专题04认识概率（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题04认识概率 【题型01 事件的分类】............................................2 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】............................5 【题型03 判断实验所得结果是否是等可能的】........................7 【题型04 概率的意义理解】........................................9 【题型05 判断几个事件概率的大小关系】...........................10 【题型06 求某事件的频率】.......................................12 【题型07 关于频率与概率关性说法的正误】.........................14 【题型08 由频率估计概率】.......................................16 【题型09 用频率估计概率的综合应用】.............................19 【题型10 解答题5题】...........................................21 知识梳理 知识点01:事件的分类 1. 确定事件 必然事件：在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件。 例：太阳从东方升起；标准大气压下，水加热到 100℃沸腾。 不可能事件：在一定条件下，事先能肯定它一定不会发生的事件。 例：掷一枚骰子，点数为 7；从只装有红球的袋子中摸出白球。 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 2. 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，事先无法确定它会不会发生的事件（可能发生，也可能不发生）。例：掷一枚硬币，正面朝上；明天会下雨；从装有红、白球的袋子中摸出红球。 3. 事件可能性大小关系 不可能事件（可能性最小）＜随机事件＜必然事件（可能性最大）。 知识点02:概率的定义与性质 1. 概率的定义 表示一个随机事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。 若用字母 A 表示一个事件，则事件 A 发生的概率记作：P(A)。 2. 概率的取值范围 必然事件：P (必然事件)=1 不可能事件：P (不可能事件)=0 随机事件：0＜P (随机事件)＜1 统一范围：0 ≤ P(A) ≤ 1 3. 概率的本质 概率是随机事件自身的客观属性，由事件本身决定，不随试验次数改变。 知识点03:频率与概率的关系 1. 频率的定义 在n 次重复试验中，事件 A 发生了m 次，则事件 A 发生的频率为： fn(A)=​ 2. 频率的稳定性（核心性质） 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小。这个常数就是该事件概率的稳定值。 3. 用频率估计概率 方法：当试验次数足够大时，可用事件发生的频率作为其概率的估计值。 前提：试验必须在相同条件下重复进行。 4. 频率与概率的区别与联系 维度 频率 概率 本质 试验结果的统计值（随试验次数变化） 事件的客观属性（固定不变） 取值 0 ≤ 频率 ≤ 1，可能波动 0 ≤ 概率 ≤ 1，是确定常数 关系 大量重复试验时，频率趋近于概率，可用来估计概率 是频率的稳定值与理论值 【题型1.事件的分类】 【典例】从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】必然 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述水位上涨时，船身必然升高，这是一种确定的因果关系，因此是必然事件． 故答案为：必然． 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件的定义，结合袋子里黑球和白球的数量，分析各选项事件是否一定发生． 【详解】解：∵袋子中仅有2个白球． ∴从中摸3个球时，最多只能摸到2个白球，剩余1个必为黑球． ∴“摸出的三个球中至少有一个黑球”一定发生，是必然事件，故A选项符合题意． ∵黑球有4个，可摸出3个黑球，故B选项事件不一定发生． ∵存在摸出1黑2白的情况，故C选项事件不一定发生． 因为可能摸出3个黑球（即0个白球），不满足至少有2个白球，所以该事件不是必然事件，故D选项事件不一定发生． 故选：A． 【跟踪专练2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有 ； （2）其中是随机事件的有 ； （3）其中是确定事件的有 ． 【答案】 ④⑥ ①③⑤ ②④⑥ 【分析】本题主要考查了事件的分类， 根据随机事件，确定事件的定义解答即可. 【详解】解：①守株待兔是随机事件；②水中捞月是不可能事件，属于确定事件；③连续抛同一枚硬币2次都是正面朝上，这个事件是随机事件；④任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，属于确定事件；⑤若，则或，所以是随机事件；⑥从1,3,5中任选一个数，这个数是奇数属于必然事件，属于确定事件； 必然事件的有：④⑥； 随机事件的有：①③⑤； 确定事件的有：②④⑥. 故答案为：④⑥；①③⑤；②④⑥. 【跟踪专练3】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，实数的性质，根据实数的性质，无理数的含义逐一判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件即可． 【详解】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件． 选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件． 选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件． 选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件． 综上，只有选项B是随机事件． 故选：B 【题型2.判断事件发生的可能性的大小】 【典例】在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为 （填序号）． 【答案】①③② 【分析】本题考查可能性的大小，随机事件，根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；不可能事件的发生的可能性为，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能在和之间． 【详解】解：①瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性质为， ②水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为， ③守株待兔，是随机事件，发生的可能在和之间， ∴可能性从大到小的顺序排列为①③②． 故答案为：①③②． 【跟踪专练1】盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球 【答案】D 【分析】本题考查了独立事件的概念，熟练掌握独立事件的概念是解决本题的关键． 根据题意可知每次摸球都是独立事件，前次结果不影响下次概率，由此可解． 【详解】解：盒中共有5红、4黄、3绿球，每次摸球后放回并摇匀， ∴每次摸球时各颜色球的数量和概率保持不变， 即红球概率为，黄球为，绿球为， 由于每次摸球独立，前6次结果不影响第7次， 故第7次摸球时，红、黄、绿球均有可能被摸出，只是概率不同． 故选：D ． 【跟踪专练2】如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 【跟踪专练3】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 【题型3.判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 【跟踪专练3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 【题型4.概率的意义理解】 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 每次抛掷硬币都是独立事件，不受之前结果影响． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果相互独立．无论之前抛掷的结果如何，第100次抛掷时，“正面朝上”的概率仍为． 故选B． 【跟踪专练1】不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是 ． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率．此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 【详解】解：∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 【跟踪专练2】根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 【跟踪专练3】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】A 【分析】根据概率的意义去理解即可． 【详解】∵气象部门预报明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大 故选A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【题型5.判断几个事件概率的大小关系】 【典例】袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 【答案】红 【分析】分别计算出摸到红球、白球的概率，即可比较． 【详解】解：∵袋子里有5只红球，3只白球， ∴任意摸出1只球，摸到红球的概率为：， 摸到白球的概率为：， ∴摸到红球的可能性大． 故答案为：红． 【点睛】本题考查简单概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖 D．抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数 【答案】D 【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1，根据概率的意义作答即可得到答案． 【详解】解：A、应该是降雨的可能性有80%，而不是有80%的时间降雨，故A错误； B、每次试验都有随机性，2次就有1次出现正面朝上，不一定发生，故B错误； C、当购买彩票的次数不断增多时，中奖的频率逐渐稳定1%附近，故C错误； D、抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的意义，注意：概率只是反映事件发生的可能性的大小． 【跟踪专练2】一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 【跟踪专练3】估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 【题型6.求某事件的频率】 【典例】2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 【跟踪专练2】已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【答案】． 【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可． 【详解】∵=2， ∴，，0是有理数，，π是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【题型7.关于频率与概率关系说法的正误】 【典例】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【解析】略 【跟踪专练1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 【跟踪专练3】（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 【题型8.用频率估计概率】 【典例】某研究单位研制出一种新药，为了检验该药的治疗效果，统计了患者中志愿者服用新药后的治愈情况．统计数据如表： 服药患者人数 20 50 100 200 300 500 治愈患者人数 17 44 87 172 257 429 治愈频率 0.850 0.880 0.870 0.860 0.857 0.858 根据上表数据，估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.86 【分析】本题考查用频率估计概率，根据大量重复试验得到的频率稳定的数值即为概率解答即可． 【详解】解：估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为0.86， 故答案为：0.86． 【跟踪专练1】今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 【答案】B 【分析】本题考查的是利用频率估算概率，频数分布表，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．由图可知，这批香樟树移栽成活的棵数占比稳定在0.90，故成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：由统计图可得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在0.90附近， 成活的概率约为0.90． 故选：B． 【跟踪专练2】某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【答案】 【分析】本题考查了概率，重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下． 【详解】解：根据题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为： ， ∴用频率估计概率为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 【答案】A 【分析】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤草莓的售价为x元，根据“利润=售价-进价”列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为， 则完好率为：， 设每斤草莓的售价为x元，根据题意得， ， 解得，， 即每斤草莓的售价为25元， 故选：A． 【题型9.用频率估计概率的综合应用】 【典例】一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球实验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据频率估计概率，掌握两者间的关系即可求解； 【详解】解：，故估计其中的黄球个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据频率估计概率，掌握该知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 ． 【答案】60 【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.6， ∴估计黑色部分的总面积约为10×10×0.6＝60， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且变动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以估计概率． 【跟踪专练2】在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 【跟踪专练3】某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 解答题 1．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，掌握其定义是解题的关键． （1）根据不可能事件的含义设计游戏即可； （2）根据必然事件的含义设计游戏即可； （3）根据随机事件的含义设计游戏即可； 【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中装有4个白球和2个黑球，每个球除颜色外其他全部相同，从中任意摸出1个球是黄球是不可能事件．（答案不唯一） （2）解：在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． （3）解：在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件．（答案不唯一） 2．我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图． 如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为______．（不用列式，直接填空） 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图，由名学生中有人选择足球，得女生中有人选择足球，得女生有人，女生选篮球有人，得男生有人，男生选篮球有人，得这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小． 【详解】解：由名学生中有人选择足球， 由条形统计图可知：男生选择足球的人数为人， 女生中有人选择足球， 由扇形统计图可知：女生中选择足球的占调查人数的， 调查的名学生中，女生有人， 女生选篮球有人， 调查的名学生中，男生有人， 男生选篮球有人， 这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小． 故答案为：． 3．小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【答案】不能，概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率 【分析】此题考查了概率的概念，根据概率指在大数次试验中某事件出现的次数求解即可． 【详解】解：∵只抽了一张， ∴不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1． 理由是：概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率． 4．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)5 (3)①④ 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 所以，盒子里白球有5个； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 5．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识概率 【题型01 事件的分类】............................................2 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】............................3 【题型03 判断实验所得结果是否是等可能的】........................4 【题型04 概率的意义理解】........................................5 【题型05 判断几个事件概率的大小关系】............................5 【题型06 求某事件的频率】........................................6 【题型07 关于频率与概率关性说法的正误】..........................6 【题型08 由频率估计概率】........................................7 【题型09 用频率估计概率的综合应用】..............................9 【题型10 解答题5题】...........................................10 知识梳理 知识点01:事件的分类 1. 确定事件 必然事件：在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件。 例：太阳从东方升起；标准大气压下，水加热到 100℃沸腾。 不可能事件：在一定条件下，事先能肯定它一定不会发生的事件。 例：掷一枚骰子，点数为 7；从只装有红球的袋子中摸出白球。 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 2. 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，事先无法确定它会不会发生的事件（可能发生，也可能不发生）。例：掷一枚硬币，正面朝上；明天会下雨；从装有红、白球的袋子中摸出红球。 3. 事件可能性大小关系 不可能事件（可能性最小）＜随机事件＜必然事件（可能性最大）。 知识点02:概率的定义与性质 1. 概率的定义 表示一个随机事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。 若用字母 A 表示一个事件，则事件 A 发生的概率记作：P(A)。 2. 概率的取值范围 必然事件：P (必然事件)=1 不可能事件：P (不可能事件)=0 随机事件：0＜P (随机事件)＜1 统一范围：0 ≤ P(A) ≤ 1 3. 概率的本质 概率是随机事件自身的客观属性，由事件本身决定，不随试验次数改变。 知识点03:频率与概率的关系 1. 频率的定义 在n 次重复试验中，事件 A 发生了m 次，则事件 A 发生的频率为： fn(A)=​ 2. 频率的稳定性（核心性质） 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，且试验次数越多，摆动幅度越小。这个常数就是该事件概率的稳定值。 3. 用频率估计概率 方法：当试验次数足够大时，可用事件发生的频率作为其概率的估计值。 前提：试验必须在相同条件下重复进行。 4. 频率与概率的区别与联系 维度 频率 概率 本质 试验结果的统计值（随试验次数变化） 事件的客观属性（固定不变） 取值 0 ≤ 频率 ≤ 1，可能波动 0 ≤ 概率 ≤ 1，是确定常数 关系 大量重复试验时，频率趋近于概率，可用来估计概率 是频率的稳定值与理论值 【题型1.事件的分类】 【典例】从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【跟踪专练2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有 ； （2）其中是随机事件的有 ； （3）其中是确定事件的有 ． 【跟踪专练3】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【题型2.判断事件发生的可能性的大小】 【典例】在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为 （填序号）． 【跟踪专练1】盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球 【跟踪专练2】如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【跟踪专练3】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【题型3.判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【跟踪专练1】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【跟踪专练3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【题型4.概率的意义理解】 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 【跟踪专练1】不透明的口袋中有质地、大小、质量相同的白球和红球若干个，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则从袋中随机摸出一个白球的概率是 ． 【跟踪专练2】根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【跟踪专练3】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【题型5.判断几个事件概率的大小关系】 【典例】袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖 D．抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数 【跟踪专练2】一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【跟踪专练3】估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【题型6.求某事件的频率】 【典例】2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【跟踪专练1】学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【题型7.关于频率与概率关系说法的正误】 【典例】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【跟踪专练1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【跟踪专练3】（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【题型8.用频率估计概率】 【典例】某研究单位研制出一种新药，为了检验该药的治疗效果，统计了患者中志愿者服用新药后的治愈情况．统计数据如表： 服药患者人数 20 50 100 200 300 500 治愈患者人数 17 44 87 172 257 429 治愈频率 0.850 0.880 0.870 0.860 0.857 0.858 根据上表数据，估计患者中志愿者服用该新药治愈的概率约为 ．（精确到0.01） 【跟踪专练1】今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 【跟踪专练2】某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ． 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 【跟踪专练3】某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 【题型9.用频率估计概率的综合应用】 【典例】一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球实验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 ． 【跟踪专练2】在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【跟踪专练3】某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 解答题 1．请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 2．我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图． 如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为______．（不用列式，直接填空） 3．小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 4．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 5．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $