小升初重点应用专题04：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初重点应用专题04：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．一个长方体蓄水池，长12.5米、宽8米、深2米。要在它的内壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 2．学校举办了一届魔方大赛，魔方是一个棱长为6厘米的正方体，这个魔方的表面积是多少？如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成多少个？ 3．如图是一个长方体玻璃缸，从里面量长2分米，宽1.6分米，高1.5分米。在这个玻璃缸中注入深1分米的水。 （1）这个长方体玻璃缸最多能装多少升水？ （2）将一个石块完全浸没在水中，水面上升到1.3分米。石块的体积是多少立方分米？ 4．一个新建的游泳池长90米，长是宽的3倍，深2.5米，现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积一共是多少平方米？ 5．一个长方体果汁盒，从里面量，长2.4分米，宽0.6分米，高2分米。里面装满果汁，倒入容积为400毫升的杯中，最多能倒满几杯？ 6．王叔叔用铁皮制作了一个棱长为4分米的正方体无盖水箱。（水箱厚度和接头处忽略不计） （1）至少需要铁皮多少平方分米？ （2）一个淘气的孩子在这个水箱的侧面扎破了一个洞。洞口下沿距水箱底部2.2分米（如图），如果向这个空水箱缓慢地倒入32升水，水是否会从这个洞口流出？ 7．一个长方体的高减少3厘米就可以变成一个正方体，它的表面积会减少108平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 8．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。孙师傅将宣纸裁成如图的形状，经过艺术创作后，准备加上木条制成长方体灯罩。要做成这样一个灯罩，至少需要多少厘米长的木条？ 9．一块铁皮长24厘米，王伯伯从铁皮的四个角各剪去了一个边长3厘米的正方形，如下图，再折起来焊接成一个无盖的长方体铁盒。已知这个铁盒的容积是648立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？ 10．一个长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸无盖） 11．如下图所示的是一个无盖的泡沫箱，从外面量长35cm、宽20cm、高18cm；从里面量长20cm、宽15cm、高16cm。请选择合适的数据算一算，泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 12．中秋节是我国的传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。园园给爷爷买了一盒月饼，并用一根丝带捆扎礼盒（如下图）。如果打结处用的丝带长30cm，求这根丝带的长度。 13．园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 14．一块正方体的豆腐，棱长是7cm。如果每立方厘米豆腐的质量是1.1g，那么这块豆腐的质量是多少克？若每100g豆腐中含蛋白质10g，则这块豆腐可以为人体提供多少克蛋白质？ 15．泥塑艺术是我国一种古老的民间艺术，它以泥土为原料，手工捏制成形。乐乐在泥塑课上把两个棱长为4cm的正方体彩泥合并捏成了一个横截面积是5cm2的长方体，捏成的长方体的长是多少厘米？ 16．一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 17．在一个从里面量底面长和宽都是4dm的长方体鱼缸中倒入20L水，再将一块观赏石浸没在水中，此时水深1.5dm（水没有溢出）。这块观赏石的体积是多少立方分米？ 18．如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 19．在一个棱长是6分米的正方体器皿中装满水，然后用专用设备把水全部引入一个底面长是2米、宽是5分米的长方体器皿中，水未溢出，则长方体器皿中的水有多深？（器皿壁厚度忽略不计） 20．杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 21．有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 22．学校要粉刷新教室的四壁和天花板。教室的长是8米，宽是5米，高是3.2米，门窗的面积是14.5平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？ 23．一根铁丝正好可以做一个棱长6分米的正方体框架，如果用同样长的铁丝做一个长12分米，宽5分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？ 24．一间长方体教室长8米，宽6米，高4.5米，要对教室的顶面和四壁进行粉刷（门窗和黑板26平方米除外），粉刷的面积是多少平方米？ 25．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 26．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 27．在长方体玻璃缸中沉入一石块（全部浸没）。沉入前水面高6cm，沉入后水面升高到10cm且溢出125mL水。玻璃缸里面长30cm、宽20cm。这块石块的体积是多少？ 28．乐乐用如下图所示的一张硬纸板折成一个无盖的长方体纸盒，你能算出做这个纸盒至少要用多少平方厘米的硬纸板和它的容积吗？ 表面积： 容积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初重点应用专题04：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．182平方米 【分析】由题意可知，求蓄水池抹水泥的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为在蓄水池的内壁和底面抹水泥，所以只需计算长方体5个面的面积，据此解答。 【详解】12.5×8＋（12.5×2＋8×2）×2 ＝12.5×8＋（25＋16）×2 ＝12.5×8＋41×2 ＝100＋82 ＝182（平方米） 答：抹水泥的面积是182平方米。 2．216平方厘米；27个 【分析】正方体的表面积公式S＝6a2，代入棱长计算表面积即可。用大正方体的体积除以小正方体的体积就能得到切成小正方体的个数，根据V＝a3计算解答。 【详解】62×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 63÷23 ＝6×6×6÷（2×2×2） ＝216÷8 ＝27（个） 答：这个魔方的表面积是216平方厘米。如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成27个。 3．（1）4.8升 （2）0.96立方分米 【分析】（1）求长方体容积用长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据求出这个玻璃缸最多能装多少立方分米的水，1立方分米＝1升，再根据进率转换单位； （2）水面上升部分的体积就是石块的体积，用“底面积×水面上升的高度”求出石块的体积。 【详解】（1）2×1.6×1.5 ＝3.2×1.5 ＝4.8（立方分米） 4.8立方分米＝4.8升 答：这个长方体玻璃缸最多能装4.8升水。 （2）2×1.6×（1.3－1） ＝3.2×0.3 ＝0.96（立方分米） 答：石块的体积是0.96立方分米。 4．3300平方米 【分析】已知长是90米，且长是宽的3倍，因此宽为：90÷3＝30（米）。因为要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，可以把游泳池看作是一个无盖的长方体，所以贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，游泳池长是90米，宽是30米，深（即高）是2.5米，把数据代入计算即可。 【详解】90÷3＝30（米） 90×30＋90×2.5×2＋30×2.5×2 ＝2700＋450＋150 ＝3150＋150 ＝3300（平方米） 答：贴瓷砖的面积一共是3300平方米。 5．7杯 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，根据1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，单位换算后，用总的果汁量除以一杯的容量，取整可求得最多能倒满几杯。 【详解】2.4×0.6×2 ＝1.44×2 ＝2.88（立方分米） 2.88立方分米＝2.88升＝2880毫升 2880÷400＝7.2（杯）≈7（杯） 答：最多能倒满7杯。 6．（1）80平方分米 （2）不会 【分析】（1）需要的铁皮面积为无盖正方体的表面积（只有5个面）。正方体1个面的面积为；无盖正方体表面积为。已知棱长是4分米，先算1个面的面积，再乘5得到总面积。 （2）根据，先将水的体积32升转换为32立方分米；水在水箱中是长方体形状，（）；将计算出的水的高度和洞口高度（2.2分米）对比，若小于则不会流出。 【详解】（1） （平方分米） 答：至少需要铁皮80平方分米。 （2） （分米） 答：水不会从这个洞口流出。 7．972立方厘米 【分析】一个长方体的高减少3厘米就可以变成一个正方体，说明这个长方体上下两个面是正方形，减少的表面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝底面边长，即长方体的长和宽，底面边长＋减少的高＝原来的高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】108÷3＝36（厘米） 36÷4＝9（厘米） 9＋3＝12（厘米） 9×9×12＝972（立方厘米） 答：原来长方体的体积是972立方厘米。 8．312厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36cm、宽18cm、高24cm，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】（18＋36＋24）×4 ＝78×4 ＝312（cm） 答：至少需要312厘米的木条。 9．432平方厘米 【分析】一块铁皮长24厘米，王伯伯从铁皮的四个角各剪去了一个边长3厘米的正方形，则焊接成一个无盖的长方体铁盒的长为24厘米减去两个边长3厘米，宽为原来铁皮的宽减去两个边长3厘米，高为3厘米； 用铁盒的容积是648立方厘米除以长方体铁盒的长，再除以长方体铁盒的高3厘米即可求出长方体铁盒的宽，再用长方体铁盒的宽加上两个边长3厘米即可求出原来铁皮的宽，再根据长方形的面积＝长×宽即可求出原来这块铁皮的面积是多少。 【详解】24－3×2 ＝24－6 ＝18（厘米） 648÷18÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） 12＋3×2 ＝12＋6 ＝18（厘米） 24×18＝432（平方厘米） 答：原来这块铁皮的面积是432平方厘米。 10．152平方分米 【分析】求制作这个鱼缸至少需要的玻璃面积就是求这个无盖长方体的表面积，无盖长方体的表面积包含底面的面积和前、后两面的面积及左、右两面的面积，因此无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【详解】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋40×2＋20×2 ＝32＋80＋40 ＝112＋40 ＝152（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要多少152平方分米的玻璃。 11．泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米 【分析】根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答，然后根据进行单位换算即可。 【详解】 （立方厘米） 立方厘米立方分米 答：泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米。 12．116cm 【分析】观察图形可知，丝带的长度由两部分组成：一部分是长方体不同的棱长的长度之和（包括两条长，两条宽和四条高 ），另一部分是打结处所用丝带的长度，把两部分加在一起即为这根丝带的长度；据此解答。 【详解】 （cm） 答：这根丝带的长度是116cm。 13． 96平方分米 【分析】先根据正方体棱长总和（48dm）求出棱长：棱长之和除以12，再利用棱长计算正方体表面积，正方体表面积，即为所需彩纸面积。据此解答。 【详解】（分米） （平方分米） 答：至少要用96平方分米的彩纸。 14．377.3克；37.73克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出豆腐的体积，再乘以每立方厘米豆腐的质量，算出豆腐的总质量，最后用总质量除以100再乘10，即可算出这块豆腐可以为人体提供蛋白质的质量，据此解答。 【详解】（立方厘米） （克） （克） 答：这块豆腐的质量是377.3克，这块豆腐可以为人体提供37.73克蛋白质。 15．25.6厘米 【分析】先用正方体的体积公式，求出正方体的体积；两个正方体彩泥合并成了一个长方体，故正方体的体积×2＝长方体的体积；已知长方体的横截面积，根据长方体的长＝长方体的体积÷长方体的横截面积，求出长方体的长，据此解答。 【详解】正方体的体积：（立方厘米） 长方体的体积：（立方厘米） 长方体的长：（厘米） 答：长方体的长是25.6厘米。 16．4.6分米 【分析】油从一个正方体油箱倒入一个长方体油箱，油的体积没变。根据长方体的体积计算公式“”，用这些油的体积除以长方体油箱的长和宽即可求出油面高度，再用油箱的高度减油面高度，即可求出油面离箱口的高度。 【详解】 （分米） 1米＝10分米 （分米） 答：油面离箱口有4.6分米。 17． 4立方分米 【分析】在一个从里面量底面长和宽都是4dm的长方体鱼缸中倒入20L水，再将一块观赏石浸没在水中，此时水深1.5dm（水没有溢出），根据长方体的体积公式可求出鱼缸内观赏石与水的体积和；再用观赏石与水的体积和减去水的体积，即可求出观赏石的体积，据此解答。 【详解】观赏石与水的体积和：（dm3） 水的体积：20L＝20dm3 观赏石的体积：（dm3） 答：这块观赏石的体积是4dm3。 18．4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【详解】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 19．2.16分米 【分析】因为长方体器皿底面长的单位是米，需换算为分米，1米等于10分米，所以2米为20分米； 正方体体积公式为（a为棱长），则水的体积为216立方分米，长方体体积公式为（S为底面积， h为高），则水深，底面积为100平方分米，用除法求水深，即2.16分米。 【详解】2米＝20分米 （立方分米） （分米） 答：长方体器皿中的水有2.16分米。 20．6.45分钟 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高15厘米时水的体积，再减去假山石的体积就是应注入水的体积； 应注入水的体积除以每分钟水的流量即可确定将假山石完全淹没所用的时间。 【详解】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 21．216立方厘米 【分析】从一个长方体上切下一个尽可能大的正方体，要以长方体最短的一条棱的长度为棱长进行切割。第一次切下的正方体的棱长是12厘米，2分米＝20厘米，20－12＝8（厘米），所以第二次切下的正方体的棱长是8厘米，14－8＝6（厘米），所以第三次切下的正方体的棱长是6厘米，根据正方体的体积计算公式可以求出它的体积。 【详解】2分米＝20厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：最后一次切下的这个正方体的体积是216立方厘米。 22．1304.4元 【分析】粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，粉刷面积×每平方米需要的涂料费＝花费的总钱数，据此列式解答。 【详解】8×5＋8×3.2×2＋5×3.2×2－14.5 ＝40＋51.2＋32－14.5 ＝108.7（平方米） 108.7×12＝1304.4（元） 答：粉刷这个教室需要花费1304.4元。 23．10厘米 【分析】先根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，得到铁丝的总长度。这根铁丝的长度不变，正方体的棱长总和就是长方体的棱长总和，再根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝总长÷4，求出长、宽、高的和。最后用长、宽、高的和减去长和宽，得到高，注意单位的转化。据此解答。 【详解】6×12＝72（分米） 72÷4＝18（分米） 18－12－5＝1（分米） 1分米＝10厘米 答：这个长方体框架的高是10厘米。 24． 148平方米 【分析】先计算教室顶面和四壁的面积，根据“无底长方体的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”代入数值计算；再减去门窗和黑板的面积即可。 【详解】8×6＋（8×4.5＋6×4.5）×2－26 ＝48＋（36＋27）×2－26 ＝48＋63×2－26 ＝48＋126－26 ＝174－26 ＝148（平方米） 答：粉刷的面积是148平方米。 25．10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 26．0.0304平方米 【分析】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【详解】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 27． 2525 【分析】根据题意，玻璃缸为长方体，根据长方体体积公式（其中a为长，b为宽，h为高），这里，，，可求出上升的水的体积； 石块的体积等于玻璃缸内上升的水的体积加上溢出的水的体积，已知溢出的水的体积为125mL，因为，所以，将上升的水的体积与溢出的水的体积相加即可。 【详解】 （） 答：这块石块的体积是2525。 28．488平方厘米；640立方厘米 【分析】由图可知，长方体纸盒的长是16厘米，宽是10厘米，高是4厘米，求做这个纸盒至少要用多少平方厘米的硬纸板就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为长方体纸盒无盖，所以只需计算长方体5个面的面积，最后根据“长方体的容积＝长×宽×高”求出这个纸盒的容积，据此解答。 【详解】表面积：10×4＋（16×10＋16×4）×2 ＝10×4＋（160＋64）×2 ＝10×4＋224×2 ＝40＋448 ＝488（平方厘米） 容积：16×10×4 ＝160×4 ＝640（立方厘米） 答：做这个纸盒至少要用488平方厘米的硬纸板，这个纸盒的容积是640立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $