1.5 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

*§5　数学归纳法 　 第一章　数列 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.　 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　数学归纳法 1 任务二　综合应用 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 任务一　数学归纳法 返回 问题1.我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保 证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致 后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第 2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.那么，在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 提示：使所有骨牌都能倒下的条件有两个： (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题导思 数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是： (1)证明：当n取________值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当_________时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 新知构建 正整数n 第一个 n＝k＋1 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. 微提醒 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 √ 典例 1 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，在n＝k时的等式左端应加上___________________________. (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的等式左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 数学归纳法的三个关键点 1.验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2.递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. 3.利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 规律方法 对点练1.(1)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*且n＞1)，第一步要证明的不等式是_____________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了______项. 1＋＋＜2 2k 由已知n∈N*且n＞1，故第一步要证明的不等式是当n＝2时成立的不等式，即1＋＋＝1＋＋＜2；又当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋…＋，共2k－1项之和，当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋， 共2k＋1－1项之和，所以增加了＋＋＋…＋，共增加了－＝2k＋1－2k＝2k项. (2)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从“k到k＋1”左边需要增加的代数式是______________. (k＋1)2＋k2 分别把n＝k和n＝k＋1代入等式左边可得12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12①，12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12②，由②－①得(k＋1)2＋k2. 返回 任务二　综合应用 返回 应用1　利用数学归纳法证明等式 证明：＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝成立. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋ ＝＝＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对一切n∈N＋等式都成立. 典例 2 变式探究 (变条件)本例等式若改为＋＋…＋＝(n∈N＋)，试用数学归纳法证明. 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝成立. 那么当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N＋等式都成立. 用数学归纳法证明等式的方法 规律方法 对点练2.用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N＋. 证明：(1)当n＝1时，左边＝1×22＝4， 右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4， 所以左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)成立. 那么当n＝k＋1时， 1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对任意n∈N＋，等式都成立. 应用2　利用数学归纳法证明不等式 证明：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋). 证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＝，故左边＞右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋＞成立. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋(＋＋－)，* 典例 3 法一：(分析法)下面证＋＋－≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 法二：(放缩法)＋＋＋－＞＋＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 规律方法 对点练3.用数学归纳法证明：不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2成立. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立. 根据(1)和(2)，可知原不等式对任意n∈N＋都成立. 应用3　归纳－猜想－证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； 解：a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. 典例 4 (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明. 解：由a1＝，a2＝，a3＝， 猜想an＝. 证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，即ak＝成立. 由题设an＝，得ak＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak ＝k(2k－1)·＝. 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝ Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，命题成立. 根据①和②，可知命题对任何n∈N＋都成立. “归纳－猜想－证明”的解题步骤 规律方法 对点练4.观察下列等式： 1＝1； 2＋3＋4＝9； 3＋4＋5＋6＋7＝25； 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49； … 按照以上式子的规律： (1)写出第5个等式，并猜想第n(n∈N＋)个等式； 解：第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92. 第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N＋. (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N＋)个等式成立. 解：证明：①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立. ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2成立. 则当n＝k＋1时，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2， 即n＝k＋1时等式成立. 根据①和②，可知对任意n∈N＋等式都成立. 返回 课堂小结 任务 再现 1.数学归纳法的概念.2.用数学归纳法证明等式.3.用数学归纳法证明不等式.4.“归纳－猜想－证明”问题 方法 提炼 数学归纳法、分析法、放缩法、归纳猜想 易错 警示 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 随堂评价 返回 1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 A.2 B.3 C.5 D.6 √ 令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得.故选C. 2.证明1＋＋＋＋…＋＞(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是 A.1 B.k－1 C.k D.2·3k √ 当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(3k＋1－1)－3k＋1＝2·3k项.故选D. 3.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是__________________. (2k＋1)＋(2k＋2) 因为要证明的等式的左边是连续正整数的和，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2). 4.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为______________________(n∈N＋). 1＋＋＋…＋＞ 因为3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，所以可猜测1＋＋＋…＋＞(n∈N＋). 返回 课时分层评价 返回 1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 A.1 B.1＋2 C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23 √ 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为 A.f(k)＋1 B.f(k)＋k C.f(k)＋k＋1 D.k·f(k) √ 若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交，有k个交点，故交点个数最多为f(k)＋k.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则 A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ √ 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2－n＋1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.用数学归纳法证明“2n＞n＋2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 A.2 B.3 C.5 D.6 √ 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；要验证n＝1时，左边＝21＝2，右边＝1＋2＝3，2n＞n＋2不成立，n＝2时，左边＝22＝4，右边＝2＋2＝4，2n＞n＋2不成立，n＝3时，左边＝23＝8，右边＝3＋2＝5，2n＞n＋2成立，n＝4时，左边＝24＝16，右边＝4＋2＝6，2n＞n＋2成立，因为n≥3时，2n＞n＋2恒成立，所以n0应取3.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为 A. B.　 C. D. √ a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立.则下列结论正确的是 A.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 √ √ 由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立.故选BC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. π 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则2＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是_______________. 2＋f(1)＝2f(2) 因为n≥2，所以n0＝2，观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2). 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)＞时， f(2k＋1)－f(2k)＝____________________. ＋＋…＋ f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； 解：因为a1＝1，an＋1＝f(an)， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)用数学归纳法证明你的结论. 解：证明：①易知当n＝1时，结论成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①②知，对一切n∈N＋，都有an＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 A.假设n＝k，证明n＝k＋1命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C.假设n＝2k＋1，证明n＝k＋1命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，当n＝k时，k＋1表示除1以外的所有正整数， 故A错误；对于B，当n＝k(k是正奇数)时，k＋1表示正偶数，故B错误；对于C，当n＝2k＋1时，不包含1，且k＋1不一定表示正奇数，故C错误；对于D，当n＝k(k是正奇数)时，k＋2表示下一个正奇数，故D正确.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是 A.若f＜7成立，则f＜6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f≥k＋1成立 C.若f(2)＜3成立，则f(1)≥2成立 D.若f≥5成立，则当k≥4时，均有f≥k＋1成立 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，当f≥k＋1成立时，总有f≥k＋2成立.则逆否命题：当f＜k＋2成立时，总有f＜k＋1成立.若f＜7成立，则f＜6成立，故A正确；对于B，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f≥k＋1成立，故B错误；对于C，当f≥k＋1成立时，总有f≥k＋2成立.则逆否命题：当f＜k＋2成立时，总有f＜k＋1成立.故若f(2)＜3成立，则f(1)＜2成立，故C错误；对于D，根据题意，若f≥5成立，则f≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f≥k＋1成立，结合f≥5，所以当k≥4时，均有f≥k＋1成立，故D正确.故选AD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜__________. 由已知中的不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方，右边分母与左边的项数相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第2 024个不等式右边为＝，所以1＋＋＋…＋＜. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(新情境)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值； 解：令x＝y＝0， 得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； 解：由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明. 解：由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)若正项数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝，n∈N＋，则a2 026的值是 A.＋ B.＋ C.－ D.－ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝，所以在正项数列{an}中，当n＝1时，a1＝，解得a1＝1，当n＝2时，1＋a2＝，解得a2＝－1或a2＝－1－(舍去)，所以a3＝－，a4＝2－，…，因此猜想an＝－.证明：当n＝1时，显然成立；假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＝－成立.则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝(ak＋1＋)＝＋ak＋1，所以－ak＋1＝2，解得ak＋1＝－.故当n＝k＋1时，结论也成立.故an＝－，所以a2 026＝－.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a2＋a3＝a7.正项数列{bn}的前n项和Sn满足：对任意n∈N＋，bn－1， ，bn＋2成等比数列. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 解：由可得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1， 由题设，2Sn＝①，取n＝1得2b1＝，解得b1＝2或b1＝－1(舍去). 又2Sn＋1＝ ②， ①②两式相减得，＝0，所以bn＋1－bn＝1，故bn＝n＋1. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)记cn＝，n∈N＋.证明：对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn＞. 解：证明：由(1)得：cn＝，n∈N＋，当n＝1时，不等式显然成立， 假设n＝k时不等式成立，即c1·c2·…·ck＞， 那么当n＝k＋1时，c1·c2·…·ck·ck＋1＞·＞· ＝·＝·＝， 所以当n＝k＋1时，结论也成立.综上，对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn＞. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 *§5　数学归纳法 返回 $