19.3二次根式的加法与减法第1课时二次根式的加法与减法 同步练习2025－2026学年人教版数学八年级下册

人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 同类二次根式 1．在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 4．请你写出一个与是同类二次根式 ，它们的和是 知识点2 二次根式的加减法 5．计算 ． 6．计算： （1） ； （2） ． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点3 二次根式的加减法的应用 10．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 11．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 中档题 12．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的 段． 14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 15．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 16．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 18．定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 综合题 19．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 课堂检测 1．下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 5．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 6．（1）填空：________，________．（填“”“”或“”） （2）由（1）中的结果可知：________，________． （3）计算：．（结果保留根号） 7．计算： (1)； (2)． 8．在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 9．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________________；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积； (3)木工乙想从长方形木板中截出长为，宽为的长方形木条，求最多能截出几根这样的木条． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材数学八年级下册第19章二次根式 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 基础题 知识点1 同类二次根式 1．在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先将各选项化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断即可． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式， 又∵， ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A不符合题意； B选项：，被开方数为m，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B不符合题意； C选项：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故C符合题意； D选项：，是整式，不是二次根式，故不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并． 本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；     B. 与不是同类二次根式，不能与合并；         C. 与不是同类二次根式，不能与合并；     D. ，与是同类二次根式，能与合并． 故选：D． 3．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解． 【详解】解：，所以被开方数为 3； 因为是最简二次根式，且与是同类二次根式， 所以， 解得， 故答案为：． 4．请你写出一个与是同类二次根式 ，它们的和是 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的加法运算，关键是掌握化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 先化简，再根据同类二次根式的被开方数相同可得到的同类二次根式，然后进行二次根式的加法运算． 【详解】解：，则与是同类二次根式的可以为（答案不唯一）， ∴（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）． 知识点2 二次根式的加减法 5．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 0 【分析】本题考查二次根式的加减法，正确化简二次根式是解答本题的关键． （1）原式化简，再合并即可； （2）原式化简，再合并即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：(1)；(2)0． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 8．在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，二次根式的加减，绝对值化简等知识，根据“数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值”列算式，计算即可求解． 【详解】解：与点之间的距离为 故答案为： 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知二次根式的加减运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点3 二次根式的加减法的应用 10．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 11．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴能围成这两个正方形． 中档题 12．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 13．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的 段． 【答案】② 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题关键．根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 故答案为：② 14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 15．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 16．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （2）原式化简二次根式，再合并即可； （3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （4）原式化简二次根式，再合并即可； （5）原式化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 18．定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 综合题 19．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式． （1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为 团扇面积为， ∴， 解得（舍负） 故答案为：9． （2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装 ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 课堂检测 1．下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，与不能合并，不合题意； B．，与不能合并，不合题意； C．，与能合并，符合题意； D．，与不能合并，不合题意； 故选C． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，需先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则． 需依据同类二次根式的定义（被开方数相同的二次根式为同类二次根式）及二次根式加减法则（同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变）来判断各选项计算是否正确． 【详解】解：A选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； B选项中，， ，计算正确； C选项中，， 计算错误； D选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误； 故选：B． 4．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为：． 5．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 6．（1）填空：________，________．（填“”“”或“”） （2）由（1）中的结果可知：________，________． （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）（2），（3） 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，绝对值化简，解题的关键是掌握绝对值化简的法则． （1）根据实数大小比较法则进行求解即可； （2）根据绝对值化简的法则进行化简即可； （3）先根据绝对值化简法则进行化简，然后再进行二次根式的加减运算． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2），， 故答案为：，； （3） ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． （1）小敏在第二步去括号时，错误地将减号分配，导致符号错误； （2）正确计算需先化简根式，再去括号并合并同类项即可． 【详解】（1）解：小敏在第二步去括号时，对减号后的括号内各项未全部变号， 故从第二步开始出现错误． （2）解：正确解题过程： 原式 ． 正确的答案是． 9．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________________；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积； (3)木工乙想从长方形木板中截出长为，宽为的长方形木条，求最多能截出几根这样的木条． 【答案】(1) (2)长方形木板的面积为 (3)最多能截出3根这样的木条． 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：， ， 故长方形木板的面积为； （3）解：， 因为，， 所以最多能截出3根这样的木条． 试卷第16页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $