2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦平均变化率与瞬时变化率，通过体温变化表格等实例导入，引导学生从平均变化率过渡到瞬时变化率，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助理解概念及关系。 其亮点在于以实例驱动概念形成，通过物体运动、容器水面高度等问题培养数学抽象与运算素养，典例与分层评价结合，助力学生掌握求法，教师可高效开展概念教学与能力训练。

1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 　 第二章　§1　平均变化率与瞬时变化率 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系，培养数学抽象的核心素养.　 2.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　平均变化率 1 任务二　瞬时变化率 2 任务三　平均变化率与瞬时变化率的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　平均变化率 返回 问题1.下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示：每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢. 问题导思 x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 平均变化率 1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝____________. 把自变量的变化________称作自变量x的改变量，记作_____，函数值的变化______________称作函数值y的改变量，记作_____.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝ ___________. 2.作用：刻画函数值在区间___________上变化的快慢. 新知构建 x2－x1 Δx f(x2)－f(x1) Δy [x1，x2] (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零.(2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快. 微提醒 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求物体在区间和上的平均速度； 解：物体在区间上的平均速度为v1＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为v2＝＝＝. 典例 1 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：由(1)可知v1－v2＝＞0， 所以v1＞v2. 作出函数s(t)＝sin t在［0，］上的图象，如图所示， 可以发现，s(t)＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. 求函数f(x)平均变化率的步骤 第一步：求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：求自变量的改变量：Δx＝x2－x1； 第三步：作商：＝. 规律方法 对点练1.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋a. (1)判断f(0)与f(3)的大小； 解：因为f(x)＝x2－2x＋a，所以f(0)＝a，f(3)＝3＋a，所以f(0)＜f(3). (2)判断f(x)在区间[0，1]与[1，3]的平均变化率的大小. 解：f(x)在区间[0，1]的平均变化率为＝f(1)－f(0)＝a－1－a＝ －1， f(x)在区间[1，3]的平均变化率为＝＝2， 所以f(x)在区间[0，1]的平均变化率小于在区间[1，3]的平均变化率. 返回 任务二　瞬时变化率 返回 问题2.我们知道平均速度刻画了物体在一段时间内运动 的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度. 比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每 个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度.如 何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？ 提示：瞬时速度是汽车在某一时刻的速度，而平均速度是在某一时间段内的平均值，若时间间隔进一步缩短，平均速度就更接近于那一时刻的瞬时速度. 问题导思 问题3.物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度.当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，平均速度为v＝＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度. 瞬时变化率 1.定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝ _____________. 如果当__________时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的____________. 2.作用：刻画函数在__________变化的快慢. 新知构建 Δx趋于0 瞬时变化率 某一点处 平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢. (2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，这个值即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固 定值. 微提醒 函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x)在(x1，x2)上一定为常数？ 提示：函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f(x1)＝f(x2)；平均变化率等于0，不能说f(x)在区间(x1，x2)上一定为常数，例如f(x)＝x2在区间(－1，1)上. 微思考 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 解：因为＝ ＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 典例 2 变式探究 1.(变设问)若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 因为＝ ＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1，即物体的初速度为1 m/s. 2.(变设问)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0＋1，则2t0＋1＝9， 所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； 第三步：将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率. 规律方法 对点练2.求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率. 解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2， 所以＝＝7＋3Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于7. 所以函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. 返回 任务三　平均变化率与瞬时变化率的应用 返回 有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10 cm，高为100 cm，右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水，活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式； 解：因为10xy＝1 000，所以y＝， 即y关于x的函数解析式为y＝(x≥1). 典例 3 (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了多少？ 活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了多少？ 以上哪个过程水面高度的变化较快？ 解：由(1)得y＝，设y＝f(x)，则f(x)＝， 所以f(1)＝100，f(2)＝50，f(2)－f(1)＝50－100＝－50(cm)， 所以活塞的位置x从1 cm变为2 cm水面高度改变了－50 cm； f(8)＝12.5，f(10)＝10，则f(10)－f(8)＝10－12.5＝－2.5(cm)； 所以活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了－2.5 cm； 因为＝＝－50，＝＝－1.25，且｜－50｜＞ ｜－1.25｜， 故从1 cm变为2 cm，水面高度的变化较快. (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的 瞬时变化率. 解：因为＝＝＝－， 当Δx趋于0时，趋于－1， 所以当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率为－1. 　　熟练掌握平均变化率与瞬时变化率的计算是关键，当自变量的改变量趋于零时，平均变化率即为瞬时变化率. 规律方法 对点练3.已知某气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； 解：体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，即V＝πr3， 则r3＝，所以r＝ ，所以r(V)＝ . (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么规律？ (注： ≈0.62， ≈0.78) 解：气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中半径r的平均变化率： ＝ － ＝ ≈0.62， 气球的体积V从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率： ＝ － ≈0.78－0.62＝0.16， 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快. 此结论说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢. 返回 课堂小结 任务 再现 1.平均变化率.2.瞬时变化率.3.平均变化率与瞬时变化率的应用 方法 提炼 定义法、极限思想 易错 警示 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位 随堂评价 返回 1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足 A.Δx＞0 B.Δx＜0 C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数 √ 因为平均变化率为，故Δx≠0.故选C. 2.若函数y＝在[1，a]上的平均变化率为－，则a等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为＝＝－＝－，所以a＝2.故选B. 3.已知函数f(x)＝x3，则用平均变化率估计f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 函数f(x)＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3，当Δx→0时，→3.故f(x)在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C. 4.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计是______ m/s. 2 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，所以＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2，故该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计为2 m/s. 返回 课时分层评价 返回 1.函数f(x)＝x2＋2C在区间上的平均变化率为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ＝＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某物体做自由落体运动的位移s＝gt2，g＝9.8 m/s2，若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体 A.从1 s到s这段时间的平均速度 B.从0 s到1 s这段时间的平均速度 C.在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D.在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 √ 因为s－s(1)表示从1 s到s这段时间内物体的位移改变量，Δt为从1 s到s的时间改变量，所以表示从1 s到s这段时间的平均速度.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若函数f(x)＝x2＋3，当2≤x≤m时，平均变化率为6，则m等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 由题得＝＝＝m＋2＝6，所以m＝4，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为 A.＞v2 B.＜v2 C.＝v2 D.不能确定 √ 平均速度为＝＝＝2g，＝＝＝gΔt＋2g，因为当Δt趋于0时，趋于2g，所以v2＝2g，所以＝v2.故 选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则下列说法正确的是 A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B.在时间内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，故A错误，C正确；在时间内，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝ 12 m/s，故B正确，D正确.故选BCD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为_______. －1 依题意可得f(1)＝3，f(3)＝1，所以f(x)在[1，3]上的平均变化率＝＝＝－1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数y＝f(x)＝x2在上的平均变化率为k1，在上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是__________. k1＞k2 因为函数y＝f(x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy＝f－f(x0)＝－＝Δx，所以k1＝＝2x0＋Δx.因为函数y＝f(x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy＝f(x0)－f＝－＝Δx(2x0－Δx)，所以k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，所以k1＞k2. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(双空题)设函数f(x)＝x，g(x)＝，h(x)＝x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为______________(用“＞”“＜”“＝”连接)；三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是__________. m1＝m2＝m3 h(x)＝x3 由题意，m1＝＝1，m2＝＝1，m3＝＝1，故m1＝m2＝m3；根据瞬时变化率的概念，计算可得三个函数在x＝1处的瞬时变化率分别为1，，3，所以瞬时变化率最大的是h(x)＝x3. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； 解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)， 所以＝＝4x0＋2Δx. (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； 解：由(1)可知，＝4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率. 解：由(1)可知f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝2Δx＋8， 当Δx趋于0时，趋于8. 故f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设＞0(x1＞x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比 A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由＞0(x1＞x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加，又平均变化率＝10＞＝1，说明盈利增加的幅度变小.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现 有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测 量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度 c(单位：mg/mL)随时间t(单位：h)变化的关系如图所 示，则下列四个结论中正确的是 A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B.在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度不相同 C.在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙 两人血管中的药物浓度相同，故A正确；对于B， 两条曲线在t2时刻的图象相交，所以甲、乙两人 血管中的药物浓度相同，故B错误；对于C，根 据平均变化率公式，可知在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，故C正确；对于D，在[t1，t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在[t2，t3]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)＝3t2＋t.我们计算在t＝2的附近区间[2，2＋Δt]内的平均速度＝＝___________，当Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t＝2时的瞬时速度大小为______. 13＋3Δt 13 由s(t)＝3t2＋t得＝＝＝13＋3Δt，当Δt趋近于0时，＝＝13＋3Δt→13. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.求： (1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率，即气球膨胀过程中半径的改变量与表面积改变量的比值； 解：由S(r)＝4πr2，r＞0， 把r表示成表面积S的函数：r(S)＝. 当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的改变量ΔS＝20－10＝10(cm2)， 气球半径的改变量Δr＝r(20)－r(10) ＝－)≈0.37(cm). 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率. 解：由S(r)＝4πr2，r＞0， 把r表示成表面积S的函数：r(S)＝. 当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的改变量Δr＝－)≈0.24(cm). 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.024. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为______.(注：π≈3.1) 9 由题意知，圆锥的轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，因为9.3t＝π·h，所以h3＝27t，所以h＝3.因为＝ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 ＝ ＝，所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝分钟时的瞬时变化率为9. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝求： (1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； 解：因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24 m/s. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)物体的初速度v0； 解：求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18， 当Δt趋于0时，趋于－18， 所以物体在t＝0时的瞬时速度(初速度v0)为－18 m/s. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)物体在t＝1时的瞬时速度. 解：物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1时的瞬时变化率. 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12， 当Δt趋于0时，趋于－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率 返回 $