6.2.4 组合数训练（五大题型）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4 组合数 题型一 排列（数）与组合（数）的区别 1．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 2．下列问题是组合问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 3．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； (2)6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； (3)6人支教小组中，至少有1名主任参加； (4)6人支教小组中既有主任，又有女教师． 题型二 组合数的计算 4．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 6．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 7．假设有5个条件类似的大学毕业生（分别记为A，B，C，D，E）到某单位应聘工作，但只有2个岗位，每人只能应聘一个岗位，每个岗位只聘用1人，5个人中有且仅有2人能被录用.假设5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)毕业生A获得一个岗位； (2)毕业生A和B至少有一人获得岗位． 题型三 利用组合数公式证明 8．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 题型四 组合数方程和不等式 11．满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 12．若，则n的值可以是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 13．若 为正整数，则不等式 的解集是 14．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 题型五 组合数的性质及应用 15．已知数列：，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（    ） A． B． C． D． 16．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则 ． 18．某校某次数学考试全体学生的成绩都在内.某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：. (1)求图中的值；根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的分位数； (2)从成绩区间是的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4 组合数 题型一 排列（数）与组合（数）的区别 1．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得． 【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法， 再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种. 故选：C. 2．下列问题是组合问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 【答案】BD 【分析】利用组合的定义判断. 【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题； B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题； C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题； D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题； 故选：BD 3．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； (2)6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； (3)6人支教小组中，至少有1名主任参加； (4)6人支教小组中既有主任，又有女教师． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可. （2）（3）（4）先求出目标事件的对立事件概率，再求出目标事件的概率求解即可. 【详解】（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法， 从4名女教师里选3名有种选派方法， 由分步乘法计数原理得共有种选派方法. （2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师， 若全是男教师，有种选派方法， 故既有男教师，又有女教师的选派方法为种. （3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 则至少有1名主任参加有种选派方法. （4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 若有主任，且没有女教师，有种选派方法， 则既有主任，又有女教师有种选派方法. 题型二 组合数的计算 4．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，利用组合数的性质有. 故选：B. 5．下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【分析】根据分步计数原理判断A，根据顺序一定问题，列式判断B，根据隔板法，列式判断C，根据分类计数原理，或是无序问题，判断D. 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 6．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 【答案】 【分析】根据题意，分配模式为1，1，2或0，1，3或0，2，2，三种情况讨论，由排列、组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. 7．假设有5个条件类似的大学毕业生（分别记为A，B，C，D，E）到某单位应聘工作，但只有2个岗位，每人只能应聘一个岗位，每个岗位只聘用1人，5个人中有且仅有2人能被录用.假设5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)毕业生A获得一个岗位； (2)毕业生A和B至少有一人获得岗位． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式结合计数原理求解即可； （2）利用古典概型的概率公式结合计数原理求解即可. 【详解】（1）设事件“毕业生A获得一个岗位”， 所以； （2）设事件“毕业生A或B获得一个岗位”， 所以. 题型三 利用组合数公式证明 8．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 9．已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数的对称性分析判断；对于B：根据即可判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据组合数公式分析判断. 【详解】对于选项A：由，得，故A正确； 对于选项B：由，得，则，故B正确； 对于选项C：例如，则，即，故C错误； 对于选项D：因为， 所以，故D正确； 故选：ABD． 10．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1)3060 (2)答案见解析 (3)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据组合数的推广公式计算即得； （2）对于①，只需举反例即可排除；对于②，可根据组合数的推广公式推理计算证明； （3）对于①，利用组合数的推广公式化简计算即可证明；对于②，将问题分成，和三种情况，分别计算推理即可证明. 【详解】（1）． （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 证明：当时，有， 当时， ． （3）①因， 而， 所以． ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 题型四 组合数方程和不等式 11．满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【分析】用阶乘表示组合数，化简求出范围. 【详解】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 12．若，则n的值可以是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】AB 【分析】根据题意结合组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 由组合数性质可得或，解得或， 检验可知或均符合题意. 故选：AB. 13．若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 14．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 题型五 组合数的性质及应用 15．已知数列：，从中任选三项组成一个新数列，则所有新数列中的最小项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据任意三个不同项可组成个数列，再得出最小项的和结合组合数的性质计算求解. 【详解】由题知，任意三个不同项可组成个数列； 在所有递增的新数列中，以1为最小项的新数列有个， 以2为最小项的新数列有个， 以3为最小项的新数列有个， ， 以2023为最小项的新数列有个， 此时，所有新数列中的最小项之和为 ， 所以所有新数列中的最小项之和为. 故选:D. 16．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 17．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则 ． 【答案】 【分析】从莱布尼茨三角形可看出，下一行的两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数，进而得，再根据求和得. 【详解】从莱布尼茨三角形可以看出，下一行两个分数之和等于上一行肩上的分数，故． ， 故， 故答案为：；. 18．某校某次数学考试全体学生的成绩都在内.某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：. (1)求图中的值；根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的分位数； (2)从成绩区间是的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，求出，利用频率直方图结合百分位数的计算方法求得第80百分位数即可. （2）利用分层抽样的意义求得的两组中所抽取的人数，进而利用组合数的性质结合古典概型计算公式可求得成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率即可. 【详解】（1）由，解得. 因为， 所以第80百分位数在内，设第80百分位数为， 则，解得. （2）根据题意，成绩区间是的两组的人数如下， 分别为人，人， 按照分层抽样的方式抽取的人数分别为3人，2人. 故在成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $