精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查嘉陵江的水质情况 B. 调查某种炮弹的射程 C. 调查某市居民的平均身高 D. 对航空旅客及其随身物品进行安全检查 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花，第个图中有朵太阳花……按照这一规律，则第个图中太阳花的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则正整数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 B. 等腰三角形的高、中线及角平分线重合 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 由线段，，组成的三角形是直角三角形 9. 如图，正方形中，点E是边上一点，连接，线段的垂直平分线交对角线于点M，交于点N，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式Q中，n的最大值为24； ②当时，满足条件的整式Q有且只有2个； ③满足条件的所有整式Q共有17个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大逨8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为________． 12. 计算：________． 13. 已知，，则 ________． 14. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为________． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 17. 如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则________． 18. 对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之和是千位数字与十位数字之和的2倍，则称这个自然数M为“飞跃数”，并记M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，记．例如：对于四位自然数2547，因为，所以2547是“飞跃数”，且．按照这个规定，最小的“飞跃数”是________；若“飞跃数”（其中，，，都为整数）满足与均是整数，则的值为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题、20题每题10分，21题8分，22题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算下列整式； （2）将下列多项式进行因式分解． 20. （1）计算下列二次根式：； （2）计算下列分式：，（）． 21. 如图，四边形是矩形，点E是上一点，连接． （1）尺规作图：在左侧作，使得，射线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，①________，，， 在和中： ， ③________， ， 即④________， 又 四边形是平行四边形． 22. 先化简再求值：，其中x是不等式的非负整数解． 23. 为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________； （2）在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请补全条形统计图； （4）已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 24. 列方程解下列问题： 重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返．顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元．已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元． （1）求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ （2）春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元．降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的横、纵坐标满足． （1）求点C的坐标； （2）如图2，过点C作直线轴，在直线l上且位于点C的上方有一点D，使得的面积是的面积的，点M，N为y轴上的动点（点M在点N的下方），且，连接和，求的最小值； （3）如图3，若点A关于y轴的对称点为点E，作直线，点F的坐标为，点P在x轴上，点Q在直线上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 26. 在中，，，点是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点在内，连接，平分，，．求的长； （2）如图2，点在边的左侧，连接，，，点是线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，点从点移动到点的过程中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点是边上靠近点的四等分点，连接，，点为直线上一动点，连接，当线段取最小值时，将沿直线翻折得到，连接，请直接写出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网可组卷网 数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号 为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对 应的方框涂黑。 1.下列图案中，是轴对称图形的是（ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义， 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完 全重合的图形称为轴对称图形 【详解】解：A、该选项不是轴对称图形，不符合题意； B、该选项不是轴对称图形，不符合题意； C、该选项不是轴对称图形，不符合题意； D、该选项是轴对称图形，符合题意； 故选：D 2.下列各式中，一定是二次根式的是（) A.V-3 B.√万 C.a+3 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义， 需依据“形如√a(a≥0)，根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项. 【详解】解：A选项：√-3的被开方数-3<0，式子无意义，不是二次根式： B选项：√7的根指数为2，被开方数7>0，符合二次根式定义，是二次根式： C选项：√a+3中，当a<-3时，a+3<0,式子无意义，不一定是二次根式： 第1页/共32页 西学科网丽组卷网 D选项：5的根指数为3，是三次根式，不是二次根式： 故选：B 3.下列计算正确的是() A.(a'b)=ab B.(-3a2=-9a2 C.a3.a2=a D.a'÷a3=a3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查幂的相关运算，熟练掌握幂的相关运算法则是做题的关键.根据积的乘方、幂的乘 方、同底数幂的乘除法则，逐一判断各选项的计算是否正确即可 【详解】解：幂的运算法则： 积的乘方：(y)”=xy,幂的乘方：(x=x",同底数幂相乘：xx”=x*”,同底数幂的除法： xm÷x”=xm-n(x≠0)， 故对各选项推导如下： A选项：(a2b)=(a2)b3=a2*3b3=ab3,计算正确，故符合题意； B选项：（-3a=-3·a2=9a2≠-9a2,计算错误，故不符合题意； C选项：a3.a2=a3+2=a5≠a6,计算错误，故不符合题意； D选项：a’÷a3=a9-3=a6≠a3,计算错误，故不符合题意. 故选：A. 4.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.调查嘉陵江的水质情况 B.调查某种炮弹的射程 C.调查某市居民的平均身高 D.对航空旅客及其随身物品进行安全检查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵 活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查， 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查. 本题需依据全面调查（普查）与抽样调查的适用范围来判断选项，普查适用于范围较小、无破坏性且必须 第2页/共32页 可学科网可组卷网 全面核查的情况，抽样调查适用于范围大、有破坏性或调查成本高的情况。 【详解】：全面调查（普查）适用于调查对象范围小、无破坏性且需精准结果的场景， A选项调查嘉陵江水质，范围过广，适合抽样调查： B选项调查炮弹射程，具有破坏性，适合抽样调查； C选项调查某市居民平均身高，涉及人数多，适合抽样调查； D选项对航空旅客及其随身物品安检，关乎公共安全，必须全面核查，适合普查. 最适合采用全面调查的是D选项. 故选：D. 5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有S朵太阳花，第③个图中有 13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑦个图中太阳花的个数是() 章汝女章章 汝章章 章章章章 女 章 女 汝章女 章 章 章 章 章 章 章 女 汝章女 章女章女 章章章章章 ① ② ③ ④ A.33 B.29 C.25 D.21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探索。 观察可得，第n个图中有(4n+1)朵太阳花，即可求解. 【详解】解：第①个图中有1×4+1=5朵太阳花， 第②个图中有2×4+1=9朵太阳花， 第③个图中有3×4+1=13朵太阳花， 第④个图中有4×4+1=17朵太阳花， .第n个图中有4n+1朵太阳花， :.第⑦个图中有7×4+1=29朵太阳花， 故选：B. 第3页/共32页 学科网 命组卷网 6.若n<√33-1<n+1,则正整数n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定√33的取值范围，再得到√33-1的取值范围，进而求出正整数 n的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 【详解】解：25<33<36， ∴.25<V33<V36, 即5<33<6， .4<33-1<5, 又：n<√33-1<n+1,且n为正整数， .n=4, 故选：C 7若+1-3，则 3x+xy+3y 的值为() *x y x-2xy+y 1 A.10 B.7 C. 2 D. 5-2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到x+y与xy的关系，再将所求分式 的分子、分母转化为含x+y和xy的形式，最后代入计算即可求解. 11 【详解】解：二+二=3， x y :+y=3, y .x+y=3xy 将x+y=3xy代 3x+y+3y中， x-2xy+y 第4项/共32页 学科网丽组卷网 分子3x+xy+3y=3x+y)+xy=3×3xy+xy=9xy+xy=10xy, 分母x-2xy+y=（x+y)-2xy=3xy-2xy=xy, .原式= 10y=10 y 故选：A. 8.下列命题中，是真命题的是() A.若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 B.等腰三角形的高、中线及角平分线重合 C.平行四边形的对角线互相平分 D.由线段a=8,b=13,c=17组成的三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题需根据全等三角形判定定理、等腰三角形性质、平行四边形性质、勾股定理逆定理，解题的 关键是掌握以上性质， 根据以上性质逐一判断各命题的真假，进而选出真命题 【详解】解：：两边及其中一边的对角对应相等（SSA)不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角对 应相等(SAS)才可判定全等， A是假命题； :等腰三角形只有底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有的高、中线、角平分线 都重合， B是假命题； :平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质， C是真命题： :82+132=64+169=233,172=289,233≠289，不满足勾股定理逆定理， .由a=8,b=13,c=17组成的三角形不是直角三角形， D是假命题； 故选：C 9.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE,线段AE的垂直平分线MN交对角线BD于 点M,交AE于点N,连接CM,EM,若∠BCM=O,则LDAE=() 第5页/共32页 可学科网可组卷网 A.45°-0 B.20 C.60°-2a D.15°+0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，轴对称性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，四边形内 角和性质，角的和差计算，熟练掌握是解题的关键。 根据正方形的轴对称性质，可得AM=CM,∠DAM=∠DCM=90°-o,根据线段垂直平分线性质得 AM=EM,得CM=EM,可得∠CEM=∠DAM,由∠CEM+∠DEM=180°，得 ∠ADE+∠AME=180°，可得∠AME=90°，得∠EAM=(180°-∠AME)=45°，即得， ∠DAE=∠DAM-∠EAM=45°-. 【详解】解：，正方形ABCD中，LBCD=90°，且∠BCM=o, ∴.∠DCM=∠BCD-∠BCM=90°-， 由对称性知，AM=CM,∠DAM=∠DCM=90°-o, ,MN垂直平分线段AE, .AM =EM, ∴.CM=EM, ∴.∠CEM=∠ECM, ∴.∠CEM=∠DAM, ,∠CEM+∠DEM=180°， ∴.∠DAM+∠DEM=180°， ∴.∠ADE+∠AME=180°， ,∠ADE=90°， ∴.∠AME=90°， ∠EAM-l80-∠AME)=45, .∠DAE=∠DAM-∠EAM=45°-a. 第6页/共32页 可学科网 丽组卷网 故选：A 10.己知整式Q:a+ax+a2x2+…+anx”,其中n,ao,a1,a2,…,an为正整数，a≤a1≤a2≤…≤an且 a+a+a+a3+…+a=25.下列说法： ①满足条件的所有整式Q中，n的最大值为24： ②当n=7时，满足条件的整式Q有且只有2个； ③满足条件的所有整式Q共有17个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，对于①，结合题意可得要使n最大，则ao,a1,a2,…,a,的值 都要为1，据此求解即可；对于②，可推出8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1,1,1,1 ,2,2,2,3,据此求解即可；对于③，把25分解成几个正整数的平方和，能分解成多少组正整数，则整 式Q就有多少个，据此求解即可. 【详解】解：：ao,a1,a2,…,0m为正整数， .1≤a≤a1≤a2≤…≤an .要使n最大， .00,a1,02,…,0n的值都要为1， ,a+a2+a+a+…+a=25, :1+12+12+…+12=25 n+1个12 ∴.n=24,即n的最大值为24，故①正确； 8×12=8,7×12+22=11,6×12+22+32=19,6×12+22+42=26,6×12+22+42=26, 5×12+2×22+32=22,5×12+22+2×32=27, 4×12+4×22=20,4×12+3×22+32=25,3×12+5×22=23,3×12+4×22+32=28, 2×12+6×22=26, .8个正整数的平方和为25时，这8个正整数只能是1,1,1,1,2,2,2,3， 第7页/共32页 可学科网 可组卷网 ,an-1≤am' .当n=7时，a=a1=a2=a3=1,a4=a=a6=2,a2=3, .当n=7时，满足条件的整式Q有且只有1个，故②错误： 25=25×12, 25=21×12+22, 25=17×12+2×22=16×12+32, 25=13×12+3×22=12×12+22+32, 25=9×12+4×22=9×12+42, 25=8×12+2×22+32, 25=7×12+2×32, 25=5×12+5×22=5×12+22+42, 25=4×12+3×22+32, 25=3×12+22+2×32, 25=12+6×22=12+2×22+42, 25=4×22+32, 25=32+42, .满足题意的整式Q一共有18个，故③错误； 故选：B 二、填空题：（本大逑8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 11.安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 【答案】2×103 【解析】 第8页/共32页 学科网丽组卷网 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10"的形式，其中1≤a<10, n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键： 将小数0.002用科学记数法表示，使系数在1到10之间，并确定10的指数即可. 【详解】解：0.002的小数点向右移动3位得到2， ∴.指数为-3，即0.002=2×10-3， 故答案为：2×103. 12.计算：（π+2） 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则； 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】解：，任何非零数的零次幂等于1， .(元+2)°=1， ,负整数指数幂等于这个数的倒数的正整数指数幂， =3 3 (π+2+3 =1+3=4, 故答案为：4. 13.己知am=2,a”=3,则a2m+m=」 【答案】12 【解析】 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可. 【详解】解：am=2,a”=3, ∴a2m*"=a2ma=(a）2a”=22x3=12. 14.若一个多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个多边形的边数是 第9页/共32页 耐学科网 组卷网 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立一个关于边数的方程，解方程即可. 【详解】设多边形边数为n, 根据题意有(n-2)×180°-360°=180°， 解得n=5, 故答案为：5. 【点晴】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为360°是解题的关键. 15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作DN⊥AC于点N,连接BN,点M 为BN的中点，连接0M,若AC=10,ON=3,则OM的长度为 B 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，熟练掌握是解题的关键 根据矩形的性质得到BD=AC=10,得到OD=BD=5,在RtODN中得DN=NOD2-ON=4, 由三角形中位线性质得OM=1DN=2. 2 【详解】解：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且AC=10, ∴.BD=AC=10, :.OB=OD=BD=5, ,ON=3,DN⊥AC, .DN=VOD2-0N2=4, ,点M为BN的中点， ∴.BM=MN, :.OM=IDN=2. 故答案为：2. 第10页/共32页 学科网组卷网 x-1、1.1 ->一X+一 23 6 16.若关于x的一元一次不等式组 的解集为x>4,且关于y的分式方程 a >x+1 a y-2 =2+ 3 有正整数解，则所有满足条件的整数α的值之和是 2-y 【答案】-2 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分 式方程是做题的关键.首先根据不等式组的已知解集求出a的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求 出☑的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案， 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式、1x+1 >3x+6,可得x>4, 2 6 解第三个不等式2)>x+1,可将>1：。： 又·不等式组的解集为x>4, ∴.1+a≤4，即a≤3； 解分式方程： 3 a=2+ y-2 可化为a=2-3 2- y-22y-2 两边乘y-2(y≠2)得，a=2y-2)-3,即y=a+7 2 因为要求y为正整数且y≠2， 所712 2≠2，即a2-5且a≠-3， 同时a+7为偶数，故a为奇数， 结合a≤3，可得满足条件的整数a为-5、-1、1、3， 故和为-5+(-1)+1+3=-2. 故答案为：-2. 17.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，连接AC,点E是CD边上一点，连接AE,在CD边 上方取一点F,连接EF,AF,CF,延长EF交BC的延长线于点G,若EF=DE=2, 第11页/共32页 学科网丽组卷网 ∠DAF=2∠FCD,则CG= G D 【答案)3 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知 识，综合性较强，证明△ADE≌△AFE(SSS)是关键.证明△ADE≌△AFE(SSS),则 1 ∠DME=∠EAF=2DMF=a,得到∠AEF=∠AED=120°-a,进步证明∠FCG=∠CFG,则 CG=FG,设CG=FG=x,则EG=2+x,过点G作GH⊥CE于点H,则 GHC=∠GHE=90°，求出GH=Y3x,EH=4-,x,在Rt△EGH中，根据勾股定理列方程即可 2 求出答案. 【详解】解：四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD=6,∠D=∠B=60°， ∴.△ABC,△ACD都是等边三角形， .∠ACD=∠CAD=∠ACB=60°，AC=AD, 设∠FCD=,则∠DAF=2∠FCD=2a, 则∠ACF=∠ACD+∠FCD=60°+a,∠CAF=∠CAD-∠DAF=60°-2a, ∴.∠AFC=180°-∠ACF-∠CAF=180°-60°+a-60°-2a）=60°+a, ∴.∠AFC=∠ACF, .AF=AC, .AD AF, DE=FE,AE=AE, 第12页/共32页 命学科网可组卷网 .△ADE≌△AFE(SSS), ∠DAE=∠EAF=7∠DAF=a，∠AEF=∠AED=180°-∠DAE-∠D=120°-a, .∠CEG=∠AEF-∠AEC=∠AEF-∠D+∠DAE)=120°-a-60°+=60°-2a, ∴.∠CFG=∠CEG+∠FCD=60°-2+u=60°-， :'∠FCG=180°-∠ACD-∠ACB-∠FCD=180°-60°-60°-a=60°-a, ∴.∠FCG=∠CFG, ∴.CG=FG, 设CG=FG=x,则EG=EF+FG=2+x,过点G作GH⊥CE于点H,则∠GHC=∠GHE=90°， G B 在Rt△CGH中，∠GCH=180°-∠ACB-∠ACD=60°， ∴.∠CGH=30°， wcw-cG 2 2 2 :.EH CD-DE-CH =6-2-7x=4- , 在Rt△EGH中，EG2=GH2+EH2, 3 解得x= c心-号 故答案为： 2 18.对于一个四位自然数M,若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之和是千位数字与十 位数字之和的2倍，则称这个自然数M为“飞跃数”，并记M的前两位数字所组成的两位数为m,后两位 第13页/共32页 学科网组卷网 数字所组成的两位数为n,记F(M）=m+n.例如：对于四位自然数2547，因为5+7=2×2+4)，所 以2547是“飞跃数”，且F(2547)=25+47=72.按照这个规定，最小的“飞跃数”是 ;若“飞 跃数”N=1000x+710+10y+z(其中1≤x≤9,0≤y≤8,1≤z≤9，x八z都为整数)满足 FN与7m+4r均是整数，则N的值为 2 13 【答案】 ①.1113②.4725 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，理解题意、进行准确运算是解题的关键， 对于第一个空，求最小“飞跃数”，设千位数字为α，百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,均不 为0，且满足b+d=2(a+c,取a=1,c=1,则b+d=4,为使数最小取b=1,d=3,得1113；对于 第二个空，N的千位为x,百位为7，十位为1+y,个位为z,由飞跃数条件得z=2x+2y-5,由 FN为整数，得F(W)=12(x+y+1=22,结合x+y≤7得x+y+1=6,即x+y=5,z=5, 再由7m+4n为整数，代入得30x+309为整数，即4r除以13的余数为3，得x=4,y=,2=5,故 13 13 N=4725. 【详解】设四位自然数M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d, 其中a,b,c,d均为1至9的整数， 根据“飞跃数”定义，有b+d=2(a+c, 求最小“飞跃数”，取a=1,c=1,则b+d=4, 为使数最小，取b=1,d=3,故最小“飞跃数”为1113： 对于N=1000x+710+10y+z,其中1≤x≤9,0≤y≤8,1≤z≤9， N的千位为x,百位为7，十位为1+y,个位为z, 由“飞跃数”条件，7+z=2(x+1+y),即z=2x+2y-5, .z=2x+2y-5≤9，解得x+y≤7， 又FW)=m+n,其中m=10x+7,n=101+y)+z, 第14页/共32页 学科网丽组卷网 故FN=10x+7+10+10y+z=10x+10y+z+17, 代入z=2x+2y-5,得FN=12(x+y+1), L为整数， 设 FN) 2 =k, 则F(N)=2k2,故12(x+y+1=2k2,即6(x+y+1)=k2, 因为x+y≤7，故x+y+1≤8，且k2为完全平方数， 得x+y+1=6,即x+y=5,z=5,此时FN)=72, 又7m+4n为整数， 13 m=10x+7,n=101+y)+z=10y+15, 故7m+4n=710x+7)+410y+15)=70x+49+40y+60=70x+40y+109, 由x+y=5,代入得70x+40(5-x+109=30x+309, 要求30x+309为整数，即30x+309能被13整除， 13 又309=23×13+10,30x=2x+4 13 13 ∴.30x+309能被13整除，即4x除以13的余数为3， x+y=5,1≤x≤9,0≤y≤8， '.1≤x≤5且x为整数， x=4,则y=1,z=5, ∴.N=1000×4+710+10×1+5=4725,经验证，N=4725满足所有条件. 故答案为：1113,4725. 三、解答题：（本大题共8个小题，19题、20题每题10分，21题8分，22题一26题，每题 10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将 解答过程书写在答题卡中对应的位置上」 19.(1)计算下列整式(x+2y)(x-2y)-x(x-y): (2)将下列多项式进行因式分解3m2-6mn+3n2. 第15页/共32页 学科网组卷网 【答案】(1)xy-4y2 (2)3(m-n)2 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，综合提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握整式的运算法 则，以及因式分解的方法是解题的关键。 (1)根据整式的运算法则进行计算即可： (2)先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可. 【详解】解：(1)x+2y)x-2y)-xx-y) =x2-(2y)2-(x2-y) =x2-4y2-x2+xy =y-4y2; (2)3m2-6mn+3n2 =3(m2-2mn+n2) =3(m-n)2. 2双0)计算下列=次无65+362写反。 (2)计算下列分式：0-1_1-b ,(a≠b). a-b b-a 【答案】1)72,2)1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则，以 及分式的加减运算法则是解题的关键。 (1)根据二次根式的混合运算法则及顺序，进行计算即可； (2)根据分式的加减运算法则，进行计算即可. 【1解06×5+36+2，得历 第16页/共32页 学科网丽组卷网 =3W2+3V6÷2 2-42 =32+3v6x -42 =3W2+92-4W2 , (2)0-11-b a-b b-a =0-11-b a-ba-b a-1+1-b a-b a-b a-b =1. 21.如图，四边形ABCD是矩形，点E是AD上一点，连接BE, E D (I)尺规作图：在CD左侧作∠CDF,使得LCDF=LABE,射线DF交BC于点F(不写作法，保留作 图痕迹)； (2)在(1)的条件下，证明四边形BEDF是平行四边形. 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,① ,AD∥BC,∠A=∠C=90°， ∠A=∠C 在AABE和CDF中： AB=CD ② ∴.△ABE≌△CDF(ASA), ∴.③ ∴.AD-AE=BC-CF, 即④ 第17页/共32页 耐学科网 可组卷网 又：DE BF ∴.四边形BEDF是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)①AD=BC:②∠CDF=∠ABE;③AE=CF;④DE=BF. 【解析】 【分析】本题考查基本作图一作角，矩形性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定： (1)根据作角的方法，作图即可： (2)根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法作答即可· 【小问1详解】 解：如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BE于点G、H, 以点D为圆心，同样长为半径画弧，交CD于点I, 以I为圆心，GH长为半径画弧，交前弧于点J, 作射线DJ,交BC于点F, 线段DF即为所求. 4 E D H 【小问2详解】 B 证明：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C=90°， 在△ABE和CDF中， ∠A=∠C AB=CD ∠CDF=∠ABE ∴△ABE≌△CDF(ASA), ..AE=CF, .AD-AE=BC-CF, 即DE=BF, 又：DE‖BF .四边形BEDF是平行四边形. 故答案为：①AD=BC;②∠CDF=∠ABE;③AE=CF;④DE=BF. 第18页/共32页 可学科网可组卷网 7x+2 22.先化简再求值： x-2 +x-1÷ 2r+4x-3xy÷6y,其中x是不等式5-2x≥1的非负整数解。 x2-4x+4 【答案】 2.2 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，单项式除以单项式，解题关键在于掌握运 算法则，将原式利用分式混合运算法则及单项式除以单项式运算法则，计算得到最简结果，再由关于x的 不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出非负整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算， 即可得到原式的值， 【详解】解： 7x+ 2+x-1 x- 2x2+4x-3x2y÷6y, x2-4x+4 =7x+2+x-x-27 2xx+2)1 x-2 x-2 (x-22 =+4x+4.2xx+2)1 x-2 (x-2221 =x+22x(x-221 -22xx+22 =x+2(x-21 2x =x2-41 2x2 =x2-4-x2 2x 、2 .5-2x≥1， x≤2； :x是不等式5-2x≥1的非负整数解， 第19页/共32页 学科网组卷网 .x=2或x=1或x=0, :x-2≠0且x+2≠0且x≠0， “x≠2且x≠-2且x≠0， x=1, 则原式 2 =-2. 1 23.为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、 B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》.为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老 师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年月 在下面四个游园项目 中，你最喜爱的是 ( )(单选). (A)漆扇摇香 (B ）花漾手作 (C) 宋韵点茶 (D)解 忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 所抽取学生最喜爱游园项目条形统计图 所抽取学生最喜爱游园项目扇形统计图 人数个 25 10% 20 D A 15 10 n% B 5 5 40% A B C D 游园项目 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，m= n= (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是 度 (3)请补全条形统计图： 第20页/共32页 可学科网列组卷网 (4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生 约有多少人？ 【答案】(1)50,30 (2)72 (3)见解析 (4)100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，根据部分求总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图， 根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握数形结合的思想， (1)根据部分的实际数据和占比求总数即可，根据部分实际数据和总数求占比即可； (2)用周角度数乘其占比即可求出圆心角度数； (3)求出“B”所对应的人数，再补全条形统计图即可： (4)根据样本频数求出总体频数即可. 【小问1详解】 解：m=5÷10%=50, :15 ×100%=30%, 50 n=30, 故答案为：50,30； 【小问2详解】 10 解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是360°× =72°， 50 故答案为：72； 【小问3详解】 解：“B”所对应的人数为50-10-15-5=20（人）， 补全条形统计图如下： 人数 25 20 20 15 15 【小问4详解】 10 10 5 0 D 游园项目 第21页/共32页 耐学科网 组卷网 解：500x10 100(人) 50 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人. 24.列方程解下列问题： 重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返.顾客甲在某特产 店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元.已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻 花礼盒的销售单价的2倍少15元 (1)求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ (2)春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价2m元，每个麻花礼 盒的销售单价降价m元.降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元， 且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值. 【答案】(1)一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元 (2)m的值为5 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组和方程是解题的关键， (1)先设一个火锅底料礼盒的销售单价为x元，一个麻花礼盒的销售单价为y元，再根据题意列出方程组， 求解即可； (2)先根据题意得出降价后，一个火锅底料礼盒的销售单价为(45-2m)元，一个麻花礼盒的销售单价为 (30-m)元，再利用购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，列出分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设一个火锅底料礼盒的销售单价为x元，一个麻花礼盒的销售单价为y元， 3x+2y=195 由题意得 x=2y-15 x=45 解得， y=30 答：一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元. 【小问2详解】 解：由(1)可知，降价前，一个火锅底料礼盒的销售单价为45元，一个麻花礼盒的销售单价为30元， 则降价后，一个火锅底料礼盒的销售单价为(45-2m)元，一个麻花礼盒的销售单价为(30-m)元， 第22页/共32页 可学科网可组卷网 140 200 由题意得， ×2= 45-2m 30-m 解得，m=5, 经检验，m=5是原方程的解. 答：m的值为5. 25.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-3,0)，点B的坐标为(0,5)，点Cm,)的横、纵坐标 满足n=√m-4+√4-m+1· 图1 图2 图3 (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线！∥y轴，在直线1上且位于点C的上方有一点D,使得△COD的面积是 △BOC的面积的亏'点M,N为y轴上的动点（点M在点V的下方），且MN=l,连接CM和DN,求 CM+MN+ND的最小值； (3)如图3，若点A关于y轴的对称点为点E,作直线CE,点F的坐标为0，-2)，点P在x轴上，点Q 在直线CE上，当△FPQ为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1)点C的坐标为(4,1)： (2)CM+MN+ND的最小值为217+1； （3)点P的生标为L0或[行0或-3,0或-10. 【解析】 【分析】(1)由二次根式有意义的条件，可得m=4,可得n=1,即可得点C的坐标： 3 (2)由S,coD=二S,Oc,可得CD=3,可得点D的坐标，将ND向下平移1个单位长度，至MD',作 5 D'关于y轴的对称点K,连接KM,则KM=D'M=DN,连接CK,当点C、M、K共线时， CM+MN+ND取得最小值，连接D'K,由勾股定理可得CK,即可得CM+MN+ND的最小值； (3)由待定系数法可得直线CE的解析式，当△FPQ为等腰直角三角形时，按照直角顶点进行分类讨论， 第23页/共32页 可学科网列组卷网 由三角形全等的判定和性质，可得不同情况对应的点P的坐标. 【小问1详解】 解：：n=√m-4+√4-m+1, .m-4≥0,4-m≥0， ∴.m=4, n=1, 点C的坐标为(4,1). 【小间2详解】 解：：点B的坐标为0,5)， .OB=5, 又：CDIy轴，S.con=5 .Boc' :CD=5x2=3, 又，点C的坐标为(4,1，点D在点C的上方， .点D的坐标为4,4， 将ND向下平移1个单位长度，至MD',则D'(4,3, 作D'关于y轴的对称点K,连接KM,则KM=D'M=DN, 连接CK,则CM+MW+ND=CM+MK+1≥CK+1, 当点C、M、K共线时，CM+MN+ND取得最小值， 连接D'K,在RtACD'K中，D'K=4×2=8,CD'=3-1=2, CK=V82+22=2V17, ·.CM+MN+ND的最小值为2W17+1. M 【小问3详解】 0 第24页/共32页 学科网丽组卷网 解：点A的坐标为-3,0)，点E与点A关于y轴对称， 点E的坐标为3,0， 4k+b=1 设直线CE的解析式为y=kx+b,则 3k+b=0 k=1 解得 b=-3’ 直线CE的解析式为y=x-3, :点F的坐标为0，-2)， .OF=2, 当△FPQ为等腰直角三角形时： ①∠PQF=90°，PQ=FQ, PR 作QR⊥x轴于点R,作FS⊥QR于点S,则∠S=∠PRQ=90°， .∠SFQ+∠FQS=90°， :∠PQF=90°， ∠RQP+∠FQS=90°， :∠SFQ=∠RQP, 在△FSQ和△QRP中， ∠S=∠PRQ ∠SFQ=∠RQP, FO=PO △FSQ≌△QRP(AAS), 第25页/共32页 学科网组卷网 .FS=OR,SO=RP, 设Qx,x-3),则x=-x,-3), 3 =2 -3=-3=-3 2 2 Rp=50=}-2 31 221, Xp= 点P的坐标为1,0)： ②∠FPQ=90°，PQ=PF, 作QT⊥x轴于点T,则∠PTQ=90°， :.∠TPQ+∠TQP=90°， :∠FPQ=90°， :∠TPQ+∠0PF=90°， ∠TQP=∠OPF, 在△FOP和△PTQ中， ∠FOP=∠PTQ ∠FPO=∠PQT, PF=OP △FOP≌△PTQ(AAS), .OF=TP,OP=TO, 设0(x2,x2-3),则-(x2-3)+2=x2, 第26页/共32页 可学科网 可组卷网 .Xp= -2= 2 .点P的坐标为 ③∠PFQ=90°，FP=FQ,点Q在第三象限， E 作QW⊥y轴于点W,则∠QWF=90°， :.∠WQF+∠WFQ=90°， :∠PFQ=90°， ∠OFP+∠WFQ=90°， .∠WQF=∠OFP, 在△QWF和△FOP中， ∠QWF=∠FOP ∠WQF=∠OFP, OF=FP △QWF≌△FOP(AAS), ..WO=OF,WF=OP, WQ=2, 设Q(x3,x3-3),则x3=-2, :FW=-(x-3)-2=-(-2-3)-2=3, OP=3, 第27页/共32页 耐学科网 命组卷网 xp=-3, 点P的坐标为-3,0)： ④∠PFQ=90°，FP=FQ,点Q在第四象限， P 作QG⊥y轴于点G,则∠FGQ=90°， .∠GFQ+∠FQG=90°， ∠PFO=∠FQG, 在△POF和△FGQ中， ∠POF=∠FGQ ∠PFO=∠FQG, FP=OF .△POF≌△FGO(AAS), :..OF=GO,OP=GF, GQ=2, 设Qx4,x4-3),则x4=2, 0G=-2-3=1, .OP=GF=2-1=1, xp=-1, 点P的坐标为-1,0). ∴点P的坐标为10安[20国-3.0成-10. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，平移变换，对称变换，最短路径，勾股定理，等腰直角三角形 第28页/共32页 西学科网丽组卷网 的性质，三角形全等的判定和性质。 26.在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是ABC所在平面内一点，连接AD. D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在ABC内，连接BD,AD平分∠BAC,∠CBD=15°，AD=√2.求AB的 长 (2)如图2，点D在AB边的左侧，连接BD,CD,∠ADB=45°，点E是线段CD的中点，连接AE, 求证：√2AD=BD+2AE: (3)如图3，若AC=4,点D从点B移动到点C的过程中，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线 段DM,连接AM,点K是BC边上靠近点C的四等分点，连接KM,BM,点N为直线AD上一动点， 连接MN,当线段KM取最小值时，将△ANM沿直线NM翻折得到△HNM,连接BH,请直接写出线 段BH的最大值 【答案】(1)V5+1 (2)见解析 (3)5+V17 【解析】 【分析】(I)过点D作DE⊥AB于点E,求得∠BAD=45°，∠ABD=30°，在RtAADE和Rt△BDE 中，分别求得AE=1,BE=√3，即可求解； (2)过点A作DA⊥AF,交DB的延长线于点F,连接CF,EF,AE的延长线交DF于点G,可证得 △BAD≌△FAC(SAS),从而∠AFC=∠ADB=45°，CF=BD,根据直角三角形的性质得出 1 DE=EF-TCD,从而得到AELDF,AE平分DF,进面推出EG--CF--BD,AGDF 2 即可证得结论； (3)根据点A绕点B顺时针旋转90°至A,点A绕点C顺时针旋转90°至A”,从而得出点M在直线 任”上运动，从而可知当KW上A'”时，KM鼓小，KM=CM= CK=1,根据勾股定理得出 第29页/共32页 学科网组卷网 AM=V17,再根据轴对称的性质得出HM=AM=V17,从而得出点H在以M为圆心，V7为半径的 圆上运动，进一步即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E, E D C .∠AED=∠BED=90°， ·∠BAC=90°，AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD=45°， AB=AC, ∴.∠ABC=∠C=45°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°， 在Rt△ADE中，AD=N2,∠BAD=45°， ·AE=DE= 2 AD=1, 在Rt△BDE中，DE=1,∠ABD=30°， BE=√5DE=√3， ∴.AB=BE+AE=V3+1: 【小问2详解】 证明：如图，过点A作DA⊥AF,交DB的延长线于点F,连接CF,EF,AE的延长线交DF于点G, 图2 .∠DAF=90°， .∠BAC=90°， 第30页/共32页 命学科网可组卷网 .∠DAF=∠BAC, ∴.∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF, 即∠BAD=∠CAF, ,∠ADB=45°，∠DAF=90°， .∠AFD=∠ADB=45°， .AD=AF, AB=AC, .△BAD≌△FAC(SAS), ∴.∠AFC=∠ADB=45°，CF=BD, ∴.∠BFD=∠AFD+∠AFC=90°， ,E是CD的中点， :.DE=EF=-CD, ∴.AE⊥DF,AE平分DF, BG=0F-8D.4G=0r. .BD+2AE BD+2(AG-EG)=BD+2AG-2EG=BD+DF-CF=DF, ,DF=√2AD, ∴.√2AD=BD+2AE; 【小问3详解】 解：如图， Au B .AB=AC,∠BAC=90°， ∴.BC=√2AC=4V, ,点K是BC边上靠近点C的四等分点， 第31页/共32页 可学科网列组卷网 ..CK=-BC=2, 点A绕点B顺时针旋转90°至A,点A绕点C顺时针旋转90°至A”，, ∴.点M在直线AA”上运动， 当KM1AA”时，KM最小，KM=CM=5CK=1, 2 ∴.在RtAACM中，AC=4,CM=1, ∴AM=V42+12=17, .'△ANM沿直线NM翻折得到△HNM, .HM=AM=17, .点H在以M为圆心，√17为半径的圆上运动， 雅ME上BC于点E,则EM=CE=CK=V2 iBE-BC-CE=4 22 ∴.BM=VBE2+EM2 BH最大=BM+HM=5+17. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称和旋转的性质 等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形 第32页/共32页