2.7.1 实际问题中导数的意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“实际问题中导数的意义”，通过物理学（汽车速度与加速度）、经济活动（利润与成本）、日常生活（解题数量）实例导入，衔接导数定义，搭建从数学概念到实际应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分任务设计，以“实例分析-规律抽象-对点练习”链条，结合数学建模与数学思维，如汽车加速度计算、利润边际分析等实例，引导学生用数学眼光观察现实，提升应用能力，教师可借助结构化资源高效教学。

7.1　实际问题中导数的意义 　 第二章　§7　导数的应用 学习目标 1.了解实际问题中导数的意义. 2.体会导数的实际意义，能用导数解释一些实际问题，提升数学建模、数学抽象的核心素养. 内容索引 任务一　导数在物理学中的应用 1 任务二　导数在经济活动中的应用 2 任务三　导数在日常生活中的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　导数在物理学中的应用 返回 (链教材P85例1)一辆正在加速行驶的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h，如下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s，时间单位为s. (1)分别计算当t从0 s变到1 s，从3 s变到5 s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； 典例 1 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v/(m/s) 0 9 15 21 23 25 解：当t从0 s变到1 s时，＝＝9(m/s2)， 所以速度v关于时间t的平均变化率为9 m/s2. 当t从3 s变到5 s时，＝＝2(m/s2)， 所以速度v关于时间t的平均变化率为2 m/s2. 它们分别表示在相应的时间内，每经过1 s速度增加9 m/s和2 m/s，也就是加速度分别为9 m/s2和2 m/s2. (2)根据上面的数据可以得到速度v关于时间t的函数，近似的表达式为v＝f(t)＝－t2＋10t.求f'(1)，并解释它的实际意义. 解：因为f(t)＝－t2＋10t， 所以f'(t)＝－2t＋10， 所以f'(1)＝8(m/s2)， 其实际意义是在t＝1 s这一时刻每经过1 s汽车的速度增加8 m/s，即这一时刻汽车的加速度为8 m/s2. 导数在物理学中的应用 1.瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度. 2.功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数. 3.线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数. 规律方法 对点练1.某人拉一车前行，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义； 解：当t从1 s变到3 s时， 功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)， 其平均变化率为＝＝11 (J/s)， 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (2)求W'(1)，W'(2)，解释它们的意义. 解：因为W'(t)＝3t2－2， 所以W'(1)＝3－2＝1(J/s)， W'(2)＝3×22－2＝10(J/s)， W'(1)，W'(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J. 返回 任务二　导数在经济活动中的应用 返回 (链教材P86例3)某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； 解：产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600 ＝5 000 600(元)， 平均利润为＝5 000.6(元/台). 典例 2 (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； 解：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 ＝＝2 000(元/台). (3)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义. 解：因为c'(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)'＝－4x＋7 000， 所以c'(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/台)， c'(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/台). c'(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利 3 000元， c'(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利 1 000元. 　　在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决. 规律方法 对点练2.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋，总成本的单位是元. (1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元. 此时总成本c关于产量x的平均变化率为 ＝＝4.3(元/件)， 它表示产量从200件到220件变化时，平均每件的总成本为4.3元. (2)求c'(200)，并解释它代表什么实际意义. 解：c'(x)＝＋，于是c'(200)＝＋4＝4.1(元/件). 它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本. 返回 任务三　导数在日常生活中的应用 返回 某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2. (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际 意义； 解：x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率为＝＝(道/分钟). 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题. 典例 3 (2)求f'(64)，f'(100)，并解释它们的实际意义. 解：因为f'(x)＝，所以f'(64)＝(道/分钟)， f'(100)＝(道/分钟). 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答道题. 解决实际问题的一般步骤 第一步，审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； 第二步，建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 第三步，解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； 第四步，还原：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案. 规律方法 对点练3.一名工人上班后开始连续工作，生产的产品产量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝＋4. (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； 解：当x从1 h变到4 h时， 产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，此时平均变化率为＝＝(g/h)， 它表示从1 h到4 h这段时间内这个人平均每小时生产 g产品. (2)求f'(1)，f'(4)，并解释它的实际意义. 解：因为f(x)＝＋4， 所以f'(x)＝＋， 于是f'(1)＝(g/h)，f'(4)＝(g/h)， 分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g. 返回 课堂小结 任务 再现 1.导数在物理学中的应用.2.导数在经济活动中的应用.3.导数在日常生活中的应用 方法 提炼 数学建模 易错 警示 忽略实际问题的定义域 随堂评价 返回 1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W'(t0)表示 A.t＝t0时做的功 B.t＝t0时的速度 C.t＝t0时的位移 D.t＝t0时的功率 √ 2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f'(10) 表示 A.t＝10时的降雨强度 B.t＝10时的降雨量 C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度 √ f'(t)表示t时刻的降雨强度.故选A. 3.某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是______m/s2. 14 因为v(t)＝s'(t)＝6t2－gt，a(t)＝v'(t)＝12t－g，所以a(2)＝12×2－10＝14(m/s2). 4.某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(2≤x≤4)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______. 0 由题意可知温度的瞬时变化率为f'(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(2≤x≤4)，因此当x＝2时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为f'(2)＝0. 返回 课时分层评价 返回 1.2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨隆重举行，中国代表团获得了32金27银26铜，共计85枚奖牌的辉煌战绩，高居金牌榜与奖牌榜首位，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)＝2t2＋t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪速度为 A.7.5 m/s B.13.5 m/s C.16.5 m/s D.22.5 m/s √ 由题意得，l'(t)＝4t＋，故当t＝3 s时，该运动员的滑雪速度为l'(3)＝4×3＋＝13.5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.研究表明某生物种群的数量Q(单位：千只)与时间t(t≥0，单位：年)的关系近似的符合Q(t)＝，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5 000只.则该生物种群数量的增长速度 A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.逐年减小 D.逐年增大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于Q(t)＝，由题意Q(0)＝5，解得m＝40，则Q(t)＝，故Q'(t)＝＝ ＝，令et＝u，则u≥1，因为y＝u＋上单调递减，在[7，＋∞)上单调递增，利用复合函数的单调性，可知y＝et＋在[0，ln 7]上单调递减且为正数，在[ln 7，＋∞)上单调递增且为正数，则函数Q'(t)在[0，ln 7]上单调递增，在[ln 7，＋∞)上单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.日常饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1 t水净化到纯净度为x％时所需费用(单位：元)为c(x)＝，那么净化到纯净度为95％时所需净化费用的瞬时变化率是 A.120元/t B.160元/t C.－160元/t D.－100元/t √ 因为c(x)＝(80＜x＜100)，所以c'(x)＝()'＝，则c'(95)＝＝160(元/t).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2 cm，高为 8 cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的 溶液的容积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数解析式为V＝ πt3＋3πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝2时，杯 中溶液上升高度的瞬时变化率为 A.4 cm/s B.5 cm/s C.6 cm/s D.7 cm/s √ 由题设知，杯子底面积为S＝4π，则溶液上升高度h＝＝，所以h'＝，则h'｜t＝2＝6 cm/s.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种房产供应方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S0.已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率(单位时间的供应量)不是逐步提高的有 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直是下凹的.则选项B满足条件，所以在时间[0，T]内供应效率(单位时间的供应量)不是逐步提高的是A，C，D选项.故选ACD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)某港口一天24 h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S＝3sin，则下列说法正确的是 A.S在上的平均变化率为 m/h B.一天内有2次潮水起落的瞬时速度最大 C.当t＝10时，潮水起落的瞬时速度最大 D.当t＝4时，潮水起落的瞬时速度为 m/h √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 S(t)在＝＝ m/h，故A正确；S'(t)＝×3cos，0≤t≤24，令t＋＝2kπ，k∈Z，得t＝12k－10，k∈Z，又0≤t≤24，所以当t＝2和t＝14时，潮水起落的瞬时速度最大且为 m/h，故B正确，C错误；由S'(4)＝×3cos＝ m/h，D错误.故选AB. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f'(2)＝0.3，则f'(2)表示______________________________________ ________________________. 服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每 分钟0.3 mg/mL的速度增加 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积关于半径的瞬时变化率为______. 16π 由球的体积公式可得V＝πR3，得V'＝4πR2，所以R＝2时，体积关于半径的瞬时变化率为V'＝4π×22＝16π. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y＝，则在t＝40 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为_______ mm/min. 因为y＝f＝，则f'(t)＝'＝，所以f'(40)＝＝.故在t＝40 min时的瞬时降雨强度为 mm/min. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)通过某导体横截面的电量q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数关系式为q＝2t3＋3t. (1)求当t从1 s变到5 s时，电量q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； 解：当t从1 s变到5 s时，电量q从5 C变到265 C，此时电量q关于时间t的平均变化率为＝＝65(C/s)， 它表示从1 s到5 s这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C. (2)求q'，并解释它的实际意义. 解：因为q'＝6t2＋3，所以q'＝6×52＋3＝153 ， 它表示在t＝5 s时，每秒通过该导体横截面的电量为153 C，即电流为153 A. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为 A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s2 D.7.8 m/s2 √ 因为v＝0.4t＋0.6t2，所以v'＝0.4＋1.2t；令v＝24，得0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6或t＝－(舍去)；则当t＝6时，v'＝0.4＋1.2×6＝7.6，即速度首次达到24 m/s时加速度为7.6 m/s2.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速逆时针旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是 √ 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5％)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年.(1.0510≈1.629，ln 1.05≈0.049，精确到0.01) 0.08 因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5％)t＝1.05t.在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值.因为p'(t)＝(1.05t)'＝1.05t·ln 1.05，所以p'(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t. (1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(参考数值：ln 2≈0.69，保留两位小数) 解：当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)， 此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为 ＝≈8.31， 它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求Q'(2)，并解释它的实际意义. 解：Q'(t)＝6t－，Q'(2)＝11.5， 它的实际意义是在t＝2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)如图，水缸为圆锥形，圆锥底面直径为2.5米，高为5米，水被以π立方米/小时的速度注入水缸中，当水缸中的水深为2米时，此时水面上升的瞬时速度(变化率)为______(单位：米/小时). 4 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设注入的水形成的圆锥底面半径为r，高为h，水注入的时 间为t，则有＝＝4，则r＝h，πt＝·π·r2·h，则t＝·· h2·h，化简得h3＝48t，则h＝(48·t＝4·，h'＝4×× ，当h＝2时，代入h3＝48t，则t＝，当t＝时水面上 升的瞬时速度为4××＝×××＝6××＝4(米/小时). 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(2025·清远期中)现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝800 m，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f(x)＝k图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分， 若在此地建立一座美术馆，平面图为直角梯形CDEF，求美术馆占地面积(万平方米)的最大值. 解：由题意可知：f(x)＝k图象过点B(4，4)，即2k＝4，解得k＝2， 所以f(x)＝2； 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 由B(4，4)，C(8，0)，得直线BC方程为：y＝(x－8)＝－x＋8； 设E(x，2)(0＜x＜4)， 则D(x，0)，F(8－2，2)， 则直角梯形CDEF的面积 S＝(8－2－x＋8－x)·2＝16－2x－2x(0＜x＜4)， 令t＝，则S(t)＝16t－2t3－2t2(0＜t＜2)， 因为S'(t)＝－6t2－4t＋16＝－2(t＋2)(3t－4)， 所以当t∈(0，)时，S'(t)＞0； 当t∈(，2)时，S'(t)＜0； 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 所以S(t)在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减， 所以S(t)max＝S()＝－－＝， 即美术馆占地面积(万平方米)的最大值为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 7.1　实际问题中导数的意义 返回 $