19.3二次根式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算 同步练习2025－2026学年人教版数学八年级下册

人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.3二次根式的加法与减法 第2课时二次根式的混合运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 二次根式的混合运算 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 4．估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 5．新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 6．计算： (1)； (2)． 知识点2 二次根式与乘法公式 7． ． 8．计算的结果是 ． 9．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．计算： (1) (2) 13．计算： (1) (2) 中档题 14．若，则的值为 ． 15．已知，则的值为 ． 16．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 17．对于任意实数m和n，规定．如，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 综合题 19．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 课堂检测 1．计算： ． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 7．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.3二次根式的加法与减法 第2课时二次根式的混合运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 二次根式的混合运算 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的运算法则，先计算除法和乘法，再计算减法． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 4．估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式． 先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴，即， ∴原式的值在7和8之间． 故选：C． 5．新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． （1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】解：（1）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． （2）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再由完全平方公式去括号，最后计算加减法即可； （2）先计算二次根式除法，同时化简分式中的二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点2 二次根式与乘法公式 7． ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的简单计算，掌握平方差公式的正确应用是解题关键．观察后发现直接应用公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 1． 8．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式应用，利用平方差公式简化表达式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 11．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 本题考查了二次根式的相关运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法并化简，再进行加减计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 中档题 14．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 15．已知，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 16．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 17．对于任意实数m和n，规定．如，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，令即可计算出答案． 【详解】解：在中， 令得， 故选：B． 18．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 综合题 19．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 课堂检测 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先运用乘法分配律展开，再进行二次根式的乘法和加减运算． 【详解】解：原式． 故答案为：2． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 5．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 7．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 8．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再去括号并计算即可； （2）利用乘法公式和二次根式的除法法则化简，再算加减； （3）利用乘法公式化简，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 10．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 试卷第16页，共17页 试卷第15页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $