2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行 第二章 相交线与平行线 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三4时4分22秒 2026年2月25日星期三4时4分23秒 学习目标 1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念. 2.能够识别内错角和同旁内角. 3.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行. 4.会尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线. 问题 小明有一块小画板， 他想知道它的上、 下边缘是否平行， 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB（如图所示） . 思考 小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、 下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？ 4 观察∠1与∠4的位置关系： ①在直线l的两侧； ②在直线AB，CD的之间 内错角 图中的内错角还有哪些？ ∠3与∠2 5 探究点1：内错角和同旁内角的识别 问题引入，自主探究 C D A B l 1 3 2 问题1：观察右图中的∠1和∠2， ∠1和∠3，它们是同位角吗？ 问题2：观察右图中的∠1和∠2，你能发现它们有什么样的位置关系吗？ 1.都在被截直线AB，CD的_____________。 2.都在截线 l 的__________。 之间(之内) 两侧(交错) 不是 具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角。 返回 1．如图所示，下列说法中正确的有(　　) ①∠A与∠B是同旁内角； ②∠2与∠1是内错角； ③∠A与∠C是内错角； ④∠A与∠1是同位角． A．1个　 B．2个　 C．3个 D．4个 C 中考考法 7 2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　) ①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4；④∠B＝∠5. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 中考考法 8 返回 【点拨】①利用同旁内角互补判定两直线平行，正确；②利用内错角相等判定两直线平行．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故错误；③利用内错角相等判定两直线平行，正确；④利用同位角相等判定两直线平行，正确．故选C. 【答案】 C 中考考法 A B F 1 2 3 4 5 7 6 8 C D E 问题3：尝试找出下图中内错角，并观察内错角的图形有什么特征。 ∠4和∠6，∠3和∠5 α β α β 4 6 3 5 总结 图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角。 C D A B l 1 3 2 问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？ 1.都在被截直线AB，CD的___________。 2.都在截线 l 的______________。 之间(之内) 同一旁(同侧) 具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。 ∠4和∠5，∠3和∠6 A B F 1 2 3 4 5 7 6 8 C D E 问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。 α β α β 4 5 3 6 总结 图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。 3. [观察·交流]如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有(　　) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 中考考法 13 返回 【点拨】∠B＝∠DCE，则AB∥EC(同位角相等，两直线平行)；∠BCA＝∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE＝∠DEC，则AC∥ED(内错角相等，两直线平行)．互相平行的线段有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥ED，共3组．故选B. 【答案】 B 中考考法 回顾同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格。 角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征 同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同侧 同侧 F Z U 两侧 之间 同侧 之间 ①必有三条直线 ②这三类角都没有公共顶点 ③都表示角之间的位置关系 问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 探究点2：平行线的判定 a b l 3 2 1 解：当内错角相等时，两直线平行， 即当∠1=∠2时，a∥b。 因为∠1=∠3（对顶角相等）， 当∠1=∠2时， ∠2 = ∠3 (等量代换)， 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 总结 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 几何语言： 因为∠1=∠2 (已知)， 所以 a∥b (内错角相等，两直线平行)。 a b l 3 2 1 解：当同旁内角互补时，两直线平行， 即当∠1+∠2=180°时，a∥b。 因为∠1+∠2=180°(已知)， ∠1+∠3=180°(平角的定义)， 所以∠2 = ∠3 (同角的补角相等)， 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 问题2：同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 a b l 3 2 1 4. 如图，________是∠1和∠6的同位角，________是∠1和∠6的内错角，________是∠6的同旁内角． ∠3 返回 ∠5 ∠4 中考考法 19 5. 如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为_____________________________． (写出一个即可) 返回 ∠ADC＋∠A＝180°(答案不唯一) 中考考法 20 总结 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 几何语言： 因为∠1＋∠2＝180°(已知)， 所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。 a b l 3 2 1 观察·交流 (1)如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 B C A E D B C A E D (2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？ BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC 是内错角，而且相等。 依据内错角相等，判断两直线平行。 B C A E D (3)在图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流 AB∥EC。 理由: 因为∠BAC=∠ECA=90°， 所以 AB∥EC。(内错角相等，两直线平行) 思考·交流 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行交流。 b a 截线 利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据平行线的判定说明两条直线平行。 返回 6．如图是一个由4条射线构成的“鱼”形图案，∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°.找出图中所有的平行线，并说明理由． 【解】BF∥CE，BC∥EF.理由 如下：因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2，所以BF∥CE.因为∠2＝50°，∠3＝130°，所以 ∠2＋∠3＝180°，所以BC∥EF. 中考考法 26 如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且MN与AB 平行。 问题1：过点P的直线有多少条？ A B C D O P 探究点3：用尺规过一点作已知直线的平行线 问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？ 无数条 E 需要满足∠DPE=∠POB，可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。 1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。 2.以点 P 为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。 PN边所在的直线MN就是要作的直线。 A B P O C D M N 因为∠DPN=∠DOB 且为同位角，利用同位角相等，得出两直线平行 问题3：你能在图中画出直道 MN 吗？ 问题4：你能说说这样作的道理吗？ 7．如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF. 中考考法 29 (1)试说明：OC⊥OD； 中考考法 30 (2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. 【解】因为∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOD＝90°.因为∠D与∠1互余，所以∠1＋∠D＝90°，所以∠D＝∠BOD，所以ED∥AB. 返回 中考考法 31 8．下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)   A．①②③　 B．①②④ C．③④　 D．①②③④ 中考考法 32 返回 【点拨】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错角相等，两直线平行可知②④正确． 【答案】 D 中考考法 9．一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，展开后得到折痕CD，如图所示． 中考考法 34 下列判断正确的是(　　)  A．只有纸带①的边线平行 B．只有纸带②的边线平行 C．纸带①，②的边线都平行 D．纸带①，②的边线都不平行 中考考法 35 【点拨】如图①，因为∠1与∠3互为对顶角，所以∠1＝∠3＝59°.又因为∠1＝∠2＝59°，所以∠3＝∠2＝59°.所以∠4＝∠5＝180°－59°－59°＝62°.所以∠2≠∠4.所以纸带①的边线不平行； 中考考法 返回 如图②，因为沿CD折叠，CN与CM重合，DQ与DP重合，所以∠MCD＝90°，∠PDC＝90°. 所以∠MCD＋∠PDC＝180°. 所以纸带②的边线平行．故选B. 【答案】 B 中考考法 10．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线． 5 中考考法 38 返回 【点拨】如图，因为∠BAJ＝∠AIE＝72°，所以AB∥EH.因为∠BFC＝∠FCD＝72°，所以BJ∥CD.因为∠CBF＝∠BJA＝72°，所以BC∥AI.因为∠EDG＝∠CGD＝72°，所以DE∥CF. 因为∠AEH ＝∠EHD＝72°， 所以AE∥DG.故共有5对平行线． 中考考法 11．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线 m∥n的有________．(填序号) ①⑤ 中考考法 40 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 性质 概念 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 课堂小结 性质 概念 性质 性质 概念 同位角 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 形如 ∠1与∠2 的位置关系 同位角相等，两直线平行。 概念 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 内错角 同旁内角 形如 ∠2与∠3 的位置关系 形如 ∠2与∠4 的位置关系 同旁内角互补，两直线平行。 【解】因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， 所以∠COF＝∠AOF，∠DOF＝∠BOF. 因为∠AOF＋∠BOF＝180°， 所以∠COD＝∠COF＋∠DOF＝(∠AOF＋∠BOF)＝90°，所以OC⊥OD. $