专题11 用一次函数解决实际问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题11 用一次函数解决实际问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、用一次函数解决最大利润问题 类型二、用一次函数解决分配方案问题 类型三、用一次函数解决梯度计费问题 类型四、用一次函数解决行程问题 压轴专练 类型一、用一次函数解决最大利润问题 **方法总结** 1. **建模列式**：设自变量为产量或销量，根据成本、售价等条件建立利润与自变量的函数关系y = kx + b。 2. **求最值**：根据实际问题中自变量的取值范围（如x≥0、x为整数），结合一次函数的增减性确定最大利润点。 **解题技巧** 1. **增减性定最值**：k>0时，x越大利润越大；k<0时，x越小利润越大。 2. **关注边界**：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，需计算并比较各端点利润。 例1．（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划购进一批原材料加工生产，已知购进A型原材料的单价比B型原材料单价少20元，且用800元购进A型原材料的数量与用1000元购进B型原材料的数量相同． (1)求A、B两种原材料的单价各是多少元？ (2)工厂计划购进两种原材料共100千克，且A型原材料的数量不超过B型原材料数量的3倍，设购进A型原材料m千克，购买两种原材料的总费用为W元，求W的最小值． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·期末）中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 【变式1-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． (1)一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ (2)某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． (3)在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 类型二、用一次函数解决分配方案问题 **方法总结** 1. **建模列式**：设分配量为自变量，根据资源限制、需求等条件建立一次函数关系（如总费用、总利润）。 2. **方案寻优**：在自变量取值范围内（常为整数），结合一次函数的增减性，确定使目标函数最优的分配方案。 **解题技巧** 1. **列表枚举**：当自变量范围较小且为整数时，可列表枚举各方案值，直接比较。 2. **边界优先**：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，优先计算端点值比较。 例2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【变式2-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 类型三、用一次函数解决梯度计费问题 **方法总结** 1. **分段函数**：根据计费标准（如用水、用电量不同区间单价不同），建立分段一次函数模型。 2. **分类计算**：确定自变量所在区间，选用对应区间内的函数表达式进行计算。 **解题技巧** 1. **区间判断**：先判断自变量的值属于哪个计费区间，再代入对应解析式。 2. **边界检验**：若自变量恰好在分段点，需确认按哪个区间计费（通常按就高或题给规定）。 例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【变式3-2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，计费方式为超出部分按新档位单价计算．下表是家庭人口不超过5人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 3.5 第二档 4.8 第三档 5.8 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是220，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1238元，求该户去年一年的用水量． 【变式3-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 类型四、用一次函数解决行程问题 **方法总结** 1. **建立模型**：设时间为自变量，根据速度、路程关系，建立路程与时间的函数关系（如s = vt + s0）。 2. **数形结合**：画出s-t图象，利用交点、斜率（速度）分析相遇、追及等问题。 **解题技巧** 1. **图象辅助**：在坐标系中画出各运动物体的s-t图，交点即相遇点。 2. **单位统一**：确保速度、时间、路程单位一致，避免计算错误。 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两车的速度． (2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系． (1)乙车的速度为______； (2)分别求线段，C对应的函数表达式； (3)当取何值时，甲、乙两车相距？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．    6．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）某型号新能源纯电动汽车充满电后在行驶过程中，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（公里）之间的函数图象如图所示． （1）该新能源汽车蓄电池的总电量为 千瓦时，新能源汽车在行驶过程中，每公里的能耗为 千瓦时； （2）若该款新能源汽车在电量剩余一半时，系统会发出提醒，则此时行驶了 公里，按此能耗，这款新能源汽车充满电可以行驶 公里． 8．（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住满． （1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 间，双人客房 间； （2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 元． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校八年级上学期举行了趣味运动会，为了奖励获奖的同学，需要购买文具盒和透明笔袋作为奖品．已知1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元． (1)求文具盒和透明笔袋的单价各为多少元？ (2)学校购买文具盒和透明笔袋两种奖品共150个，且文具盒的数量不少于透明笔袋的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 10．（2025八年级上·上海·专题练习）阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出、与之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示．请求出点C、D、E的坐标，并借助图象求出如何选择方案更合算． 14．（25-26九年级上·云南昆明·期末）地处祖国西南的云南省博物馆，不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”，在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心，截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品，当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售．昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴．已知购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同． (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个，投入资金不超过1000元，并将A型冰箱贴的标价定为每个25元，A型冰箱贴打八折销售，B型冰箱贴售价定为每个15元，请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润？最大利润是多少元？ 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求，某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购A、B两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需18万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需16万元． 任务1 确定价格 求A，B两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 该校经过市场调研，发现A型号设备的采购数量与总费用之间呈一次函数关系，现该校准备采购A型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 用一次函数解决实际问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、用一次函数解决最大利润问题 类型二、用一次函数解决分配方案问题 类型三、用一次函数解决梯度计费问题 类型四、用一次函数解决行程问题 压轴专练 类型一、用一次函数解决最大利润问题 **方法总结** 1. **建模列式**：设自变量为产量或销量，根据成本、售价等条件建立利润与自变量的函数关系y = kx + b。 2. **求最值**：根据实际问题中自变量的取值范围（如x≥0、x为整数），结合一次函数的增减性确定最大利润点。 **解题技巧** 1. **增减性定最值**：k>0时，x越大利润越大；k<0时，x越小利润越大。 2. **关注边界**：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，需计算并比较各端点利润。 例1．（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划购进一批原材料加工生产，已知购进A型原材料的单价比B型原材料单价少20元，且用800元购进A型原材料的数量与用1000元购进B型原材料的数量相同． (1)求A、B两种原材料的单价各是多少元？ (2)工厂计划购进两种原材料共100千克，且A型原材料的数量不超过B型原材料数量的3倍，设购进A型原材料m千克，购买两种原材料的总费用为W元，求W的最小值． 【答案】(1)A型单价80元，B型单价100元 (2)8500元 【分析】（1）设A型原材料单价为x元，则B型原材料单价为元，由题意得：，解方程即可． （2）设购进A型原材料m千克，则购买B型原材料千克，由题意得：，且， 解得，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型原材料单价为x元，则B型原材料单价为元 由题意得：， 解得 检验：是原方程的解，且符合题意 ， 答：A型单价80元，B型单价100元． （2）解：设购进A型原材料m千克，则购买B型原材料千克， 由题意得：，且， 解得， 根据题意，得， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，最小值为元， 答：W的最小值为8500元． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 【答案】(1) (2)该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元 (3)100 【分析】本题主要考查一次函数的运用． （1）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台，根据题目数量关系列式即可； （2）根据一次函数图象的性质求解即可； （3）根据题意得到，根据这100台电脑的销售利润不变，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴时，y取得最大值，最大值为47500， 答：该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元； （3）解：据题意得，，即， 当时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变． 故答案为：100． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·期末）中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款电脑每台的进价为0.45万元 (2)应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A款电脑每台的进价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进款电脑台，则购进款电脑 ，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总利润为万元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设A款电脑每台的进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴A款电脑每台的进价为0.45万元； （2）解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ， 由题意可得：， 解得：， 设总利润为万元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大为（万元）， ∵， ∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． (1)一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ (2)某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． (3)在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 【答案】(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2) (3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为14.8万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：根据题意，， 整理得， ∴； （3）解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数， ∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 类型二、用一次函数解决分配方案问题 **方法总结** 1. **建模列式**：设分配量为自变量，根据资源限制、需求等条件建立一次函数关系（如总费用、总利润）。 2. **方案寻优**：在自变量取值范围内（常为整数），结合一次函数的增减性，确定使目标函数最优的分配方案。 **解题技巧** 1. **列表枚举**：当自变量范围较小且为整数时，可列表枚举各方案值，直接比较。 2. **边界优先**：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，优先计算端点值比较。 例2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)种笔记本每本元，种笔记本每本8元； (2)购买种笔记本本、种笔记本本时费用最少，最少费用为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的最值实际应用问题，关键是根据题意建立方程组和函数关系式，并结合不等式确定变量的取值范围． （1）设两种笔记本的单价为未知数，根据两种购买方案的总费用，列出二元一次方程组，通过消元法求解方程组得到单价； （2）先设购买笔记本的数量，进而表示出笔记本的数量，根据题目中与的数量关系列出不等式组，确定笔记本数量的取值范围，再构建总费用关于笔记本数量的一次函数，利用一次函数的增减性求出费用的最小值． 【详解】（1）解：设种笔记本每本元，种笔记本每本元， 根据题意，得，解得， 答：A种笔记本每本元，种笔记本每本8元． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，总费用为元， 根据题意，得，解得，且为正整数， 总费用， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， 此时， 答：购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少费用是元． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A为600元，B为1000元． (2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元． 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为． 解得 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元． 由题意，得， 其中，解得， 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴ 解得， 综上，的取值范围是且为整数． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低， 总费用为（元）． ∴， 故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元． 【变式2-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【答案】 任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 任务一：根据题意列方程组即可； 任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值． 【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元； 任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元， ， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， 即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克， 答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 A公司 首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费． B公司 无首重，统一按每千克7元计费． C公司 每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）． (1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【答案】(1)图见解析 (2)，选择公司最省钱；，选择公司一样省钱，，选择公司最省钱； (3)见解析 【分析】（1）求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象，进行说明即可； （3）分2种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 对于，当时，，当时，； 故过点； 对于，当时，，当时，； ∴过点； 画图如下： （2）解：当时，； 由（1）图可知：当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； （3）解：由题意，当时，，此时， 调整后， 当经过时，则：， 故当时，令，， 当时，选择公司最省钱；当时，选择公司一样省钱，当时，选择公司最省钱； 当时，令，，此时， 则当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱，当时，选择公司和公司一样省钱，当时，选择公司最省钱． 类型三、用一次函数解决梯度计费问题 **方法总结** 1. **分段函数**：根据计费标准（如用水、用电量不同区间单价不同），建立分段一次函数模型。 2. **分类计算**：确定自变量所在区间，选用对应区间内的函数表达式进行计算。 **解题技巧** 1. **区间判断**：先判断自变量的值属于哪个计费区间，再代入对应解析式。 2. **边界检验**：若自变量恰好在分段点，需确认按哪个区间计费（通常按就高或题给规定）。 例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2) 该户这一年的电费为元； (3) 该户去年一年的用电量为． 【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档的电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得； （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元； （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 【变式3-2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，计费方式为超出部分按新档位单价计算．下表是家庭人口不超过5人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 3.5 第二档 4.8 第三档 5.8 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是220，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1238元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据收费标准，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中表达式进行求解即可； （3）求出时的函数值，进而求出第三档的用水量，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：当时，（元）； 答：该户这一年的水费为元； （3）解：当时，， ， 故该户去年一年的用水量为； 答：该户去年一年的用水量为． 【变式3-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 类型四、用一次函数解决行程问题 **方法总结** 1. **建立模型**：设时间为自变量，根据速度、路程关系，建立路程与时间的函数关系（如s = vt + s0）。 2. **数形结合**：画出s-t图象，利用交点、斜率（速度）分析相遇、追及等问题。 **解题技巧** 1. **图象辅助**：在坐标系中画出各运动物体的s-t图，交点即相遇点。 2. **单位统一**：确保速度、时间、路程单位一致，避免计算错误。 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两车的速度． (2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态． 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别为和． (2)见解析 【分析】（1）第一段函数图象表示：小时后，两车共走完千米，相遇．可求得甲乙速度和，第二段函数图象表示，甲小时走了千米．可得甲速度，用甲乙速度和减去甲速度即为乙速度； （2）乙车只在前小时以每小时千米的速度运动． 【详解】（1）解：（1）由题意知，甲、乙两车的速度之和为． 换货后只有甲车运动，甲车的速度为， 乙车的速度为． 故甲、乙两车的速度分别为和． （2）（2）乙车以的速度从地出发后到达地，在地与甲车交换货物用了后，又在地停留2h． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行解答． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得甲匀速骑行时和乙匀速跑步时，关于的函数解析式，再分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意设乙匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点和代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设甲匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； 同理，乙匀速跑步时，关于的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； 答：当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系． (1)乙车的速度为______； (2)分别求线段，C对应的函数表达式； (3)当取何值时，甲、乙两车相距？ 【答案】(1) (2)， (3)当为或时，甲、乙两车相距 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的分段函数，关键是结合图象分析甲、乙两车的行驶状态，利用待定系数法求一次函数解析式，再根据两车距离分情况列方程求解． （1）乙车为匀速行驶，根据速度公式，用总路程除以总时间即可得到乙车速度； （2）线段是正比例函数，设解析式为，代入点求解系数；线段是一次函数，设解析式为，代入点和，解二元一次方程组得到系数和； （3）根据甲的行驶状态分三段讨论：(甲匀速行驶)、(甲静止)、(甲匀速追赶)，分别写出每段甲、乙的行程函数，根据两车距离为列方程，舍去超出取值范围的解，得到符合条件的值． 【详解】（1）解：根据图象，乙车的速度为； 故答案为：； （2）解：设线段对应的函数表达式为， ∵点在上， ∴将代入，得，解得， ∴线段的函数表达式为； 设线段对应的函数表达式为， ∵点、在上， ∴将两点坐标代入得，解得， ∴线段的函数表达式为； （3）解：线段的函数表达式为， 分三种情况讨论： ①当时，根据图象，线段的函数表达式为， 两车的距离为，解得， ，不符合的范围，故舍去； ②当时，甲的行程为， 两车的距离为，令，解得， ，符合该范围； ③当时，线段的函数表达式为， 此时两车的距离应为， 令，解得， ，符合该范围． 综上，当或时，甲、乙两车相距； 答：当为或时，甲、乙两车相距． 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 【答案】C 【分析】本题考查了函数的多变量问题，解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 可以先设西苑调运x吨水到东区，则西苑调运吨水到西区，竹林调运到东区吨，竹林调运到西区吨．从而列出总运费与x的关系式，进而求出最小值． 【详解】解：设西苑调运x吨水到东区，总运费为y元， 则，其中， 当时，y取最小值，最小值为：， 即总运费最少需要13800元， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．    【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，观察函数图象，再把代入，解得，令时，解得，即可作答． 【详解】解：设线段的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴ 即一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为： 6．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】340 【分析】本题考查了一次函数的实际运用，设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：，结合图象求出函数关系式，再将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：， 由题意得， 解得， 即实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：， 当时，， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）某型号新能源纯电动汽车充满电后在行驶过程中，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（公里）之间的函数图象如图所示． （1）该新能源汽车蓄电池的总电量为 千瓦时，新能源汽车在行驶过程中，每公里的能耗为 千瓦时； （2）若该款新能源汽车在电量剩余一半时，系统会发出提醒，则此时行驶了 公里，按此能耗，这款新能源汽车充满电可以行驶 公里． 【答案】 60 / 150 300 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图象可知第一空答案；根据，计算能耗除以行驶的公里数即可； （2）先由函数图象判断y与x满足一次函数关系式，用待定系数法求出函数关系式，令和，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据图象可知，该新能源汽车蓄电池的总电量为60千瓦时， 新能源汽车在行驶过程中，每公里的能耗为（千瓦时）． 故答案为：60；． （2）由图可知，函数图象经过点，， 由于蓄电池剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（公里）之间的函数图象是直线，所以满足一次函数关系式， 设y与x之间的函数关系式为， ， 解得， ， 令，则， 解得， 此时行驶了150公里， 令，则， 解得， 按此能耗，这款新能源汽车充满电可以行驶300公里． 故答案为：150；300． 8．（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住满． （1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 间，双人客房 间； （2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 元． 【答案】 12 7 5100 【分析】本题考查一次函数及二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组及用代数式表示出住宿费用是解题的关键． （1）设租住了三人客房间，双人客房间，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设租住了三人客房间，那么租住了双人客房间，将住宿费用用代数式表示出来，并注明的取值范围．判断住宿费用随的增减情况，进而确定当为何值时住宿费用最少，求出最小值，并检验此时双人间的数量是否为整数． 【详解】解：（1）设租住了三人客房间，双人客房间． 根据题意，得，解得， 故答案为：12，7． （2）设租住了三人客房间，那么租住了双人客房间． 则住宿费用为偶数，且， 随的增大而减小， 当时，最小，． 此时，租住双人客房的间数为（间． 故答案为：5100． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校八年级上学期举行了趣味运动会，为了奖励获奖的同学，需要购买文具盒和透明笔袋作为奖品．已知1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元． (1)求文具盒和透明笔袋的单价各为多少元？ (2)学校购买文具盒和透明笔袋两种奖品共150个，且文具盒的数量不少于透明笔袋的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)文具盒的单价为15元，透明笔袋的单价为3元 (2)当购买文具盒75个，购买透明笔袋75个时，购买总费用最少，最少为1350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设文具盒的单价为元，透明笔袋的单价为元，根据“1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元”列出方程组求解即可； （2）设购买文具盒个，则购买透明笔袋个，根据文具盒的数量不少于透明笔袋的数量列出不等式求出的范围，再列出w关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设文具盒的单价为元，透明笔袋的单价为元， 由题意得， 解得， 答：文具盒的单价为15元，透明笔袋的单价为3元； （2）解：设购买文具盒个，则购买透明笔袋个， 由题意得，， ∴， 设总费用为w元，由题意得，， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w最小，最小值为， ∴， 答：当购买文具盒75个，购买透明笔袋75个时，购买总费用最少，最少为1350元． 10．（2025八年级上·上海·专题练习）阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 【答案】(1)该交183元电费 (2)y＝ (3)该居民家10月份的用电量为360度 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接列式进行求解； （2）根据题意可分当时，当时和当时，然后分类求解即可； （3）先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据（2）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： （元）； 答：该交183元电费； （2）解：设电费为y元， ①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，y关于x的函数表达式为； （3）解：当时，； 当时，； ∵， ∴该居民家10月份的电费为第二档， 当时，则， 解得； 答：该居民家10月份用电360度． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； (3)应选甲工程队，可使施工路段长度更长，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及一次函数关系式的建立、一元一次方程的求解和一元一次不等式的应用． （1）根据“总承建费用=基础费用+每公里施工费用×施工路段长度”的数量关系，分别建立甲、乙工程队的费用与路段长度的一次函数关系式； （2）当两队承建费用相同时，令两个函数表达式相等，通过解一元一次方程求出对应路段长度； （3）分别以预算上限为限制条件，列一元一次不等式求出甲、乙两队可施工的最大路段长度，再比较大小确定最优选择． 【详解】（1）解：根据题意，； ； （2）解：当甲、乙两个工程队的承建费用相同时，令，即， 解得； 答：当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； （3）解：令，则，解得； 令，则，解得； ，，，即， 甲工程队能施工的路段长度更长，应选甲工程队； 答：应选甲工程队，可使施工路段长度更长． 13．（25-26八年级上·山东烟台·期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出、与之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示．请求出点C、D、E的坐标，并借助图象求出如何选择方案更合算． 【答案】(1)； (2)，，，优惠方案见详解 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题目中各方案的计算方法列式即可； （2）根据函数图象，联立方程组求解得到两直线交点坐标，根据点的坐标，结合图形分析即可得到优惠方案． 【详解】（1）解：由题意得：；； （2）解：当时，， 解得：， ∴，则， 当，， 解得：，则， 当，， 解得：， ∴， 根据图象可知，当每月输送的牛奶重量在2000千克以内时，采用方案一更合算； 当每月输送的牛奶重量在2000千克时，采用方案一、方案二一样合算： 当每月输送的牛奶重量在千克时，采用方案二更合算； 当每月输送的牛奶重量为4200千克时，采用方案二、方案三一样合算； 当每月输送的牛奶重量在4200千克以上时，采用方案三更合算． 14．（25-26九年级上·云南昆明·期末）地处祖国西南的云南省博物馆，不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”，在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心，截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品，当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售．昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴．已知购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同． (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个，投入资金不超过1000元，并将A型冰箱贴的标价定为每个25元，A型冰箱贴打八折销售，B型冰箱贴售价定为每个15元，请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元 (2)购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用． （1）根据“购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同”列方程组求解； （2）先根据题意设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，列出一元一次不等式，求出a的取值范围，再求出利润的函数，根据一次函数的性质求解 【详解】（1）解：设每个A型冰箱贴的进价为x元，每个B型冰箱贴的进价为y元， 根据题意，得， 解得， 即每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元． （2）解：设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，利润为W元， 根据题意，得， ∴，且a为正整数， ∴， ∵， W随着a的增大而增大， 当时，W最大，，， 即该旅游纪念品店应购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）综合与实践 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求，某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购A、B两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需18万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需16万元． 任务1 确定价格 求A，B两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 该校经过市场调研，发现A型号设备的采购数量与总费用之间呈一次函数关系，现该校准备采购A型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 【答案】任务1：型号设备的单价为2万元、型号设备的单价为3万元 任务2： 任务3：当采购型号设备8台，型号设备12台时，才能使总费用最低，总费用最低为52万元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程组、求出函数表达式是解决问题的关键． 任务1：设A型号设备的单价为万元，B型号设备的单价为万元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； 任务2：采购A型号设备台，则采购B型号设备台，按照（1）中得到A，B两种型号设备的单价列式表示总费用为即可得到答案； 任务3：由（2）中得到与的函数关系式，由一次函数性质分析即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A型号设备的单价为万元，B型号设备的单价为万元， 根据题意得， 解得， 答：A型号设备的单价为2万元、B型号设备的单价为3万元； 任务2：采购A型号设备台，则采购B型号设备台， 则， 与的函数关系式为； 任务3：在中，由可知随的增大而减小， 又，且为整数， 当取最大值8时，的值最小， 则（万元）， 此时（台）， 答：当采购A型号设备8台，B型号设备12台时，才能使总费用最低，总费用最低为52万元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $