6.1菱形的性质与判定----菱形的判定专项训练2025-2026学年人教版八年级数学下册

6.1菱形的性质与判定----菱形的判定专项训练 一、单选题 1．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A．B．C． D． 4．如图所示，两条笔直公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建二个加工厂、，已知千米，村庄到公路的距离为12千米，则村庄到公路的距离是（    ） A．5千米 B．10千米 C．12千米 D．18千米 5．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 6．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A．， B． C．， D． 7．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 9．如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 10．如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 二、填空题 11．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为 ． 12．如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为 ． 13．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 14．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 15．如图，四边形沿直线对折后重合，连接，交于点，若，则下列结论：；；；．其中正确的是 ．（只填序号） 16．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①四边形是菱形；②平分四边形的周长；③若，则四边形的面积是20；④当时，．上述结论中，正确结论的序号是 ． 三、解答题 17．如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 18．如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．，，分别连接，，求此时四边形的周长． 19．如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 20．如图，在平行四边形中，，分别是，的平分线，且，分别在边，上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行线与间的距离． 21．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 22．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交BE的延长线于F，且，连接CF． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，掌握这些知识是解题的关键；由三角形中位线定理得四边形是平行四边形，再由，结合中位线定理得，从而得四边形是菱形． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 3．B 【分析】根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 等 ），逐一分析选项即可得解．本题主要考查菱形的判定定理，熟练掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” “一组邻边相等的平行四边形是菱形”等判定方法是解题的关键． 【详解】解： A、仅给出平行四边形及一个角和一条对角线相关信息，无法得出邻边相等，不能判定为菱形． B、平行四边形中，对角线互相垂直（由图中垂直符号可知 ），故该平行四边形是菱形． C、给出平行四边形的边和对角线长度，无法得出邻边相等或对角线垂直等菱形判定条件，不能判定为菱形． D、仅给出角的信息，无法得出邻边相等或对角线互相垂直，不能判定为菱形． 故选：B ． 4．C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的面积，熟悉掌握等面积法是解题的关键． 先判定出四边形为菱形，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形为菱形， 设到的距离为， ∵到公路的距离为12千米， ∴， ∴， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， 四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点分别作，边上的高为，．则 （两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形中，，即， ，即．故B正确； 平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ，（菱形的对角相等），故A正确； ，（平行四边形的对边相等），故C正确； 如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查作图-基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得证明≌可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 故选：B 8．B 【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明是菱形，由勾股定理和菱形的性质求出，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设，相交于点O，如图， ∵将沿对角线翻折，如果点B与点D重合， ∴垂直平分线段， ∴是菱形， ∴， 在中，， ∵菱形的面积， ∴， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，再由四边形的内角和定理可得，可判定A；再由，，可得，可判定D；再证明，可得，从而得到，可判定B，即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴四边形为菱形，故D选项正确，不符合题意； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到的大小关系， ∴无法确定的形状，故C选项错误，符合题意； 故选：C 11． 【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：等边的边长为，将向右平移到的位置， cm，, 四边形是菱形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，求得是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由勾股定理求出，证明平行四边形是菱形得出，，则点B的横坐标等于点A的横坐标加上AB的长度，点B的纵坐标等于点A的纵坐标． 【详解】∵顶点O，A的坐标分别为， ∴ ∵在平行四边形中， ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ 故答案为： 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 14．/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．根据轴对称的性质和已知条件可证，则，，即④正确；再证四边形为平行四边形可判定①②；最后证明四边形为菱形可判定③． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， ． ， ，． 在和中 ． ，．即④正确； ， 四边形为平行四边形． ，，即正确； 直线是四边形的对称轴， ． 四边形为菱形． 不一定成立，故③错误； 故答案为：． 16．①②③④ 【分析】证明四边形为平行四边形得，，，证明得，，再证明可判断①正确；证明可判断②正确；利用菱形面积公式可判断③正确；利用面积法求出的长可判断④正确． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ∴． ， 四边形为平行四边形， ，，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 垂直平分， ， 为菱形，故①正确； ∵，， ，即， ∴，即平分四边形的周长，故②正确； ∵，， ∴， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵在菱形中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 17．添加一个条件：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定是解题的关键． 由可证，可得，从而可得出四边形为平行四边形，再由菱形的判定可求解． 【详解】解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 18． 【分析】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．由，得，而，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 点是对角线的交点， ， 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的周长为 19．(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 20．(1)证明见解析； (2)平行线与间的距离为． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，，通过平行线的性质可得，，再由角平分线定义可得，，所以，从而证明，四边形是平行四边形，然后通过邻边相等的平行四边形即可求证； （）过作于点，则，则有，得，通过勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离为． 21．(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及中点得，，利用平行四边形的判定即可得证； （2）由菱形的性质得，，再证，进而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 22．(1)见解答 (2)四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，全等三角形的性质与判定等知识﹒ （1）根据“”即可证明； （2）连接交于点，先分别证明四边形，四边形是平行四边形，得到，进而证明，即可证明是菱形﹒ 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形﹒ 证明：如图，连接交于点﹒ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形﹒ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $