精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查嘉陵江的水质情况 B. 调查某种炮弹的射程 C. 调查某市居民的平均身高 D. 对航空旅客及其随身物品进行安全检查 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花……按照这一规律，则第个图中太阳花的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则正整数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 B. 等腰三角形的高、中线及角平分线重合 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 由线段，，组成的三角形是直角三角形 9. 如图，正方形中，点E是边上一点，连接，线段的垂直平分线交对角线于点M，交于点N，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式Q中，n的最大值为24； ②当时，满足条件的整式Q有且只有2个； ③满足条件的所有整式Q共有17个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大逨8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为________． 12. 计算：________． 13. 已知，，则 ________． 14. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为________． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 17. 如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则________． 18. 对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之和是千位数字与十位数字之和的2倍，则称这个自然数M为“飞跃数”，并记M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，记．例如：对于四位自然数2547，因为，所以2547是“飞跃数”，且．按照这个规定，最小的“飞跃数”是________；若“飞跃数”（其中，，，都为整数）满足与均是整数，则的值为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题、20题每题10分，21题8分，22题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算下列整式； （2）将下列多项式进行因式分解． 20. （1）计算下列二次根式：； （2）计算下列分式：，（）． 21. 如图，四边形是矩形，点E是上一点，连接． （1）尺规作图：在左侧作，使得，射线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，①________，，， 在和中： ， ③________， ， 即④________， 又 四边形是平行四边形． 22. 先化简再求值：，其中x是不等式的非负整数解． 23. 为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________； （2）在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请补全条形统计图； （4）已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 24. 列方程解下列问题： 重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返．顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元．已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元． （1）求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ （2）春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元．降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的横、纵坐标满足． （1）求点C的坐标； （2）如图2，过点C作直线轴，在直线l上且位于点C的上方有一点D，使得的面积是的面积的，点M，N为y轴上的动点（点M在点N的下方），且，连接和，求的最小值； （3）如图3，若点A关于y轴的对称点为点E，作直线，点F的坐标为，点P在x轴上，点Q在直线上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 26. 在中，，，点是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点在内，连接，平分，，．求的长； （2）如图2，点在边的左侧，连接，，，点是线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，点从点移动到点的过程中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点是边上靠近点的四等分点，连接，，点为直线上一动点，连接，当线段取最小值时，将沿直线翻折得到，连接，请直接写出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A、该选项不是轴对称图形，不符合题意； B、 该选项不是轴对称图形，不符合题意； C、该选项不是轴对称图形，不符合题意； D、该选项是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查幂的相关运算，熟练掌握幂的相关运算法则是做题的关键．根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法则，逐一判断各选项的计算是否正确即可． 【详解】解：幂的运算法则： 积的乘方：，幂的乘方：，同底数幂相乘：，同底数幂的除法：（）， 故对各选项推导如下： A选项：，计算正确，故符合题意； B选项：，计算错误，故不符合题意； C选项：，计算错误，故不符合题意； D选项：，计算错误，故不符合题意． 故选：A． 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查嘉陵江的水质情况 B. 调查某种炮弹的射程 C. 调查某市居民的平均身高 D. 对航空旅客及其随身物品进行安全检查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 本题需依据全面调查（普查）与抽样调查的适用范围来判断选项，普查适用于范围较小、无破坏性且必须全面核查的情况，抽样调查适用于范围大、有破坏性或调查成本高的情况． 【详解】∵全面调查（普查）适用于调查对象范围小、无破坏性且需精准结果的场景， A选项调查嘉陵江水质，范围过广，适合抽样调查； B选项调查炮弹射程，具有破坏性，适合抽样调查； C选项调查某市居民平均身高，涉及人数多，适合抽样调查； D选项对航空旅客及其随身物品安检，关乎公共安全，必须全面核查，适合普查． ∴最适合采用全面调查的是D选项． 故选：D． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花……按照这一规律，则第个图中太阳花的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探索． 观察可得，第个图中有朵太阳花，即可求解． 【详解】解：第个图中有朵太阳花， 第个图中有朵太阳花， 第个图中有朵太阳花， 第个图中有朵太阳花， ∴第个图中有朵太阳花， ∴第个图中有朵太阳花， 故选：B． 6. 若，则正整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 7. 若，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 B. 等腰三角形的高、中线及角平分线重合 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 由线段，，组成的三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题需根据全等三角形判定定理、等腰三角形性质、平行四边形性质、勾股定理逆定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据以上性质逐一判断各命题的真假，进而选出真命题． 【详解】解：∵两边及其中一边的对角对应相等（）不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角对应相等（）才可判定全等， ∴A是假命题； ∵等腰三角形只有底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有的高、中线、角平分线都重合， ∴B是假命题； ∵平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质， ∴C是真命题； ∵，，，不满足勾股定理逆定理， ∴由，，组成的三角形不是直角三角形， D是假命题； 故选：C． 9. 如图，正方形中，点E是边上一点，连接，线段的垂直平分线交对角线于点M，交于点N，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，轴对称性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，四边形内角和性质，角的和差计算，熟练掌握是解题的关键． 根据正方形的轴对称性质，可得，根据线段垂直平分线性质得，得,可得，由，得，可得，得，即得，． 【详解】解：∵正方形中，，且， ∴， 由对称性知，， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知整式，其中n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式Q中，n的最大值为24； ②当时，满足条件的整式Q有且只有2个； ③满足条件的所有整式Q共有17个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，对于①，结合题意可得要使n最大，则的值都要为1，据此求解即可；对于②，可推出8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1，1，1，1，2，2，2，3，据此求解即可；对于③，把25分解成几个正整数的平方和，能分解成多少组正整数，则整式Q就有多少个，据此求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴， ∵要使n最大， ∴的值都要为1， ∵， ∴， ∴，即n的最大值为24，故①正确； ∵，，，，，， ，，，，， ∴8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1，1，1，1，2，2，2，3， ∵， ∴当时，， ∴当时，满足条件的整式Q有且只有1个，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴满足题意的整式Q一共有18个，故③错误； 故选：B． 二、填空题：（本大逨8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键； 将小数0.002用科学记数法表示，使系数在1到10之间，并确定10的指数即可． 【详解】解：∵0.002的小数点向右移动3位得到2， ∴指数为，即， 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则； 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂等于1， ∴ ， ∵负整数指数幂等于这个数的倒数的正整数指数幂， ∴ ， ∴， 故答案为：4． 13. 已知，，则 ________． 【答案】12 【解析】 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，熟练掌握是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，在中得，由三角形中位线性质得． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点O，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，证明是关键．证明，则，得到，进一步证明，则，设，则，过点作于点，则 ，求出，，在中，根据勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， 设，则， 则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，过点作于点，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， 故答案为： 18. 对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之和是千位数字与十位数字之和的2倍，则称这个自然数M为“飞跃数”，并记M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，记．例如：对于四位自然数2547，因为，所以2547是“飞跃数”，且．按照这个规定，最小的“飞跃数”是________；若“飞跃数”（其中，，，都为整数）满足与均是整数，则的值为________． 【答案】 ①. 1113 ②. 4725 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，理解题意、进行准确运算是解题的关键． 对于第一个空，求最小“飞跃数”，设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，均不为0，且满足，取，则，为使数最小取，得；对于第二个空，的千位为x，百位为7，十位为，个位为z，由飞跃数条件得，由为整数，得，结合得，即，再由为整数，代入得为整数，即除以的余数为，得，故． 【详解】设四位自然数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， 其中均为1至9的整数， 根据“飞跃数”定义，有， 求最小“飞跃数”，取，则， 为使数最小，取，故最小“飞跃数”为1113； 对于，其中， 的千位为，百位为7，十位为，个位为， 由“飞跃数”条件，，即， ，解得， 又，其中， 故， 代入，得， 由为整数，设， 则，故，即， 因为，故，且为完全平方数， 得，即，此时， 又为整数， ，， 故， 由，代入得， 要求为整数，即能被整除， 又，， 能被整除，即除以的余数为， ，， 且为整数， ，则， ，经验证，满足所有条件． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题、20题每题10分，21题8分，22题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算下列整式； （2）将下列多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，综合提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握整式的运算法则，以及因式分解的方法是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. （1）计算下列二次根式：； （2）计算下列分式：，（）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则，以及分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则及顺序，进行计算即可； （2）根据分式的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21. 如图，四边形是矩形，点E是上一点，连接． （1）尺规作图：在左侧作，使得，射线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，①________，，， 在和中： ， ③________， ， 即④________， 又 四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④． 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角，矩形性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定： （1）根据作角的方法，作图即可； （2）根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法作答即可． 【小问1详解】 解：如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、H， 以点D为圆心，同样长为半径画弧，交于点I， 以I为圆心，长为半径画弧，交前弧于点J， 作射线，交于点F， 线段即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 又 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 22. 先化简再求值：，其中x是不等式的非负整数解． 【答案】 ， 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，单项式除以单项式，解题关键在于掌握运算法则，将原式利用分式混合运算法则及单项式除以单项式运算法则，计算得到最简结果，再由关于x的不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出非负整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解：， ； ∵， ∴； ∵x是不等式的非负整数解， ∴或或， ∵且且， ∴且且， ∴， 则原式． 23. 为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________； （2）在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请补全条形统计图； （4）已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，30 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，根据部分求总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据部分的实际数据和占比求总数即可，根据部分实际数据和总数求占比即可； （2）用周角度数乘其占比即可求出圆心角度数； （3）求出“B”所对应的人数，再补全条形统计图即可； （4）根据样本频数求出总体频数即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 故答案为：50，30； 【小问2详解】 解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：“B”所对应的人数为（人） 【小问4详解】 解：（人） 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人． 24. 列方程解下列问题： 重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返．顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元．已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元． （1）求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ （2）春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元．降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值． 【答案】（1）一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元 （2）m的值为5 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）先设一个火锅底料礼盒的销售单价为元，一个麻花礼盒的销售单价为元，再根据题意列出方程组，求解即可； （2）先根据题意得出降价后，一个火锅底料礼盒的销售单价为元，一个麻花礼盒的销售单价为元，再利用购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设一个火锅底料礼盒的销售单价为元，一个麻花礼盒的销售单价为元， 由题意得，， 解得，． 答：一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元． 【小问2详解】 解：由（1）可知，降价前，一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元， 则降价后，一个火锅底料礼盒的销售单价为元，一个麻花礼盒的销售单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 答：m的值为5． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的横、纵坐标满足． （1）求点C的坐标； （2）如图2，过点C作直线轴，在直线l上且位于点C的上方有一点D，使得的面积是的面积的，点M，N为y轴上的动点（点M在点N的下方），且，连接和，求的最小值； （3）如图3，若点A关于y轴的对称点为点E，作直线，点F的坐标为，点P在x轴上，点Q在直线上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）点C的坐标为； （2）的最小值为； （3）点P的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，可得，即可得点C的坐标； （2）由，可得，可得点的坐标，将向下平移个单位长度，至，作关于轴的对称点，连接，则，连接，当点、、共线时，取得最小值，连接，由勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由待定系数法可得直线的解析式，当为等腰直角三角形时，按照直角顶点进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得不同情况对应的点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， 又∵轴，， ∴， 又∵点的坐标为，点在点的上方， ∴点的坐标为， 将向下平移个单位长度，至，则， 作关于轴的对称点，连接，则， 连接，则， 当点、、共线时，取得最小值， 连接，在中，，， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵点A的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点F的坐标为， ∴， 当为等腰直角三角形时： ，， 作轴于点，作于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，， 作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，，点在第三象限， 作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，，点在第四象限， 作轴于点，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，平移变换，对称变换，最短路径，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质． 26. 在中，，，点是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点在内，连接，平分，，．求的长； （2）如图2，点在边的左侧，连接，，，点是线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，点从点移动到点的过程中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点是边上靠近点的四等分点，连接，，点为直线上一动点，连接，当线段取最小值时，将沿直线翻折得到，连接，请直接写出线段的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点，连接,，的延长线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，求得，，在和中，分别求得，，即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，连接,，的延长线交于点，可证得，从而，，根据直角三角形的性质得出，从而得到，平分，进而推出，，即可证得结论； （3）根据点绕点顺时针旋转至，点绕点顺时针旋转至，从而得出点在直线上运动，从而可知当时，最小，，根据勾股定理得出，再根据轴对称的性质得出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，进一步即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵点是边上靠近点的四等分点， ∴， 点绕点顺时针旋转至，点绕点顺时针旋转至， ∴点在直线上运动， 当时，最小，， ∴在中，，， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 作于点，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称和旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $