1.1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

1.2　数列的函数特性 　 第一章　§1　数列的概念及其函数特性 学习目标 1.了解数列的几种表示方法，培养数学抽象的核心素养.　 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，能从函数的角度研究数列，提升逻辑推理的核心素养.　 3.了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列的增减性的方法，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　数列的函数特性 1 任务二　数列的增减性 2 任务三　综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　数列的函数特性 返回 问题1.已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9； (2)1，，，，…； (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300. 你能作出它们的图象吗？ 提示： 问题导思 问题2.数列是特殊的函数，那么特殊的表现是什么呢？ 提示：表现在：①定义域为正整数集；②图象是一群孤立的点. 1.数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为_________________________这个图象也称为数列的图象. 2.数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用____________、通项公式. 新知构建 正整数集 (n，an)，n＝1，2，3，… 图象、列表 (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点.(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，对应项的变化趋势. 微提醒 在数列{an}中，an＝n2－8n，画出{an}的图象. 解：列表： 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an} 的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)， (5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…， 图象如图所示. 典例 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 　　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的. 规律方法 对点练1.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： (1)an＝(－1)n＋2； 解：a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. (2)an＝. 解：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 返回 任务二　数列的增减性 返回 问题3.已知图①是数列：3，4，5，6，7，8，9的图象，图②是数列：1，，，的图象，图③是5 300，5 300，5 300，…，5 300的图象.观察图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是由一些点组成的，图①数列中的项逐渐变大，对应的函数图象是上升的.图②数列中的项逐渐变小，对应的图象是下降的.图③数列中的项不变，这些点在与x轴平行的一条直线上. 问题导思 数列的增减性 新知构建 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1＜an 常数列 各项都______ an＋1＝an 大于 小于 相等 (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性.(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. 微提醒 若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f(n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ 提示：一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n(n∈N＋)是递增数列，但f(x)＝x2－x在区间[1，＋∞)上不单调. 微思考 已知数列{an}的通项公式是an＝，则该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 √ 典例 2 对任意n∈N＋，因为an＋1－an ＝－ ＝＜0，所以数列{an}是递减数列.故选B. 变式探究 (变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k＞0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性. 解：＝·＝＜1. 因为k＞0，n∈N＋，所以an＞0， 所以an＋1＜an，所以{an}是递减数列. 判断数列增减性的方法 1.作差法：将an＋1－an与0进行比较. 2.作商法：将与1进行比较(在作商时，要注意an＜0还是an＞0). 3.函数性质法：利用对应函数在(0，＋∞)上的单调性，判断数列的增减性. 规律方法 对点练2.已知数列{an}的通项公式是an＝，判断数列{an}的增减性. 解：法一(作差法)：因为an＋1－an＝－＝＝ ＞0， 所以an＋1＞an对任意的n∈N＋都成立，所以{an}是递增数列. 法二(作商法)：因为an＝＞0，所以＝·＝＝＞1， 所以an＋1＞an对任意的n∈N＋都成立，所以{an}是递增数列. 法三(函数性质法)：因为an＝＝＝2－， 由于函数y＝2－上单调递增，所以{an}是递增数列. 返回 任务三　综合应用 返回 应用1　利用数列的增减性求参数 已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 A.(－∞，3] B.(－∞，4] C.(－∞，5) D.(－∞，6) √ 典例 3 依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ＜0，即λ＜2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立，当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ＜6，即λ的取值范围是(－∞，6).故选D. 　　利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围. 规律方法 对点练3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是__________. (0，＋∞) 因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k＞0，所以k＞0. 应用2　数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N，n≥1). (1)依次写出数列{an}的前5项； 解：由题意得，a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， a5＝＝. 典例 4 (2)研究数列{an}的增减性，并求数列{an}的最大项和最小项. 解：an＝＝＝1＋， 当n≤49时，an＞1且{an}递增；当n≥50时，0≤an＜1且{an}递增. 所以最大项为a49＝2；最小项为a50＝0. 求数列{an}的最大项和最小项的方法 1.数列或函数的单调性法. 2.不等式法：利用(n≥2)求数列中的最大项an， 利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比 较各解大小即可确定. 规律方法 对点练4.已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最 大项. 解：设an是数列{an}中的最大项， 则 所以即9≤n≤10， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. [教材拓展1]　斐波那契数列(源于教材P9　阅读材料) (1)数学家斐波那契在自己的著作中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足Fn＋2＝Fn＋1＋Fn(n≥1，n∈N＋)，该数列称为斐波那契数列.在斐波那契数列中，1＋F2＋F4＋F6＋…＋F2 026等于 A.F2 025 B.F2 026 C.F2 027 D.F2 028 典例 5 √ 由Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，得Fn＋1＝Fn＋2－Fn， 所以1＋F2＋F4＋F6＋…＋F2 026＝1＋(F3－F1)＋(F5－F3)＋…＋(F2 027－F2 025)＝1－F1＋F2 027＝F2 027.故选C. (2)(多选题)斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：F＝F(2)＝1，F＝F＋F.在现代物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果.根据以上描述，以下说法正确的是 A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前10项可以看出，设第n项为an，则＋＋…＋＝anan＋1 D.设第n项为an，随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，则k＝ √ √ √ “斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，因为a1＝a2，所以该数列不是一个递增数列，故A错误；因为a11＝89，即89是该数列的一项，故B正确；因为a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以＝a2·a1，＝a2·＝a2·a3－a2·a1，＝a3·＝a3·a4－a3·a2，…，＝an·＝an·an＋1－an· an－1，所以＋＋…＋＝an·an＋1，故C正确；因为an＋2＝an＋1＋an，两边同除以an＋1，可得＝1＋，又随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，所以＝1＋k，解得k＝(负值已舍去)，故D正确.故选BCD. 返回 课堂小结 任务 再现 1.数列的函数特性.2.数列的增减性的判断及应用.3.求数列的最大(小)项 方法 提炼 图象法、单调性比较(定义法、函数法)、转化与化归思想 易错 警示 求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错 随堂评价 返回 1.已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是 A.一条直线 B.一条线段 C.一条射线 D.一群孤立的点 √ 因为an＝3n－2，n∈N＋，所以数列{an}的图象是一群孤立的点.故选D. 2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 A.R B.(0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，0] √ 因为{an}是递减数列，所以an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.故选C. 3.若an＝，则an与an＋1的大小关系是 A.an＞an＋1 B.an＜an＋1 C.an＝an＋1 D.不能确定 √ an＝＝3－，所以an＋1－an＝－＝－＝＞0，即an＜an＋1.故选B. 4.在数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是_______. 30 an＝－n2＋11n＝－＋，又n∈N＋，所以当n＝5或6时，an取最大值30. 返回 课时分层评价 返回 1.已知数列{an}满足an＋1－an－2 026＝0，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 √ 由an＋1－an＝2 026＞0知数列{an}为递增数列.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选题)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A.an＝－2n＋1 B.an＝－n2＋3n＋1 C.an＝ D.an＝(－1)n √ √ 可以利用数列的函数特性一一判断，A，C中数列为递减数列，B中数列不单调，D中数列是摆动数列.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有＝f(xn)，则x2 026等于 A.1 B.2 C.4 D.5 √ x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 026＝x1＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1＞an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象可能是 √ 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1＞an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y＞x，结合图象，只有A满足.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)下列是递增数列的是 A. B. C. D. √ √ 对于A，an＝，an＋1＝，an＋1－an＝－3×，是摆动数列，故A不符合题意；对于B，an＝1＋πn，an＋1＝1＋π， an＋1－an＝π＞0，故B符合题意；对于C，an＝3n－4n，an＋1＝3n＋1－4，an＋1－an＝2×3n－4，当n≥1时，an＋1－an≥2＞0，故C符合题意；对于D，an＝3n－2n＋2，an＋1＝3n＋1－2n＋3，an＋1－an＝2×3n－4×2n，当n＝1时，a2－a1＝－2＜0，故D不符合题意.故选BC. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是 A.k＞0 B.k＞－1 C.k＞－2 D.k＞－3 √ 因为an＋1＞an，所以an＋1－an＞0.又an＝n2＋kn＋2，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)＞0，所以k＞－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，所以k＞－3.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1＜an的n的值为____. 5 由an＝，an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，因为n∈N＋，所以n＝5. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(双空题)在数列{an}中，若an＝n(n－8)－20，则该数列从第______项开始递增，数列中最小项的值为______. 4 －36 由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7＞0，得n＞，故数列{an}从第4项开始递增.an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，数列中最小项为a4＝－36. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是__________. (2，3) 结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有 解得2＜a＜3. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)在数列{an}中，an＝(n＋1). (1)求证：数列{an}先递增后递减； 解：证明：显然an＝(n＋1)＞0. 令≥1(n≥2)，即≥1， 整理得≥，解得n≤10. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 令≥1，即≥1， 整理得≥，解得n≥9. 由a9＝a10＝， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求数列{an}的最大项. 解：由(1)知a9＝a10＝最大. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}从第m项起单调递减，则m的最小值为 A.11 B.12 C.13 D.不存在 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝.由数列{an}从第m项起单调递减可得－am＜0，即－m2－m＋130＜0，即m2＋m－130＞0，解得m＜或m＞.又m∈N＋，所以m＞.因为22＜＜23，所以10.5＜＜11，所以m≥11，所以m的最小值为11.故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为 A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞) √ 因为－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞). 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an＝f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增；②{an}是递增数列.写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：___________；写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式：_______________________. f(x)＝x f(x)＝(答案不唯一) 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 由题意可知，在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)＝x.第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不单调递增，可写为f(x)＝.则这个函数在上单调递减，在上单调递增.所以f(x)＝在[1，＋∞)上不单调递增，不满足①.而对应的数列为an＝在n∈N＋上越来越大，属于递增数列，满足②. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； 解：因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以－＝－2n， 即an－＝－2n(看成关于an的方程). 所以＋2nan－1＝0，解得an＝－n± . 因为an＞0，所以an＝－n，n∈N＋. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)证明：数列{an}是递减数列. 解：证明：作商比较，由(1)知an＝－n， 所以＝ ＝＜1， 又an＞0，所以an＋1＜an， 故数列{an}是递减数列. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为_________. 因为an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·，所以当n≤7时，an＋1－an＞0；当n＝8时，an＋1－an＝0；当n≥9时，an＋1－an＜0.所以a1＜a2＜…＜a7＜a8＝a9，a9＞a10＞a11＞a12＞….故数列{an}存在最大项，且最大项为a8＝a9＝. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知数列{an}的通项公式为an＝n·. 解：若是数列中的项，则an＝n·＝＝4×，所以n＝4，即为数列中的第4项. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求数列{an}中的最大项. 解：法一(作差比较法)：an＋1－an＝－n·＝·， 当n＜2时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞2时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 所以a1＜a2＝a3，a3＞a4＞a5＞…＞an＞…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 法二(作商比较法)：＝＝， 令＞1，解得n＜2；令＝1，解得n＝2； 令＜1，解得n＞2. 又an＞0，故a1＜a2＝a3，a3＞a4＞a5＞…＞an＞…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.2　数列的函数特性 返回 $