1.4 数列在日常经济生活中的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 　 第一章　数列 学习目标 1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式. 2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型等三种模型的本质特点，并学会应用，培养数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　单利与复利 1 任务二　分期付款问题 2 任务三　零存整取与定期自动转存模型的比较 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　单利与复利 返回 问题1.在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中银行又是采用怎样的计息方式呢？ 提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似. 问题导思 1.单利与复利 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息＝本金×利率×存期，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝___________. (2)复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S＝___________. 新知构建 P(1＋nr) P(1＋r)n 2.零存整取与定期自动转存 (1)零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝______________. (2)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存.n年后，本利和为S＝_________. P P(1＋r)n 复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列. 微提醒 (链教材P34例1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36％. (1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？ 解：每月存500元，3年后的利息为 500(36×0.36％＋35×0.36％＋…＋2×0.36％＋1×0.36％)＝1198.8≈ 1 199(元)， 所以3年后的本息和为500×36＋1 199＝19 199元. 典例 1 (2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(精确到1元) 解：设王先生每月存入x元，则有x(36＋×0.36％)＝20 000，x≈521(元)， 故王先生每月大约存521元. 　　“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列.“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列. 规律方法 对点练1.某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2026年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2034年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 解：设从2026年年初到2034年年初每年的本利和组成数列{an}，到2033年为止，把2026年末存款的本利和看作a1，则2033年末存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)， a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， a8＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝a(1＋p)9－a(1＋p). 所以这个家庭应取出的钱数为[(1＋p)9－(1＋p)]元. 返回 任务二　分期付款问题 返回 问题2.王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？ 提示：等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的.等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金的减少而减少.不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大. 问题导思 　　分期付款：分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清. 新知构建 分期付款要综合运用等差数列、等比数列的知识，解题时要认真分析题意. 微提醒 用分期付款的方式购买价格为100万元的住房一套，如果购买时先付20万元，以后每年付5万元加上欠款利息.签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为5％，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解：由题意得购买时先付20万元，余款80万元分16次还清，每次付款的数额构成数列{an}，则 a1＝5＋(100－20)×5％＝9(万元)， a2＝5＋(100－20－5)×5％＝8.75(万元)， a3＝5＋(100－20－2×5)×5％＝8.5(万元)， … an＝5＋[100－20－(n－1)·5]×5％＝－n＋(万元)(n＝1，2，…，16). 典例 2 所以数列{an}是首项为9，公差为－的等差数列， 所以a5＝－×5＋＝8(万元). S16＝16×9＋＝114(万元). 因此，第5年该付8万元，购房款全部付清后实际共付134万元. 1.做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. 2.等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题. 规律方法 对点练2.某人向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28) 解：法一：由题意知贷款总额a＝200 000(元)，还款次数n＝12×10＝120， 还款期限m＝10(年)＝120(个月)，月利率r＝3.375‰＝0.003 375. 代入公式得，每月还款金额为 ≈2 029.66(元). 故每月应还贷约2 029.66元. 法二：设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)， 则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝ 200 000×(1＋0.003 375)120，解得x≈2 029.66. 故每月应还贷约2 029.66元. 返回 任务三　零存整取与定期自动转存模型的比较 返回 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入 2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5％)计算本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7％)n·a计算本利(n为年数). 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 解：若按第(1)种存款方式，则5年的零存整取本利是 2 000×(1＋5×0.065)＋2 000×(1＋4×0.065)＋…＋2 000×(1＋0.065)＝ 11 950(元)； 典例 3 若按第(2)种存款方式，则到期时本利是 2 000×(1＋0.057)5＋2 000×(1＋0.057)4＋…＋2 000×(1＋0.057)≈2 000×≈11 860(元). 所以第(1)种存款方式到期的全部本利较高. 　　零存整取是等差数列求和在经济方面的应用，定期自动转存是等比数列求和在经济方面的应用.当单利显著高于复利利率时，即使复利有“利滚利”效应，单利仍可能胜出. 规律方法 对点练3.比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算？ (1)将1 000元本金存入银行一年后(年利率为2.10％)，再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本利和多少元？ 解：1 000元本金参加一年整存整取，到期可得本利和为1 000×(1＋ 2.10％)＝1 021(元). 转存一次时，本金为1 021元，所以到期本利和为1 021×(1＋2.10％)≈ 1 042.44(元). 再转存一次时，本金为1 042.44元，所以到期本利和为1 042.44×(1＋ 2.10％)≈1 064.33(元). 即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1 064.33元. (2)将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类(年利率为3.0％)，三年后可得本利和多少元？ 解：1 000元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为A＝p(1＋r·n)，这里r表示利率，n是计息期限，p是本金，即A＝1 000×(1＋3.0％×3)＝ 1 000×1.09＝1 090(元). 所以利用第二种储蓄方式更简便合算. 返回 课堂小结 任务 再现 1.单利与复利.2.零存整取、定期自动转存、分期付款模型 方法 提炼 构造法、转化法、数学建模 易错 警示 题意理解错误，没能构造出合适的数列模型；数列模型的首项与项数弄错 随堂评价 返回 1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是 A.5(1＋2＋3＋…＋12)元 B.5(1＋2＋3＋…＋11)元 C.1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D.1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 √ 存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元.故选A. 2.按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4％，则3年后支取可获得利息为 A.(5×0.04)3万元 B.5(1＋0.04)3万元 C.3×(5×0.04)万元 D.[5(1＋0.04)3－5]万元 √ 3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元.故选D. 3.某彩电价格在去年6月份降价10％之后经10，11，12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是__________. －1 设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a·90％×(1＋x)3＝a，所以1＋x＝，x＝－1. 4.银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利和为__________元. a(1＋p)10 由题意知，第一年本利和为a(1＋p)元，第二年本利和为a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2元，第三年本利和为a(1＋p)2(1＋p)＝a(1＋p)3元，以此类推，第十年本利和为a(1＋p)10元. 返回 课时分层评价 返回 1.某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1％，那么5年后这个小镇的人口数为 A.20×1.015万 B.20×1.014万 C.20×万 D.20×万 √ 某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1％，那么1年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)万，2年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)2万，3年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)3万，4年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)4万，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1％)5＝20×1.015万.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.小芳“双11”以分期付款的方式购买一台标价6 600元的笔记本电脑，购买当天付了2 600元， 以后的8个月，每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息(月利率为2％)，若12月算分期付款的首月，则第3个月小芳需要给商家支付 A.550元 B.560元 C.570元 D.580元 √ 第3个月小芳需要给商家支付500＋(4 000－2×500)×2％＝560元.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本利和为103元；B种面值为50元，半年到期本利和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本利和为100元，则三种债券的收益，从小到大排列为 A.B，A，C B.A，C，B C.A，B，C D.C，A，B √ 假设都投入10 000元，一年到期，A种共获得10 300元，B种共获得10 000×≈10 567.8(元)，C种共获得10 000×≈10 309.3(元).故收益从小到大排列为A，C，B.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元.约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率为1％，当付清全部房款时，各次付款的总和为 A.1 205万元 B.1 255万元 C.1 305万元 D.1 360万元 √ 由题意知，还款的次数为÷50＝20次，每次付款本金均为50万元，利息依次为1 000×1％，950×1％，…，50×1％构成了一个等差数列，则所还欠款利息总额为×1％＝×20×1％＝105万元，故各次付款的总和为1 150＋105＝1 255万元.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(新情境)(多选题)在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神.在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期.我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙.刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5 000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为手机，然后他分期还款.郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5％，设郭靖每个月还款数为x，则下列说法正确的是 A.郭靖选择的还款方式为“等额本金还款法” B.郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法” C.郭靖每个月还款的钱数x＝ D.郭靖第3个月还款的本金为 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为x，则每个月所还本金为，，，…，，所以＋＋…＋＝5 000，解得x＝.故选BCD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，鼓励储户三年定期存款，那么q的值应略大于 A. B.[(1＋r)3－1] C.(1＋r)3－1 D.r √ 设储户存款为a元，则存三年定期的本利和应略大于存一年定期自动转存三年后的本利和，即a＋3aq＞a(1＋r)3，所以1＋3q＞(1＋r)3，所以q＞[(1＋r)3－1].故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为__________元. 78ar 由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为r，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计6年内还清，以复利计算，则每年应偿还___________万元. 设每年应偿还x万元，则a(1＋r)6＝x＋x(1＋r)＋x(1＋r)2＋x(1＋r)3＋x(1＋r)4＋x(1＋r)5，所以a(1＋r)6＝，故x＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.某人每月15日发工资，2025年1月15日发工资后，他随即从工资中拿出 1 000元存入银行，以后每月领工资后，都在当天从工资中拿出1 000元存入银行.若银行存款月利率为0.002，那么按照复利，一年后他可以从银行取出本利共__________元.(精确到1元，1.00212≈1.024) 12 024 2025年1月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00212，2025年2月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00211，2025年3月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000×1.00210， ……，2025年12月15日存入的1 000元，到2026年1月15日的本利和为1 000× 1.002，因此，一年后他可以从银行取出本利共1 000×(1.002＋1.0022＋…＋1.00212)＝≈12 024(元). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区2023年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米. (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2023年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？ 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 解：设从2023年起，每年的保障性租赁住房面积形成数列{an}， 由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝25，d＝5， 则Sn＝25n＋×5＝(5n2＋45n). 令(5n2＋45n)≥475，即n2＋9n－190≥0， 而n为正整数，解得n≥10， 故到2032年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不少于475万平方米. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％？(参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587) 解：设新建住房面积形成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝40，q＝1.08， 则bn＝40×1.08n－1. 由题意知，an＞0.85bn， 则25＋(n－1)×5＞0.85×40×1.08n－1， 满足上式不等式的最小正整数n＝6， 故到2028年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20％，若A分得奖金1 000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分 别为 A.20％，14 580元 B.10％，14 580元 C.20％，10 800元 D.10％，10 800元 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780.a1＋a1(1－q)2＝36 200，则a1(1－q)＋a1(1－q)3＝32 580，即(1－q)[a1＋a1(1－q)2]＝36 200(1－q)＝32 580，解得q＝0.1，a1＝ 20 000，故a1(1－q)3＝14 580.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2024年7月7日贷款到账，则2024年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是 (参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数) A.选择方式①，若第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，则小张该笔贷款的总利息为289 200元 B.选择方式②，小张每月还款额为3 800元 C.选择方式②，小张总利息为333 840元 D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4 900，a240＝2 510，则S240＝＝120×(4 900＋2 510)＝889 200，故小张该笔贷款的总利息为 889 200－600 000＝289 200(元)，故A正确；对于B，设小张每月还款额为x元，则x＋x(1＋0.004)＋x＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×，所以x×＝600 000×1.004240，即x ＝ ≈ ≈3 891，故B错误；对于C，小张采取等额本息贷款方式的总 利息为3 891×240－600 000＝933 840－600 000＝333 840(元)，故C正确；对于D，因为333 840＞289 200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10％投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10％，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有________万元.(参考数据：1.110 ≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14) 24 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 由题知，2021年的投入在结算时的收入为10×10％×(1＋10％)10，2022年的投入在结算时的收入为11×10％×(1＋10％)9，……，2030年的投入在结算时的收入为19×10％×(1＋10％)1，则结算时的总投资及收益为：S＝10×10％×1.110＋11×10％×1.19＋…＋19×10％×1.11①，则1.1S＝10×10％×1.111＋11×10％×1.110＋…＋19×10％×1.12②，由①－②得，－0.1S＝－10×10％×1.111－10％×1.110－10％×1.19－…－10％×1.12＋19×10％×1.11，则S＝10×1.111＋1.110＋1.19＋…＋ 1.12－19×1.11＝10×1.111＋－20.9＝20×1.111－12.1－20.9≈20×2.85－33＝24. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)现有两种加工资的方案：第一种方案是每年末在上一次奖励的基础上再加1 000元；第二种是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者.根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？ 解：第10年的年末，依第一种方案构成首项为1 000，公差为1 000的等差数列，故可得1 000×(1＋2＋…＋10)＝1 000×＝55 000(元). 依第二种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×＝63 000(元). 因为63 000－55 000＝8 000(元)，所以在该公司干10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8 000元. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？ 解：第n年年末，依第一种方案，可得1 000×(1＋2＋…＋n)＝1 000·＝500n(n＋1). 依第二种方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·＝an(2n＋1). 根据题意，得an(2n＋1)＞500n(n＋1)对所有正整数n恒成立， 即a＞＝250＋对所有正整数n恒成立，只需a＞250＋＝. 所以当a＞时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(双空题)2026年世界杯将由美国、墨西哥和加拿大联合举办，小明为了观看2026年的北美世界杯，从2022年起，他每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2023年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有__________元；到2026年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________________元.(填化简后的结果) (ap＋2a) [(1＋p)5－(1＋p)] 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，2023年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；2026年1月1日可取出钱的总数为：a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)某地区2025年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2025年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理.根据预测，解答下列问题： (1)求2026年至2028年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨) 解：依题意得，从2025年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为{an}，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为{bn}，该地区n年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为Sn， 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 则a1＝20，q＝1＋5％，b1＝6，d＝1.5，故an＝＝20×1.05n－1，bn＝6＋1.5(n－1)，1≤n≤10， 所以2026年到2028年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为(a2－b2)＋(a3－b3)＋(a4－b4)＝(a2＋a3＋a4)－(b2＋b3＋b4)＝20(1.05＋1.052＋1.053)－(18＋1.5＋3＋4.5)≈20×(1.05＋1.10＋1.16)－27＝39.2， 所以2026年至2028年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约39.2 万吨. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的 50％？ (参考数据：1.052≈1.10，1.053≈1.16，1.054≈1.22，1.055≈1.28，1.056≈1.34) 解：由(1)得，bn＞an，即6＋1.5(n－1)＞×20×1.05n－1， 整理得4.5＋1.5n＞10×1.05n－1， 因为当n＝1时，6＞10不成立； 当n＝2时，7.5＞10.5不成立； 当n＝3时，9＞11.0不成立； 当n＝4时，10.5＞11.6不成立； 当n＝5时，12＞12.2不成立； 当n＝6时，13.5＞12.8成立. 所以该地区在第6年，即2030年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50％. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 §4　数列在日常经济生活中的应用 返回 $