0， 而n为正整数，解得n≥10， 故到2032年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不少于475万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝40，q＝1.08， 则bn＝40×1.08n－1. 由题意知，an＞0.85bn， 则25＋(n－1)×5＞0.85×40×1.08n－1， 满足上式不等式的最小正整数n＝6， 故到2028年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20％，若A分得奖金1 000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为(　　) A.20％，14 580元 B.10％，14 580元 C.20％，10 800元 D.10％，10 800元 答案：B 解析：设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780.a1＋a1(1－q)2＝36 200，则a1(1－q)＋a1(1－q)3＝32 580，即(1－q)[a1＋a1(1－q)2]＝36 200(1－q)＝32 580，解得q＝0.1，a1＝20 000，故a1(1－q)3＝14 580.故选B. 12.(多选题)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2024年7月7日贷款到账，则2024年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数) A.选择方式①，若第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，则小张该笔贷款的总利息为289 200元 B.选择方式②，小张每月还款额为3 800元 C.选择方式②，小张总利息为333 840元 D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 答案：ACD 解析：对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4 900，a240＝2 510，则S240＝＝120×(4 900＋2 510)＝889 200，故小张该笔贷款的总利息为889 200－600 000＝289 200(元)，故A正确；对于B，设小张每月还款额为x元，则x＋x(1＋0.004)＋x＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×，所以x×＝600 000×1.004240，即x＝≈≈3 891，故B错误；对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240－600 000＝933 840－600 000＝333 840(元)，故C正确；对于D，因为333 840＞289 200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.故选ACD. 13.某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10％投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10％，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有　　　　万元.(参考数据：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14) 答案：24 解析：由题知，2021年的投入在结算时的收入为10×10％×(1＋10％)10，2022年的投入在结算时的收入为11×10％×(1＋10％)9，……，2030年的投入在结算时的收入为19×10％×(1＋10％)1，则结算时的总投资及收益为：S＝10×10％×1.110＋11×10％×1.19＋…＋19×10％×1.11①，则1.1S＝10×10％×1.111＋11×10％×1.110＋…＋19×10％×1.12②，由①－②得，－0.1S＝－10×10％×1.111－10％×1.110－10％×1.19－…－10％×1.12＋19×10％×1.11，则S＝10×1.111＋1.110＋1.19＋…＋1.12－19×1.11＝10×1.111＋－20.9＝20×1.111－12.1－20.9≈20×2.85－33＝24. 14.(15分)现有两种加工资的方案：第一种方案是每年末在上一次奖励的基础上再加1 000元；第二种是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者.根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？ (2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？ 解：(1)第10年的年末，依第一种方案构成首项为1 000，公差为1 000的等差数列，故可得1 000×(1＋2＋…＋10)＝1 000×＝55 000(元). 依第二种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×＝63 000(元). 因为63 000－55 000＝8 000(元)，所以在该公司干10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8 000元. (2)第n年年末，依第一种方案，可得1 000×(1＋2＋…＋n)＝1 000·＝500n(n＋1). 依第二种方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·＝an(2n＋1). 根据题意，得an(2n＋1)＞500n(n＋1)对所有正整数n恒成立， 即a＞＝250＋对所有正整数n恒成立，只需a＞250＋＝. 所以当a＞时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励. 15.(5分)(双空题)2026年世界杯将由美国、墨西哥和加拿大联合举办，小明为了观看2026年的北美世界杯，从2022年起，他每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2023年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有　　　　元；到2026年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回　　　　　元.(填化简后的结果) 答案：(ap＋2a)　[(1＋p)5－(1＋p)] 解析：依题意，2023年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；2026年1月1日可取出钱的总数为：a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]. 16.(17分)某地区2025年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2025年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理.根据预测，解答下列问题： (1)求2026年至2028年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨) (2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50％？ (参考数据：1.052≈1.10，1.053≈1.16，1.054≈1.22，1.055≈1.28，1.056≈1.34) 解：(1)依题意得，从2025年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为{an}，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为{bn}，该地区n年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为Sn， 则a1＝20，q＝1＋5％，b1＝6，d＝1.5，故an＝＝20×1.05n－1，bn＝6＋1.5(n－1)，1≤n≤10， 所以2026年到2028年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为(a2－b2)＋(a3－b3)＋(a4－b4)＝(a2＋a3＋a4)－(b2＋b3＋b4)＝20(1.05＋1.052＋1.053)－(18＋1.5＋3＋4.5)≈20×(1.05＋1.10＋1.16)－27＝39.2， 所以2026年至2028年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约39.2万吨. (2)由(1)得，bn＞an，即6＋1.5(n－1)＞×20×1.05n－1， 整理得4.5＋1.5n＞10×1.05n－1， 因为当n＝1时，6＞10不成立； 当n＝2时，7.5＞10.5不成立； 当n＝3时，9＞11.0不成立； 当n＝4时，10.5＞11.6不成立； 当n＝5时，12＞12.2不成立； 当n＝6时，13.5＞12.8成立. 所以该地区在第6年，即2030年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50％. 学科网（北京）股份有限公司 $