第二章 重点突破8 利用导数研究函数的零点问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用导数研究函数的零点问题”，通过回顾导数与函数单调性、极值的联系导入，以“零点个数判断、参数范围求解、综合问题证明”为学习支架，衔接前序知识，引导学生逐步掌握零点问题的分析方法。 其亮点在于以“数学思维”和“数学语言”为核心，通过典例分类讨论（如对参数a的分情况分析）培养逻辑推理能力，规律方法总结直接法、构造函数法等，帮助学生用数学语言精准表达问题。随堂与分层评价助力巩固，学生提升解题能力，教师可据此优化教学。

重点突破8 利用导数研究函数的零点问题 　 第二章　导数及其应用 学习目标 1.能够结合函数图象利用导数研究函数的零点问题.　 2.会求解与零点有关的参数问题. 内容索引 题型一　利用导数研究函数的零点个数 1 题型二　由函数的零点个数求参数的范围 2 题型三　关于零点的综合问题 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 题型一　利用导数研究函数的零点个数 返回 已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当a＝e时，求f(x)的单调区间； 解：当a＝e时，f(x)＝ex－ex－1， 所以f'(x)＝ex－e. 令f'(x)＝0，得x＝1， 所以当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞). 典例 1 (2)讨论y＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数. 解：因为f(x)＝ex－ax－1，0≤x≤1， 所以f'(x)＝ex－a. ①当a≤1时，f'(x)≥0，f(x)在[0，1]上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有1个零点； ②当a≥e时，f'(x)≤0，f(x)在[0，1]上单调递减且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有1个零点； ③当1＜a＜e时，由f'(x)＜0，得x＜ln a，由f'(x)＞0，得x＞ln a，所以f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，1)上单调递增， 而f(1)＝e－a－1，f(0)＝0， 故当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有2个零点； 当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，f(x)在[0，1]上有1个零点. 综上所述，当a≤1或a＞e－1时，f(x)在[0，1]上有1个零点； 当1＜a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有2个零点. 利用导数研究函数的零点个数问题的思路与方法 规律方法 思 路 1.求出函数的定义域. 2.求导数f'(x)及函数f'(x)的零点. 3.用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. 4.确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. 5.画出f(x)的大致图象. 规律方法 方 法 1.直接法：先对函数求导，找出函数的单调区间与极值，根据函数的性质作出图象，然后将问题等价转化为函数图象与x轴的交点问题. 2.构造新函数法：将问题等价转化为研究两个函数图象的交点问题. 3.分离变量法：由f(x)＝0，分离参数得出a＝g(x)，将问题等价转化为直线y＝a与函数g(x)的图象的交点问题. 对点练1.已知函数f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)的最小值； 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝ln x＋1. 令f'(x)＝ln x＋1＞0，解得x＞； 令f'(x)＜0，解得0＜x＜， 所以函数f(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－. (2)求函数g(x)＝f(x)－1的零点个数，并说明理由. 解：g(x)＝f(x)－1＝xln x－1，x＞0， 则g'(x)＝ln x＋1. 令g'(x)＞0，解得x＞； 令g'(x)＜0，解得0＜x＜， 所以函数g(x)在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增. 当0＜x＜时，g(x)＝xln x－1＜－1＜0， 则g(x)在上无零点； 又g＝－－1＜0，g(e)＝e－1＞0， 则g(x)在上只有1个零点. 综上，g(x)在定义域(0，＋∞)上只有1个零点. 返回 题型二　由函数的零点个数求参数的范围 返回 已知函数f(x)＝ax2＋x－ex. (1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间； 解：若a＝0，则f(x)＝x－ex， 所以f'(x)＝1－ex. 令f'(x)＞0，得x＜0；令f'(x)＜0，得x＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 典例 2 (2)若x≠0时，方程f(x)＝1有3个不同的实数解，求实数a的取值范围. 解：当x≠0时，方程f(x)＝1等价于a＝. 令g(x)＝， 则方程f(x)＝1有3个不同的实数解， 即函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有3个交点. g'(x)＝. 当g'(x)＞0时，x＜0或x＞2， 则g(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增； 当g'(x)＜0时，0＜x＜2， 则g(x)在(0，2)上单调递减. 又当x→－∞时，g(x)→0； 当x→0时，g(x)→＋∞； 当x＝2时，g(2)＝＞0； 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以实数a的取值范围为. 　　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性 判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 规律方法 对点练2.已知函数f(x)＝(x－a)ex＋e2(a∈R). (1)若a＝3，求f(x)的极值； 解：当a＝3时，f(x)＝(x－3)ex＋e2， f'(x)＝(x－2)ex， 当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 故f(x)＝(x－3)ex＋e2的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2， ＋∞)， 所以当x＝2时，函数f(x)取到极小值f(2)＝0，无极大值. (2)若f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解：令f(x)＝(x－a)ex＋e2＝0，可得a＝e2－x＋x， 记g(x)＝e2－x＋x，原问题等价于g(x)＝e2－x＋x(x＞0)的图象与直线y＝a有唯一的交点，g'(x)＝1－e2－x，g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(2)＝1－e2－2＝0， 所以g(x)＝e2－x＋x在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且g(0)＝e2，g(2)＝3， 画出函数g(x)＝e2－x＋x(x＞0)的图象，如图所示： 由图可知，当a≥e2或a＝3时，g(x)＝e2－x＋x(x＞0) 的图象与直线y＝a有唯一的交点， 故实数a的取值范围为[e2，＋∞)∪{3}. 返回 题型三　关于零点的综合问题 返回 已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，证明x1x2＞a2. 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f'(x)＝， 当a≤0时，f'(x)＞0成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多有1个零点，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以f(a)为函数的极小值，函数有两个零点， 则f(a)＜0， 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2， 要证x1x2＞a2， 典例 3 即证x1＞， 因为x1，∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f＞f(x1)， 又f(x1)＝f(x2)＝0， 只需证明f＞f(x2)， 设函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x＞a)， 所以F'(x)＝＞0， 所以F(x)在(a，＋∞)上为增函数， 所以F(x2)＞F(a)＝0， 所以f＞f(x2)成立， 从而x1x2＞a2成立. 通过导数研究与函数零点有关的(不等式)证明问题的求解策略 1.一种是用综合法，通过导数求解零点或极值满足的条件式子，通过变形处理得到所证结果；另一种是用分析法，从结果入手，分析所需要证明的式子，直至得到一个比较容易证明的结论. 2.对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝x－ln x－1. (1)求f(x)的最小值； 解：f(x)的定义域为.f'(x)＝1－＝， 令f'(x)＝0，即＝0，解得x＝1， 当x∈(0，1)时，f'(x)＜0；当x∈时，f'(x)＞0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增， 故x＝1是f(x)在上的唯一极小值点，也是最小值点. 所以f(x)min＝f(1)＝1－ln 1－1＝0. (2)设F(x)＝x ln x－2x＋f(x)，若F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2(x1＜x2)，证明：x1x2＝1. 解：证明：F(x)＝x ln x－2x＋f(x)＝(x－1)ln x－x－1，F(x)的定义域为， 因为F'(x)＝ln x－，所以F'(x)在上单调递增， 且F'(1)＝－1＜0，F'(2)＝＞0，故存在x0∈，使得F'(x0)＝0. 所以当x∈时，F'(x)＜0， F(x)在上单调递减； 当x∈时，F'(x)＞0， F(x)在上单调递增. 因为F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2，且x1＜x2，所以x1∈，x2∈， 又F(x0)＜F(2)＝ln 2－3＜0，F(e2)＝e2－3＞0，且F(x2)＝0，所以2＜x2＜e2，故＜＜. 又F()＝(－1)ln－－1＝＝0， 且F(x)在上单调递减，故是F(x)＝0在的唯一根，故＝x1. 所以x1x2＝1. 返回 随堂评价 返回 1.函数y＝sin x＋x的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 记y＝f(x)＝sin x＋x，函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝1＋cos x≥0，故函数f(x)在R上单调递增.又f(0)＝0，所以函数y＝sin x＋x的零点个数为1.故选B. 2.已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f'(x)的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.不确定 √ 由题意得，f'(x)＝(x2＋2x＋a)ex，因为函数f(x)有最小值，且ex＞0，所以函数存在单调递减区间，即f'(x)＜0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f'(x)的零点个数为2.故选C. 3.已知函数f(x)＝x3－x2－2x＋c恰有3个零点，则实数c的取值范围为 A. B. C. D. √ f'(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，由f'(x)＞0，可得x＞2或x＜－1，由f'(x)＜0，可得－1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有3个零点，故必有解得 －＜c＜，所以使函数f(x)恰有3个零点的实数c的取值范围是.故选A. 4.若函数f(x)＝x3－kx＋k2有3个零点，则实数k的取值范围为__________. f'(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当k＜0时，f'(x)＝3x2－k＞0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故当k≤0时，f(x)不可能有3个零点.当k＞0时，令f'(x)＝0，得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f'(x)＞0；当x∈ 时，f'(x)＜0；当x∈时，f'(x)＞0.故x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点.若f(x)有3个零点，只需解得0＜k＜，所以k的取值范围为. 返回 课时分层评价 返回 1.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示.当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x) 的大致图象如图所示.由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所 以y＝f(x)－a的零点个数为4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由题意得f'(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f'(x)＞0，得x＞2或x＜－2；令f'(x)＜0，得－2＜x＜2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)＜0；当x→＋∞时，f(x)＞0，所以函数的零点个数为2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是 A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] √ 函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解.令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，当x＞0时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当x＜0时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，所以函数g(x)的最小值为g(0)＝1，所以a≥1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)＝x2ex－a恰有3个零点，则实数a的取值范围是 A. B.(0，＋∞) C.(0，4e2) D. √ 令g(x)＝x2ex，则g'(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g'(x)＝0，得x＝0或x＝ －2，所以g(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，又f(x)＝x2ex－a恰有3个零点，则0＜a＜.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是 A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝，所以 A正确；对于B，f'(x)＝－＝－，当f'(x)＞ 0时，－1＜x＜2；当f'(x)＜0时，x＜－1或x＞2，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；对于C，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；对于D，f(2)＝，由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.故选ABC. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数f(x)＝(1－x)ln x－ax，a∈R，下列正确的是 A.若函数f(x)有且只有一个零点x0，则a＝0，x0＝1 B.若函数f(x)有两个零点，则a＞0 C.若函数f(x)有且只有一个零点x0，则a＝1，x0＝1 D.若函数f(x)有两个零点，则a＜0 √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由f(x)＝(1－x)ln x－ax＝0，可得a＝－ln x，令g(x)＝ －ln x(x＞0)，则g'(x)＝，当0＜x＜1时，g'(x)＞0， 函数g(x)单调递增；当x＞1时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，故g(x)max＝g(1)＝0，函数g(x)的图象如图所示：当a＞0时，直线y＝a与函数g(x)的图象没有交点，所以函数f(x)没有零点，当a＝0时，直线y＝a与函数g(x)的图象只有一个交点，所以此时函数f(x)只有一个零点，且f(1)＝0，故A正确，C不正确；当a＜0时，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，所以此时函数f(x)有两个零点，故B不正确，D正确.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b恰有3个不同的零点，则f(0)的取值范围是______________. 因为f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b，所以f'(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，由f'(x)＞0，得x＞2或x＜1，此时函数单调递增；由f'(x)＜0，得1＜x＜2，此时函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－＋2＋3a＋b＝＋3a＋b，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－6＋4＋3a＋b＝＋3a＋b.若函数f(x)＝x3－x2＋2x＋3a＋b恰有3个不同的零点，则f(1)＝＋3a＋b＞0，且f(2)＝＋3a＋b＜0，则－＜3a＋b＜－，又f(0)＝3a＋b，故f(0)的取值范围是(－，－). 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.一般地，对于一元三次函数f(x)，若f ″(x0)＝0(f ″(x)为f'(x)的导数)，则(x0，f(x0))为三次函数f(x)的对称中心.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1图象的对称中心的横坐标为x0(x0＞0)，且f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是 ________________. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由题意，得x∈R，f'(x)＝3x2＋2ax，f ″(x)＝6x＋2a，令f ″(x)＝0，解得x0＝－＞0，则有a＜0，又f'(x)＝3x，令f'(x)＞0，解得x＜0或x＞－，令f'(x)＜0，解得0＜x＜－，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)＝1，f(x)的极小值为f＝＋1，又三次函数f(x)有3个零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴有3个公共点，所以解得a＜－，所以实数a的取值范围是(－∞，－). 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m恰有一个实根，则实数m的取值范围是______________________. (－∞，0)∪ 当x≤0时，f(x)＝－x3＋x2，f'(x)＝－3x2＋2x＝x(－3x＋2)≤0，故f(x)＝－x3＋x2在(－∞，0]上单调递减，且f(0)＝0.当x＞0时，f(x)＝，f'(x)＝＝，当0＜x＜e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时， f'(x)＜0，f(x)单调递减，故f(x)＝在x＝e处取得极大值，也是最大值， 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 f(e)＝＝，且当x＞1时，f(x)＞0恒成立，画出f(x)＝的图象如图所示： 方程f(x)＝m恰有一个实根，则m＜0或m＞，则实数m的取值范围是 (－∞，0)∪. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)＝e2x－ex－x，判断f(x)的零点个数. 解：因为f(x)＝e2x－ex－x， 所以f'(x)＝e2x－ex－1＝(2ex＋1)(ex－2). 令f'(x)＞0，解得x＞ln 2， 令f'(x)＜0，解得x＜ln 2， 故f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(ln 2)＝－1－ln 2＜0. 又x→－∞时，f(x)→＋∞；x→＋∞时，f(x)→＋∞. 画出草图如图所示： 故f(x)有2个零点. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新定义)若函数f(x)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数f(x)和g(x)为“对偶函数”.已知f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，则实数a的取值范围为 A.(e－1，＋∞) B. C. D.(－∞，e－1) √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为f(x)＝1－ex，g(x)＝ax＋xln x是“对偶函数”，所以函数f(x)与g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，所以－f(x)＝g(x)，即ex－1＝ax＋xln x有两个不相等的实数解，则a＝有两个不相等的实数解.令h(x)＝，则h'(x)＝，所以当x∈(0，1)时，h'(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＞0，所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)在x＝1 处取得极小值，且x→0，h(x)→＋∞，x→＋∞，h(x)→＋∞，又h(1)＝e－1，所以a＞e－1，故实数a的取值范围为(e－1，＋∞).故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知f(x)＝，则 A.曲线y＝f(x)在x＝e处的切线平行于x轴 B.f(x)的单调递减区间为(0，e) C.f(x)的极小值为e D.方程f(x)＝－1没有实数解 √ √ 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为{x｜x＞0，且x≠1}，f'(x)＝，所以f'(e)＝0，又f(e)＝e≠0，所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；令f'(x)＞0，得x＞e，令f'(x)＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以f(x)在(e， ＋∞)上单调递增，在(0，1)和(1，e)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(e)＝e，故B错误，C正确；因为当0＜x＜1时，f(x)的图象与直线y＝－1有一个交点，所以方程f(x)＝－1有一个实数解，故D错误.故选AC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0)无零点，则实数a的取值范围为_________. 因为函数f(x)＝ex－ax2(x＞0)无零点，所以方程ex－ax2＝0在x∈(0， ＋∞)上无解，即a＝在x∈(0，＋∞)上无解，令g(x)＝(x＞0)，则g'(x)＝，当x＞2时，g'(x)＞0，函数g(x)单调递增；当0＜x＜2时，g'(x)＜0，函数g(x)单调递减，所以当x＝2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值.又g(2)＝，所以g(x)≥.所以若a＝无解，则a＜. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R. (1)当a＝时，证明：f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立； 解：证明：当a＝时，设g(x)＝f(x)－ln x＋x－1＝ex－1－ln x－1，则g'(x)＝ex－1－(x＞0). 由函数y＝ex－1和y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，知g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g'(1)＝e0－1＝0， 所以当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝0，即f(x)－ln x＋x－1≥0在(0，＋∞)上恒成立. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(x)有2个零点，求a的取值范围. 解：由f(x)＝aex－x＝0，得a＝. 令h(x)＝，则f(x)有2个零点等价于函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点. 令h'(x)＝＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，h'(x) ＞0，当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＜0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故h(x)max＝h(1)＝，且当x＜0时，h(x)＜0， 当x趋向于正无穷时，h(x)趋向于0. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 作出函数h(x)的大致图象，如图所示. 结合图象可知，当0＜a＜时，函数h(x)的图象与直线y＝a有2个交点，即f(x)有2个零点，故a的取值范围是. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是 A.(－2，0)∪(0，2) B.(－2，2) C.(－1，0)∪(0，1) D.[－1，1] √ 因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，所以a－3－x0＋1＝－x0在R上有三个解，即a－3＋1＝0在R上有三个解，设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g'(x)＝3ax2－6x，由已知a≠0，令g'(x) ＝0，即3ax2－6x＝0，解得x＝0或x＝.若a＞0，则当x＞或x＜0时， 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 g'(x)＞0；当0＜x＜时，g'(x)＜0，所以g(x)的极大值为g(0)＝1，g(x)的极小值为g＝1－，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得0＜a＜2.若a＜0，则当x＜或x＞0时，g'(x)＜0；当＜x＜0时，g'(x)＞0，所以g(x)的极小值为g＝1－，g(x)的极大值为g(0)＝1，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g＜0，即a2＜4，解得－2＜a＜0.综上可得，实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，2).故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数f(x)＝aln x－，a≠0. (1)讨论f(x)的单调性； 解：因为f(x)＝aln x－，a≠0， 所以f'(x)＝＋＝(x＞0)， 当a＞0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当a＜0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜－， 令f'(x)＜0，得x＞－， 即f(x)在上为增函数， 在上为减函数. 综上，当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当a＜0时，f(x)在上为增函数，在(－，＋∞)上为减函数. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：f(x)＝aln x－有两个不同的零点，等价于方程aln x－＝0有两个不等的实数根， 即＝xln x有两个不等的实数根， 即y＝与y＝xln x的图象有两个不同的交点. 令g(x)＝xln x(x＞0)，则g'(x)＝1＋ln x， 令g'(x)＜0，得0＜x＜， 令g'(x)＞0，得x＞， 所以g(x)在上为减函数，在上为增函数， 所以g(x)的最小值为g＝－， 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 g(x)的大致图象如图： 又x＞0，x→0时，g(x)＜0，g(x)→0， x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以要使得y＝与y＝xln x的图象有两个不同的交点， 需有－＜＜0，解得a＜－e， 此时f(x)＝aln x－有两个不同的零点， 所以实数a的取值范围为(－∞，－e). 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 重点突破8 利用导数研究函数的 零点问题 返回 $