课时分层评价2 数列的函数特性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价2　数列的函数特性 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (第1－9题，每小题5分，共45分) 1.已知数列{an}满足an＋1－an－2 026＝0，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 答案：A 解析：由an＋1－an＝2 026＞0知数列{an}为递增数列.故选A. 2.(多选题)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　) A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1 C.an＝ D.an＝(－1)n 答案：AC 解析：可以利用数列的函数特性一一判断，A，C中数列为递减数列，B中数列不单调，D中数列是摆动数列.故选AC. 3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有＝f(xn)，则x2 026等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 答案：B 解析：根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 026＝x1＝2.故选B. 4.对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1＞an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：A 解析：根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1＞an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y＞x，结合图象，只有A满足.故选A. 5.(多选题)下列是递增数列的是(　　) A. B. C. D. 答案：BC 解析：对于A，an＝，an＋1＝，an＋1－an＝－3×，是摆动数列，故A不符合题意；对于B，an＝1＋πn，an＋1＝1＋π，an＋1－an＝π＞0，故B符合题意；对于C，an＝3n－4n，an＋1＝3n＋1－4，an＋1－an＝2×3n－4，当n≥1时，an＋1－an≥2＞0，故C符合题意；对于D，an＝3n－2n＋2，an＋1＝3n＋1－2n＋3，an＋1－an＝2×3n－4×2n，当n＝1时，a2－a1＝－2＜0，故D不符合题意.故选BC. 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是(　　) A.k＞0 B.k＞－1 C.k＞－2 D.k＞－3 答案：D 解析：因为an＋1＞an，所以an＋1－an＞0.又an＝n2＋kn＋2，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)＞0，所以k＞－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，所以k＞－3.故选D. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1＜an的n的值为　　　　. 答案：5 解析：由an＝，an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，因为n∈N＋，所以n＝5. 8.(双空题)在数列{an}中，若an＝n(n－8)－20，则该数列从第　　　　项开始递增，数列中最小项的值为　　　　. 答案：4　－36 解析：由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7＞0，得n＞，故数列{an}从第4项开始递增.an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，数列中最小项为a4＝－36. 9.设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(2，3) 解析：结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有解得2＜a＜3. 10.(13分)在数列{an}中，an＝(n＋1). (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}的最大项. 解：(1)证明：显然an＝(n＋1)＞0. 令≥1(n≥2)，即≥1， 整理得≥，解得n≤10. 令≥1，即≥1， 整理得≥，解得n≥9. 由a9＝a10＝， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减. (2)由(1)知a9＝a10＝最大. (第11－13题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}从第m项起单调递减，则m的最小值为(　　) A.11 B.12 C.13 D.不存在 答案：A 解析：因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝.由数列{an}从第m项起单调递减可得－am＜0，即－m2－m＋130＜0，即m2＋m－130＞0，解得m＜或m＞.又m∈N＋，所以m＞.因为22＜＜23，所以10.5＜＜11，所以m≥11，所以m的最小值为11.故选A. 12.已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞) 答案：D 解析：因为－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞). 13.(双空题)已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an＝f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；②{an}是递增数列.写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：　　　　　　；写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式：　　　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x　f(x)＝(答案不唯一) 解析：由题意可知，在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)＝x.第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不单调递增，可写为f(x)＝.则这个函数在上单调递减，在上单调递增.所以f(x)＝在[1，＋∞)上不单调递增，不满足①.而对应的数列为an＝在n∈N＋上越来越大，属于递增数列，满足②. 14.(15分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列. 解：(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以－＝－2n， 即an－＝－2n(看成关于an的方程). 所以＋2nan－1＝0，解得an＝－n± . 因为an＞0，所以an＝－n，n∈N＋. (2)证明：作商比较，由(1)知an＝－n， 所以＝ ＝＜1， 又an＞0，所以an＋1＜an， 故数列{an}是递减数列. 15.(5分)已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为　　　　. 答案： 解析：因为an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·，所以当n≤7时，an＋1－an＞0；当n＝8时，an＋1－an＝0；当n≥9时，an＋1－an＜0.所以a1＜a2＜…＜a7＜a8＝a9，a9＞a10＞a11＞a12＞….故数列{an}存在最大项，且最大项为a8＝a9＝. 16.(17分)已知数列{an}的通项公式为an＝n·. (1)判断是不是数列中的项？若是，是第几项？ (2)求数列{an}中的最大项. 解：(1)若是数列中的项，则an＝n·＝＝4×，所以n＝4，即为数列中的第4项. (2)法一(作差比较法)：an＋1－an＝－n·＝·， 当n＜2时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞2时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 所以a1＜a2＝a3，a3＞a4＞a5＞…＞an＞…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 法二(作商比较法)：＝＝， 令＞1，解得n＜2；令＝1，解得n＝2； 令＜1，解得n＞2. 又an＞0，故a1＜a2＝a3，a3＞a4＞a5＞…＞an＞…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 学生用书⬇第8页 学科网（北京）股份有限公司 $