甘肃甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷高二数学

临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 3．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（   ） A．4 B．2 C．8 D． 5．某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 6．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 7．已知直线与圆相交于A,B两点，则三角形ABC的周长为（    ） A．26 B．18 C．14 D．13 8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时当且仅当 D．数列是等比数列 11．已知函数为的极大值点，则下列结论正确的有（    ） A． B．的极小值为 C．恰有两个零点 D．直线是的一条切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为 . 13．二项式的展开式的常数项是 ． 14．已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 16．（15分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程． (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 18．（17分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. (1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数； (2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； (3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 19．（17分）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.直线x+√3y+5=0的倾斜角为() A.30° B.60 C.120° D.150° 2.在等差数列{an}中，4=2，a2+4=a,则4。=() A.18 B.20 C.22 D.24 3.已知函数f(x)=2x-sinx,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.己知点A(2,yo)(y,>0)在抛物线C:y2=2Px(p>0)上，F是抛物线C的焦点.若|AF=4, 则y。=() A.4 B.2 C.8 D.2W2 5.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司 至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有 () A.48种 B.36种 C.24种 D.18种 6.设8为正项等比数列a}的前n项和，已知S=2,马子，则：=《) 15 A.4 B.4 c. D.2 7.已知直线1：4x-3y-2=0与圆C:x2+y2-4x+6y-12=0相交于A,B两点，则三角形ABC 的周长为() A.26 B.18 C.14 D.13 8.若函数f(x)=x2-anx+1在[1，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[0,2] B.（-m,1] C.[2,+o) D.(-0,2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某中学A,B,C,D,E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生 只能选一个社团，则下列结论中正确的是() A.所有不同的分派方案共4种 B.若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案 共300种 C.若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲社团，则所有不同分派方宋共 60种 D.若每个社团至少有1个学生选，且学生A,B不安排到同一社团，则所有不同分派方 案共216种 l0.已知等差数列{a.}的前n项和为Sn,若a2=-2,4,+a,=8,则下列结论正确的是() A.a =2n-6 B.S.=n2-6n C.Sn取得最小值时当且仅当n=3 D.数列{2}是等比数列 11.已知函数f(x)=x3-m2-x+a,-1为f(x)的极大值点，则下列结论正确的有() A.a=1 B.f(四的极小值为-32 27 C.f(x)恰有两个零点 D.直线5x+3y+3=0是f(x)的一条切线 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线1：ar-y+1=0的一个方向向量为v=(2,1),则实数a的值为」 13.二项式 1 Vx 的展开式的常数项是· 2 14.己知正项等比数列{a}的前n项和为S。，公比为9，S,=3S,则9=一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}的首项为2，a.>0且满足a-a,a-1-2a-1=0(n≥2且n∈N), b.=log2 a. (1)求{a}的通项公式： ②设c,=1©g:,求c}的前n项和S 16.(15分)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程. (2)若直线1：x-2y+2=0与圆C相交于A,B两点，求AB的值. 17.(15分)已知函数f(x)=x3-3x+2. (1)求曲线y=f()在点(2，f(2)处的切线方程： (2)求f(x)在区间[-2,0]上的最值. 18.（17分)为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微 积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上 述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课 程都是等可能的 (1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数： (2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数： (3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数： 9,(17分)已知在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:;片1(ab>0过14.3利 (7,32)两点 (1)求双曲线C的标准方程： (2)若s,T为双曲线C上不关于坐标轴对称的两点，M为ST中点，且ST为圆G的一条非 径的弦，记GM斜率为，OM斜率为k,证明：为定值临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意率项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.直线x+√3y+5=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角 【详解】直线x+V3y+5=0可化为y=-5x-55 3 3 则斜率k=tana=- 3 ,又倾斜角a,满足0≤a<180°，所以倾斜角为150°.故选：D 2.在等差数列{a}中，4=2，a2+4=a,则a。=() A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差d,再由通项公式得项. 【详解】设公差为d,则由a2+4=4,得2+d+2+2d=2+4d,解得d=2, 所以a4=2+9×2=20 故选：B. 3.已知函数f(x)=2x-six,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】求导，即可代入求解 【详解】由f(x)=2x-six得f'(x)=2-cosx,故f'(0)=1,故选：B 4.已知点A(2,y)(%>0)在抛物线C:y2=2Px(p>0)上，F是抛物线C的焦点.若|AF=4, 则y。=() A.4 B.2 C.8 D.25 【答案】A 【分析】由抛物线的定义即可求解： 【详解】根据抛物线的定义，得2+号=4，解得卫=4 将点A(2,yo)的坐标代入y2=8x,得。=4或-4（舍去）。故选：A 5.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司 至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有 () A.48种 B.36种 C.24种 D.18种 【答案】B 【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二 类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原 理即可得解 【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家 公司共有3种选法： 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有A种安排方法：第 二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有CA?种 安排方法；所以共有不同的安排方案有3×(A+CA)=36种，故选：B 6.设8为正项等比数列a}的前n项和，已知S=2,=子则S。=《) 15 A. B.4 D. 4 4 9-2 【答案】A 【分析】应用等比数列片段和的性质列方程求S2 【详解】由等比数列片段和的性质知(S。-S)2=S,(S,-S),(S,-S)2=(S。-S)S2-S,) 所以6-2少-2x-5)=7-25,且8>0，则-28，-3=08-3 4 7.已知直线：4x-3y-2=0与圆C:x2+y2-4x+6y-12=0相交于A,B两点，则三角形ABC 的周长为() A.26 B.18 C.14 D.13 【答案】B 【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长|AB|即可. 【详解】由x2+y2-4x+6y-12=0,得(x-2)2+(y+3)2=25,所以圆心为C(2-3),半径r=5, 圆心C到直线1的距商d-1423x)-2引-3，所以4B上2--8。 V4+(-3)2 所以三角形ABC的周长为2r+|AB=18.故选：B. 8.若函数f(x)=x2-anx+1在[1，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[0,2] B.(-0,1] C.[2,+o) D.(-m,2] 【答案】D 【分析】求出函数f(x)的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即 得 【详解】函数fw)=x2-anx+1,求导得∫()=2x-a, 由f(x)在[1，+)上单调递增，得x≥1，f'(x)≥0台a≤2x2,而恒有2x2≥2， 则a≤2，又a=2时，f'(x)=2x-与≥0，f)在1+m)上单调递增， 所以实数a的取值范围是(-o,2] 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某中学A,B,C,D,E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生 只能选一个社团，则下列结论中正确的是() A.所有不同的分派方案共45种 B.若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案 共300种 C.若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲社团，则所有不同分派方宋共 60种 D.若每个社团至少有1个学生选，且学生A,B不安排到同一社团，则所有不同分派方 案共216种 【答案】ACD 【分析】对于A,根据分步乘法计数原理计数可知A正确：对于B,C,按照先分组再分配 的方法计数可知B不正确；C正确：对于D,由间接法求解可知D正确」 【详解】对于A,每名学生都有4种安排方案，故共有4×4×4×4×4=4种不同的分派方案， 故A正确： 对于B,先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有C=10种： 第二类，一-组2人，一组2人，一组1人，有cC℃=15种，故共有10+15=25种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有25A=150种分派方案，故B不正确： 对于C,分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A,另外4人有CA=36种，第二类 甲社团分2人，共有C4A=24种， 根据分类加法计数原理可得共有36+24=60种不同的分派方案，故C正确： 对于D,若每个社团至少派1名学生，则有CA=240种，其中学生A,B安排到同一社团 时，有A=24种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A,B不安排到同一社团时， 共有240-24=216种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-2,4+4。=8,则下列结论正确的是() A.a =2n-6 B.S.=n2-6n C.S,取得最小值时当且仅当n=3 D.数列{2}是等比数列 【答案】AD 【分析】设等差数列的公差为d,结合已知可求得a=-4,d=2,可求得数列{a,}的通项 公式，前项和公式，以及前n项和的最小值可判断ABC:利用等比数列的定义可判断{2} 是等比数列判断D. 【详解】设等差数列的公差为d,则+d2 2a+8d=8'解得g=4,d=2 所以a,=a+m-d=2m-6,3=a+a）-n2-1= 2 当n=2或n=3时，Sn有最小值，最小值为-6，故A正确，B,C错误： 因为23、224 2 2。=2°=4，所以数列{2}是公比为4的等比数列，故D正确 故选：AD 11.已知函数f(x)=x3-2-x+a,-1为f(x)的极大值点，则下列结论正确的有() A.a=1 B.f(x)的极小值为 32 27 C.f(x)恰有两个零点 D.直线5x+3y+3=0是f(x)的一条切线 【答案】BC 【分析】利用函数的极大值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，极值，零点， 即可判断ABC,再求导数的范围，根据导数的几何意义，即可判断D, 【详解对A,f'(x)=3x2-2c-1,因为-1为f(x)的极大值点，所以f'(-1)=0,解得a=-1, 经检验成立，A错误， 对Bf(y)=32+2x-1=(x+13x-)由f()=0,得x=-1或3，令f()>0,得x<-1 或x73' 则f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以/()的极小值点为号，极小值为/) ，B正确 32 对C,因为函数的极大值f(-1)=0,且由函数的单调性可知，f(x)恰有两个零点，C正确. 124、4 5 对D,因为f(x)=3x2+2x-1=3x+ 33 ≥-4，直线5x+3y+3=0的斜率为-3，而 3 5 3下、 ,所以D错误故选：BC 4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知直线1：ar-y+1=0的一个方向向量为v=(2,1),则实数a的值为 【金幻月 【分析】由方向向量确定直线斜率，即可求解 1 1 【详解】由直线方向向量为=(2,1)，可得斜率k=2,即a=2故答案为： 13.二项式 的展开式的常数项是 x2 【份类)号 【分析】根据二项展示的通项计算可得第5项为常数项，计算即可 【详解】设展开式中的第k+1为常数项，即工1= )c%常数 项，令k-6+=0,解得k=4:因此常数项为 2 -c时-设备案：8 14.己知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,公比为9，S=3S,则9= 【答案】1 【分析】将Sn用4，表示，由等比数列通项公式代入化简求值 【详解】因为S=3S,所以4+4+4=3a,即4(1+q+4)=3a, 因a≠0，则得q+q-2=0,解得q=-2或q=1, 因为4，>0，所以q>0,所以q=-2不满足条件，所以q=1.故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}的首项为2，a.>0且满足aG-aa.-1-2-1=0(n≥2且neN), b.log2 a. (1)求{a}的通项公式： ②设c=log”· 求{cn}的前n项和Sn, 【答案】(1)a.=2 (2)Sn=log2(n+1) 【分析】(1)因式分解可知{a}为等比数列，然后可解；(2)利用对数运算裂项可解 【详解】(1)由a-a.a-1-2m-1=0得(a-2a-1)(a.+a-1)=0, 因为a.>≥0，所以a+a1>0,所以a.-2a1=0,即a=2, 又4=2，所以{a}是以2为首项和公比的等比数列，所以an=2”. 2)由a-be,a-1g,2”=n得c=8,会-3：a+1le,, S,log,2-l0g,1+10g,3-l0g,2+l0g,4-10g,3+...+l0g,(n+1)-log,n =l0g2 (n+1)-10g2 1=10g2 (n+1) 16.(15分)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程。 (2)若直线1：x-2y+2=0与圆C相交于A,B两点，求AB的值. 【答案】(1)(x-2)+y2=4 (②)45 5 【分析】(1)设圆C的方程为(x-a)2+y2=4,(a>0),利用点到直线的距离公式求出a: (2)求出圆心到直线1的距离，再利用弦长公式求出 【详解】(1)由题意设圆C的方程为(x-a+y2=4,(a>0),因圆C与直线3x+4y+4=0相 切，则圆心(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离d= 3a+4_3a+4-2. V32+42 5 解得a=2或a=-1 3 (舍去)，故圆C的方程为(x-2)2+y2=4; (2)圆心(2,0)到直线1：x-2y+2=0距离d=2-2x0+2-4 V12+(2)2 5 2 所以弦长AB 4 4V5 5 5 17.(15分)己知函数f(x)=x3-3x+2, (1)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： (2)求f(x)在区间[-2,0]上的最值. 【答案】(1)9x-y-14=0 (2)最大值为4，最小值为0 【分析】(1)直接求导找出切点处斜率，再将x=2代入原函数得到纵坐标从而得到切线： (2)令其导函数大于0，判断函数在[-2,0]的单调性从而确定最值. 【详解】(1)对函数f(x)求导，f(x)=3x2-3, f(2)=9,f(2)=4, ∴.所求得的切线方程为y-4=9(x-2),即9x-y-14=0: (2)由(1)有f(x)=3x2-3,令f'(x)>0,解得：x<-1或x>1, 故函数f(x)在[-2，-1]递增，在（←1,0]递减，故函数f(x)在x=-1取最大值f(-1)=4, :f(-2)=0,f(0)=2,故函数在-2,0]的最大值为4，最小值为0. 18.(17分)为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微 积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上 述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课 程都是等可能的， (1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数： (2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数： (3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】(1)24 (2)48 (3)10 【分析】(1)问题等价于从4个元素中选3个元素的全排列，据此可得答案： (2)选择情况分为两步，先让甲、乙同学选，随后让丙选择，据此可得答案； (3)选择情况可分为两类，第一类3人都选择《数学史》：第二类，3人中2人选《数学史》， 1人选其他课程，据此可得答案 【详解】(1)由题可得，三位同学选择的课程互不相同的选课种数为A:=24; (2)选择情况分为两步，让甲、乙同学先选，有A?=12种可能，随后让丙选择，有4种可 能性，由分步计数原理可知，不同的选课种数共有48种： (3)选择情况可分为两类，第一类3人都选《数学史》，有1种方法： 第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，有CC=9种方法， 由分类计数原理可知，不同的选课种数共有10种 1917分)加在十国直角坐标系0中.双直线C:若芳1a6s0)过45)南和 (7,32)两点. (1)求双曲线C的标准方程： (2)若s,T为双曲线C上不关于坐标轴对称的两点，M为ST中点，且ST为圆G的一条非 直径的弦，记GM斜率为k,OM斜率为k2,证明： 为定值 k 【答案】()父=1 (2)证明见解析 73 【分析】(1)根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解： (2)利用“点差法”可得直线ST斜率与OM斜率关系，再由圆的性质可得ST,GM斜率的关 系，化简即可得证 【详解】(1)代入双曲线上两点得14-3 0261 4918=1, a b2 故 84 26二18，解得=7，b=3，故双曲线C标准方程为：王--1 73 (2)如图， V 设S(5,y,T任y,)5≠5y≠)，由题知号-上=上=1， 737 3 +y2-0 相破5-公出-，又飞=-0 2 7 2 所以飞=业业=3(5+) 3+-0 （2 3 x-￥，7(%+）7+业-0 7元 (2 由ST为圆G的一条非直径的弦，M为ST中点得GM⊥ST,故kk=-1, k二一 7 因此无了为定值 临潭县第二中学2025-2026学年下学期开学测试卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章+选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角. 【详解】直线可化为， 则斜率，又倾斜角，满足，所以倾斜角为.故选：D 2．在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【详解】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 3．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由得，故，故选：B 4．已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义，得，解得． 将点的坐标代入，得或（舍去）。故选：A 5．某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法； 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法；所以共有不同的安排方案有种，故选：B. 6．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】应用等比数列片段和的性质列方程求. 【详解】由等比数列片段和的性质知，， 所以且，则， 所以，则.故选：A 7．已知直线与圆相交于A,B两点，则三角形ABC的周长为（    ） A．26 B．18 C．14 D．13 【答案】B 【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长即可. 【详解】由，得，所以圆心为,半径， 圆心C到直线l的距离，所以， 所以三角形ABC的周长为．故选：B． 8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，，而恒有， 则，又时，，在上单调递增， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】ACD 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时当且仅当 D．数列是等比数列 【答案】AD 【分析】设等差数列的公差为，结合已知可求得，，可求得数列的通项公式，前项和公式，以及前项和的最小值可判断ABC；利用等比数列的定义可判断是等比数列判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，， 当或时，有最小值，最小值为，故A正确，B，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确. 故选：AD. 11．已知函数为的极大值点，则下列结论正确的有（    ） A． B．的极小值为 C．恰有两个零点 D．直线是的一条切线 【答案】BC 【分析】利用函数的极大值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，极值，零点，即可判断ABC，再求导数的范围，根据导数的几何意义，即可判断D. 【详解】对A,，因为为的极大值点，所以，解得，经检验成立,A错误， 对B,，由，得或，令0，得或， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，极小值为，B正确. 对C,因为函数的极大值，且由函数的单调性可知，恰有两个零点，C正确. 对D,因为，直线的斜率为，而，所以D错误.故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由方向向量确定直线斜率，即可求解. 【详解】由直线方向向量为，可得斜率，即，故答案为： 13．二项式的展开式的常数项是 ． 【答案】 【分析】根据二项展示的通项计算可得第5项为常数项，计算即可. 【详解】设展开式中的第为常数项，即为常数项，令，解得；因此常数项为.故答案为： 14．已知正项等比数列的前项和为，公比为，，则 . 【答案】1 【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为，所以，即， 因，则得，解得或， 因为，所以，所以不满足条件，所以.故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解；（2）利用对数运算裂项可解. 【详解】（1）由得， 因为，所以，所以，即， 又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以． （2）由得， 16．（15分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程． (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆C的方程为，利用点到直线的距离公式求出； （2）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求出. 【详解】（1）由题意设圆C的方程为，因圆C与直线相切，则圆心到直线的距离， 解得或（舍去），故圆C的方程为； （2）圆心到直线距离， 所以弦长. 17．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为0 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【详解】（1）对函数求导，， ， 所求得的切线方程为，即； （2）由（1）有，令，解得：或， 故函数在递增，在递减，故函数在取最大值， ，，故函数在的最大值为4，最小值为0． 18．（17分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. (1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数； (2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； (3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】(1)24 (2)48 (3)10 【分析】（1）问题等价于从4个元素中选3个元素的全排列，据此可得答案； （2）选择情况分为两步，先让甲、乙同学选，，随后让丙选择，据此可得答案； （3）选择情况可分为两类，第一类3人都选择《数学史》；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得，三位同学选择的课程互不相同的选课种数为； （2）选择情况分为两步，让甲、乙同学先选，有种可能，随后让丙选择，有4种可能性，由分步计数原理可知，不同的选课种数共有48种； （3）选择情况可分为两类，第一类3人都选《数学史》，有1种方法； 第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，有种方法, 由分类计数原理可知，不同的选课种数共有10种. 19．（17分）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，，故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，，由题知， 相减得，又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $