第六章 专题2 圆周运动的临界状态 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第6章专题2 圆周运动的临界状态 重点内容 1 水平面内的圆周运动的临界问题 2 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 3 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 水平面内的圆周运动的临界问题 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2．解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例1】（2024秋•六安期末）在足够大转盘上放置两个质量分别为和的小物块和（均可视为质点）。放置在转盘中心，、之间用原长、劲度系数的轻质弹簧拴接，此时弹簧处于原长。已知、与转盘间的动摩擦因数均为，重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。假设物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证不滑动，则转盘匀速转动时角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：刚好不滑时，受到的摩擦力为最大静摩擦力，即， 此时弹簧弹力，由胡克定律可知弹簧形变量， 此时做匀速圆周运动的半径， 而与转盘之间的最大摩擦力， 对受力分析，根据牛顿第二定律，解得，故正确，错误。故选：。 【例2】（2025秋•菏泽期中）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，可将碟子简化为水平转盘。质量为的发光物体放在半径为的碟子边缘，刚好随碟子一起在水平面内绕点做匀速圆周运动，角速度大小为，已知重力加速度大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　） A．发光物体受到的摩擦力是恒力 B．发光物体与碟子间的动摩擦因数大小为 C．若碟子转动角速度变小，光环半径随之减小 D．若碟子突然停止转动，则发光物体将沿碟子径向飞离 【解答】解：、对盘边缘的发光物体进行受力分析，物体在水平面受到重力、支持力和静摩擦力作用。竖直方向平衡，即。水平方向静摩擦力提供向心力，方向指向圆心。物体做匀速圆周运动，静摩擦力方向始终指向圆心，其方向随位置变化而改变，故不是恒力，故错误； 、物体随碟子做匀速圆周运动时静摩擦力达最大值，由牛顿第二定律得，结合，解得动摩擦因数，故正确； 、当角速度减小时，向心力减小。此时最大静摩擦力满足，静摩擦力减小以匹配所需向心力，物体保持静止且半径不变，故错误； 、碟子停止转动时，物体因惯性保持瞬时速度沿切线方向运动，故沿切线飞出而非径向飞离，故错误。故选：。 【例3】（2025秋•河北期中）如图所示，水平转盘上静置有两个完全相同的小物块、，质量均为的小物块和转盘间的动摩擦因数均为，小物块、与转盘圆心的距离分别为和，两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初始时刻轻绳恰好伸长且无形变。时刻使转盘由静止开始做角速度缓慢增加的圆周运动，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，下列小物块、与转盘间的摩擦力、随角速度平方变化的图像正确的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：、若绳上的拉力为零，摩擦力达到最大值，可得到、分别达到最大摩擦力时的角速度满足：，，解得：，， 即：，物块的先达到最大静摩擦力，当时，达到最大静摩擦力后，摩擦力不再变化，故错误； 、达到最大静摩擦力后，随着角速度增大，绳上有拉力，物块也受到指向圆心的拉力，对、受力分析，分别可得：，， 随着角速度增大，绳上的拉力增大，此时的静摩擦力大小会先减小，再反向增大； 当的静摩擦力反向增大到最大时，会一起相对转盘滑动，此时对、受力分析，分别得：，， 解得此时角速度临界值满足：，的静摩擦力达到最大值，故错误，正确。故选：。 【例4】（2025秋•花溪区校级期中）如图所示，质量为的物块叠放在质量为的物块上，物块放在水平圆盘上，水平细线连接物块与圆盘的竖直转轴，细线初始伸直且无拉力，细线长为，和间、和圆盘间动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，不计物块大小，整个装置绕竖直转轴做圆周运动，角速度从零开始缓慢增大，直至细线上刚要产生拉力时，下列说法正确的是　　 A．圆盘的角速度为 B．物块、间摩擦力为零 C．所受的圆盘的摩擦力大小为 D．所受的摩擦力的合力大小为 【解答】．设细线上刚要产生拉力时，物块没有滑动，此时与间的摩擦力刚好为，转动的角速度设为，对受力分析，根据牛顿第二定律可得解得故正确，错误； ．设此时物块受到圆盘的摩擦力大小为，对研究，根据牛顿第二定律有 解得即物块与圆盘间刚好达到最大静摩擦力，所受的摩擦力的合力大小为 故错误；故选：。 【例5】（2025•崆峒区校级模拟）如图所示，两完全相同的滑块、用长为的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心与、在同一条直线上，，两滑块的质量均为，与转台间的动摩擦因数为，现让转台的角速度从0逐渐增加，当角速度为时，所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为，下列说法正确的是　　 A．滑块、所受的摩擦力大小之比始终等于 B． C． D．转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为 【解答】解：刚开始角速度比较小时，两滑块的静摩擦力提供所需的向心力，由于滑块的半径较大，所需向心力较大，则滑块受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后角速度再增大，轻绳的拉力逐渐增大，滑块的静摩擦力不变，而滑块的静摩擦力逐渐增大，直到增加到最大静摩擦力，所以两滑块、所受的摩擦力之比并不始终等于，故错误； 当角速度为时，对滑块由牛顿第二定律得，解得，故正确； 转台的角速度为时，滑块受到的摩擦力达到最大，分别对滑块、由牛顿第二定律，有，，联立解得，，故、错误。故选：。 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 1．如图，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。 轻绳模型 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg＋F＝m 临界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物体能否过最高点的临界速度 2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝m。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例6】（2025秋•莲湖区校级月考）如图所示，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的点，下端拴一小球，点是小球下垂时的平衡位置。点代表一固定在墙上的细长钉子，位于直线上。点在点正上方，且。点与点等高，现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与点等高的点，释放后任其向下摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球向右摆到点，然后就摆回来 B．小球沿圆弧摆到点，然后竖直下落 C．小球向右摆到和之间圆弧上某点处，然后竖直下落 D．关于小球的运动情况，以上说法都不正确 【解答】A、小球摆动过程中只有重力做功，机械能守恒，因此到达点具有向上的速度，故A错误； 、若小球能到达点，在点重力提供向心力，由牛顿第二定律，代入数据得：，即小球若能到达点，其在点最小速度为，违反机械能守恒定律，无法到达点，故错误； 、由上述分析可知，小球摆到和之间圆弧上某点处，脱离圆弧，小球做圆周运动，速度方向为切线方向，因此离开圆弧后做斜抛运动，故错误，正确。故选：。 【例7】（2025•湘西州模拟）如图所示，水平地面上固定有倾角为、高为的斜面。点位于点正上方且与点等高。细绳一端固定于点，另一端与质量为的小相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为 C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到点 【解答】解：．小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，根据平抛运动规律以及小球在水平方向和竖直方向的关系有，联立解得， 小球做平抛运动的竖直位移为 所以细绳的长度为，故错误； ．在圆周运动的最低点，根据牛顿第二定律有 解得，绳刚要拉断时张力为，故错误； ．根据速度的矢量关系可得球击中斜面时的速度为，反弹的速度大小为 ，设反弹后能击中点，则水平方向位移为，有，解得 ，竖直位移为，所以反弹后球恰好能落到点，故正确。故选：。 【例8】（2025春•重庆期末）如图所示，用一根轻绳系着一个可视为质点的小球，轻绳的长度为。最初小球静止在圆轨迹的最低点点，现在点给小球一个初速度，使其在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，已知点与圆心等高，点是圆轨迹的最高点，重力加速度为。不计一切阻力，下列说法正确的是　　 A．小球做的是匀变速曲线运动 B．若要使得小球做完整的圆周运动，小球运动到点的速度至少是 C．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在点脱离圆轨迹 D．若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在点和点之间的某一点脱离圆轨迹 【解答】解：小球做圆周运动时，加速度方向时刻变化，则合外力时刻变化，所以小球不可能做匀变速曲线运动，故错误； 若要使得小球做完整的圆周运动，设小球运动到点的速度至少为，此时重力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，故错误； 若小球无法做完整的圆周运动，则小球可能在点和点之间某一点时重力沿半径方向的分力大于小球做圆周运动所需要的向心力，此时小球将脱离轨道，小球速度大小在减小，到不了点，所以小球可能在点和点之间的某一点脱离圆轨迹，故错误，正确。故选：。 【例9】（2025春•和平区期末）如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为的细线，细线的一端固定在点，另一端拴一质量为的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为，下列判定正确的是　　 A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为 D．小球从运动到过程中，线拉力一直在减小 【解答】、根据机械能守恒，小球在斜面上做圆周运动速率变化，不是做匀速圆周运动，故错误； 、小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，在最高点时，根据牛顿第二定律得 所以故错误； 、设小球在最高点时的加速度为，根据牛顿第二定律解得故错误； 、小球从最低位置转过角度，根据圆周运动和牛顿第二定律有 小球从运动到过程中，减小，减小，线拉力一直在减小，故正确。故选：。 【例10】（2025春•涪城区校级期末）如图甲所示，质量为的小球（视为质点）用轻质细线悬挂于点在竖直面内做圆周运动，小球以不同的角速度通过最高点时，细线的拉力与其角速度的平方的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是　　 A．时，小球在最高点的角速度大小为 B．当地的重力加速度大小为 C．细线的长度为 D．当时，的大小为，方向竖直向上 【解答】解：、由乙图可知，当细线的拉力刚好为0时，，解得小球的角速度，此角速度为小球能通过最高点的最小角速度，角速度不可能等于，故错误；、在最高点，由牛顿第二定律与向心力公式可得：，即：，则乙图的纵截距：，解得，故错误；、乙图的斜率：，解得细线的长度为：，故正确。故选：。 竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型 1．如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F＝m 临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2．小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F。重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝m，即F＝m－mg，v越大，F越大。 ~~~~练~习~的~分~割~线~~~~ 【例11】（2025春•邗江区期末）一长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最高点时，下列说法正确的是　　 A．小球的速度大小可能为0 B．杆对小球的作用力方向一定向上 C．小球速度方向可能不沿切线方向 D．小球通过点的速度至少为 【解答】解：．小球到达最高点时，杆对球有支撑力，可知球的速度大小可能为0，故正确，错误； ．当刚好杆对球作用力为零时，根据牛顿第二定律可得解得 可知若球的速度，则杆对小球的作用力方向向上；若球的速度，则杆对小球的作用力方向向下，故错误； ．小球速度方向一定沿切线方向，故错误；故选：。 【例12】（2025•景德镇模拟）如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定质量均为的球和，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为。则球在最高点时　　 A．球的速度为零 B．球的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为 D．水平转轴对杆的作用力为 【解答】解：、球运动到最高点时，球对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律则有解得故错误； 、由于、两球的角速度相等，由得球的速度大小为故正确； 、杆对球的作用力则 球到最高点时，对杆无弹力，所以水平转轴对杆的作用力为，错误。故选：。 【例13】（2025春•吉林期末）如图所示，轻质杆的长度，端固定一个质量的小球（可视为质点），小球以为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是，取，则此时小球　　 A．受到的支持力 B．受到的拉力 C．受到的支持力 D．受到的拉力 【解答】解：假设杆的弹力方向向下为，小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，根据合力提供向心力即解得即此时小球受到的拉力，故错误，正确。 故选：。 【例14】（2025春•市南区校级期末）图甲为一种小型打夯机，利用冲击和冲击振动作用分层夯实回填土，图乙为这种打夯机的结构示意图。质量为的摆锤通过轻杆与总质量为的底座（含电动机）上的转轴相连，轻杆质量忽略不计。电动机带动摆锤绕转轴在竖直面内以角速度匀速转动，转动半径为，重力加速度为。下列说法正确的是　　 A．摆锤转到最低点时，底座对地面的压力可能为零 B．若摆锤转到最高点时，底座对地面的压力刚好为零，则角速度 C．若摆锤转到最高点时，轻杆对摆锤的弹力为0，则角速度 D．摆锤转到轻杆水平时，轻杆对摆锤的作用力大小为 【解答】解：、对摆锤在最低点时受力分析，根据合力提供向心力，可得：，根据相互作用力特点，可知摆锤对杆的力竖直向下； 对底座的受力分析，即可知底座对地面的压力大小为：，不可能为零，故错误； 、对底座的受力分析，若底座对地面的压力为零，可知杆对底座的力竖直向上，大小为； 对摆锤在最高点时受力分析，可知杆对摆锤向下的力大小为，根据合力提供向心力，可知：，解得角速度：，故正确； 、对摆锤在最高点时受力分析，根据合力提供向心力，可知若轻杆对摆锤的弹力为零，摆锤的受力满足：，解得角速度的大小：，故错误； 、根据摆锤做匀速圆周运动，可知轻杆水平时，轻杆对摆锤的竖直方向力的大小满足：，杆对摆锤的水平分力满足：，即杆对摆锤的作用力大小为：，不是，故错误。 故选：。 【例15】（2025•天心区校级一模）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度随时间的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是　　 A．时刻小球通过最高点，图乙中和的面积不相等 B．时刻小球通过最高点，图乙中和的面积相等 C．时刻的杆中弹力一定大于时刻的杆中弹力 D．在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力一定两次为零 【解答】解：、题图乙中时刻小球通过最高点，面积表示小球从最低点运动到水平四分之一圆周位置的过程中通过的水平方向上的位移，大小等于杆的长度，表示小球从水平四分之一圆周位置运动到最高点的过程中通过的水平方向上的位移，大小仍等于杆的长度，故错误； 、时刻小球通过最高点，若在最高点，重力提供向心力，此时杆中弹力为0，故错误； 、若存在某点高于圆心，低于最高点，恰好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，并存在关于过圆心竖直方向对称位置弹力也为零，在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力两次为零，故正确。 故选：。 声明：试 ，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1 第10页 学科网（北京）股份有限公司 $