6.2.4向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.2.4 向量的数量积 在前面的课程中，我们学习了向量的线性运算，包括哪些？ 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么 定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 复习回顾 向量的线性运算 数量积的物理背景 我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移S(如图)其中θ是F与S的夹角，那么力F所做的功W，可以用如下式子计算： S F F 思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 θ 1. 向量的夹角 新课讲授 B A 记作<,> <a ,b >∊[0°，180°] θ O· 所以θ的取值范围[0，π]，其中θ=90°时称为 A O B θ A O B θ A O B A O θ A O θ B <a ,b >∊[0°，180°] 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 新课讲授 练习： 在 中，找出下列向量的夹角： A B C (1) (2) (3) 跟踪训练 2 新课讲授 规定:零向量与任一向量的数量积为0 a·b= |a| |b| cosθ 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ，我们把数量 |a| |b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a . b (2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； (1) · 不能写成 × ，中间的“.” 在向量的运算中不能省略 注意： 2. 向量数量积的定义 新课讲授 夹角公式 新课讲授 解：由，得 因为，所以 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角 3. 向量数量积的几何意义 新课讲授 叫做 在 方向上的投影. 叫做 在 方向上的投影向量， 为与 相同方向的单位向量,则 M M1 N 的几何意义是一个向量在另一个向量上的投影 叫做 在 方向上的投影. 注意：投影是一个数量。 B1 A B O 当为锐角时 投影为正值; A B O B1 当为钝角时 投影为负值; 当为直角时 投影为0. A B O B (B1) 投影与投影向量 练习：课本P20T3 特别地，·= ， (3)若与同向，则= ； 若与反向，则 (2) ； (1) (5) . (4) 　　　　 　　　　； 判定两向量垂直 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状. 平面向量数量积的性质(非零向量) 新课讲授 ； ·0 ≤ 6.2.4向量的数量积（二） 1. 向量数量积的运算律: (交换律) (数乘结合律) (分配律) 数量积不满足结合律 数量积不满足消去律 新课讲授 例11 证明： 证明：(1) ； (2) 因此，上述结论是成立的. 例12 解： 变式 解：∵， ， ∴ 求模长： 求模长，先平方 练 习 例13 解：与互相垂直的充要条件是 即 因为，所以 解得. 也就是说，当时，与互相垂直. 练 习 练一练：1. 若向量且 求 解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 练一练：2. 若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）. . 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】： 练 习 向量的夹角 向量的数量积 定义 投影与投影向量 叫做向量的夹角 （同起点） 课堂小结 向量的数量积 性质与运算律 （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） $