专题10 一次函数与三角形综合问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10一次函数与三角形综合问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数与三角形的面积问题 类型二、一次函数与三角形全等问题 类型三、一次函数与三角形存在问题 类型四、一次函数中的折叠综合问题 类型五、一次函数中的旋转综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数与三角形的面积问题 1.求交点坐标：先求出一次函数图像与坐标轴的交点，或几条直线之间的交点。这些交点就是三角形的 顶点。 2.确定底和高：观察顶点坐标，选择在坐标轴上或平行于坐标轴的边作为”底”。这样长度计算最简单。 另一条垂直于它的边就是”高”。 3.套用面积公式：计算出底和高的长度后，代入公式S=×底×高即可求出面积。 例1.(25-26七年级上山东淄博期末)如图，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,将直线AB沿 y轴向下平移至点C(O,-),与x轴交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足为E. y B A D (I)求直线CD的解析式： (2)求SBEc· 【变式1-1】(25-26七年级上山东泰安期末)如图，一次函数图象经过点A(-2,8),B(0,4),与x轴的交 点为C. 1/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个一次函数解析式： (2)若在x轴上有一点P,且△BCP的面积等于a0AC的面积的 ,求点P的坐标 【变式1-2】(25-26八年级上陕西渭南期末)如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+2的图象与x轴， y轴分别交于点A、B,与函数y= x+b(b为常数)的图象交于点C-2,m. B OA (①)求m和b的值： (②)函数y=写x+b的图象与x轴交于点D,点E从点A出发沿AD方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴负 方向运动，设点E的运动时间为t秒 ①当△DCE的面积为8时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在某一时刻t,使△ACE是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在， 请说明理由， 【变式13】(25-26七年级上山东济宁·期末)如图，已知一次函数y=2x+2与x轴相交于点A,与y轴交 于点B. (1)求出点A和点B的坐标. 2/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点C的坐标是1,0)， ①ABC是 三角形（按角分类）. ②点P是x轴上的点，若S△ABP= 2 请求出点P的坐标. ③在直线AB上是否存在点D,使得△BCD是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标，如果 不存在，请说明理由。 类型二、一次函数与三角形全等问题 1.求坐标是前提：利用一次函数解析式求出关键点的坐标。比如直线与坐标轴的交点，或两条直线的交 点。这些坐标是后续计算的基础。 2.计算边长或斜率：根据坐标计算三角形的边长。用”两点间距离公式”可算出边长。也可计算直线斜率 来判断角度关系。 3.运用全等判定：把计算得到的边长或角度关系，与全等三角形判定定理相对照。通过SSS、SAS、ASA等 定理判断两个三角形是否全等。 例2.如图，直线y=-3x+3与x轴和y轴分别交于A,B两点，射线AP⊥AB于点A,若点C是射线AP上 的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C,D,A为顶点的三角形与AOB全等，则OD的长为() y A.3或√10+1B.4或V10 C.3或V10 D.4或√10+1 【变式2-1】如图，直线y=2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A.若点C是射线 AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与AOB全等，则点D的坐 标为 B 【变式22】如图，一次函数y=3x+6的图象与x轴交于点4，与y轴交于点B,0C1AB于点C,点P在 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线AB上运动，点Q在y轴的正半轴上运动. Y C A (1)求点A,B的坐标： (2)求0C的长； (3)若以O,P,Q为顶点的三角形与△0CP全等，求点Q的坐标。 【变式2-3】(25-26八年级上广东揭阳月考)如图1，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴 交于点B,过点B作线段BC⊥AB且BC=AB,直线AC交x轴于点D. D 图1 图2 (1)求A,B两点的坐标； (2)求点C的坐标，并求出直线AC的函数关系式； (3)若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP,得到图2，当点P的纵坐标为3时，求△AOP的面积； (4若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点B,D,Q为顶点的三角形与△BCD全等 时，直接写出点Q的坐标 己知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A,B两点，点C3,0). 图1 图2 (I)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE,交y轴于点 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F.求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由： (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标. 类型三、一次函数与三角形存在问题 1.明确己知与未知：先确定题目中已给出的点和直线。明确要构造的三角形需要满足的条件。 例如，"以AB为边"或”面积为5"等。 2.分情况讨论：根据条件的不确定性进行分类。 若未指定底边，分别以不同线段为底进行讨论 若涉及等腰或直角三角形，要考虑不同顶点的可能性 3.代数化求解：设出未知点坐标，利用函数关系表示其坐标。 根据几何条件（如边长相等、面积公式、斜率关系）列出方程。 解出坐标后代回验证，确保符合题意。 3 例3.如图，在平面直角坐标系中，将直线y=二x+8向下平移2个单位长度得到直线1，且直线1与x轴、 y轴分别交于A,B两点 (1)求直线1的解析式及点A,B的坐标. (2M是x轴上的一个动点，要使以A,B,M为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请求出符合条件 的所有点M的坐标。 【变式3-1】如图，过点C的直线y-x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点C(x,y)是第二象限的点，设 △AOC的面积为S. 5/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围： (2)当△A0C的面积为6时，求出点C的坐标： (3)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点M,使得M与A、0、C中任意两点形成的三角形面积也为6， 若存在，请直接写出点M的坐标. 【变式3-2】如图，己知点C(6,0)是正方形AOCB的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点。 E (1)求点E的坐标和直线EC的解析式： (2)若△A0P的面积为21，求此时P点坐标： (3)若点P是直线EC在第一象限的一个动点，连接AP,是否存在点P,使△AOP为等腰三角形？若存在， 请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由， 类型四、 次函数中的折叠综合问题 1.利用折叠性质：折叠前后，对应线段长度相等，对应角相等。 折叠后，对应点的连线被折痕垂直平分。这是解题的关键。 2.坐标与函数结合：根据一次函数解析式，确定关键点坐标。 例如直线与坐标轴的交点，或折叠前后的对应点。 利用”两点间距离公式”计算线段长度，或利用中点坐标公式找到对称点。 3.方程思想求解：设出未知点的坐标，根据折叠的性质列出方程。 解方程求出坐标后，再代入函数解析式，得到最终答案。 6/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例4.(25-26八年级上山东烟台期末)如图.一次函数y=2r+8的图象与x轴、y轴分别交于点A,B ,将AOB沿直线CD对折，点A恰好与点B重合，直线CD与x轴交于点C,与AB交于点D B (1)求点C的坐标： (2)求四边形BOCD的面积. 【变式41】(2526七年级上山东济南期末)如图，在平面直角坐标系中，直线8：y=+3与x轴、) 轴分别交于点A、B,点C在x轴的负半轴上，若将ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的 点D处 VA ○ 图 备用图 (1)点A的坐标是 点B的坐标是 AB的长为 (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P,使。PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请 说明理由， 【变式4-2】(25-26八年级上·江苏连云港·期末)如图，已知长方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴 上，OA=16,OC=8,D、E分别为OA,BC上的两点，将长方形OABC沿直线DE折叠后，点A刚好与 点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平. 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA 备用图 (I)点B的坐标是 (2)求直线DE的函数表达式； (3)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动，运动时间为t秒， 当△PDE的面积是30时，求t的值 【变式4-3】(24-25八年级上四川成都期中)如图1，在平面直角坐标系x0y中，点0是坐标原点，直线 AB:y=kx+b与直线AC:y=-4x+4交于点A(1,2),两直线与x轴分别交于点B和C. B B O C B OC E 图1 图2 备用图 (1)填空：k=，b=，点B的坐标为； (②)点P是直线AB上一点，当PO+PC最小时，求三角形PAC的面积； (3)如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到ADE,线段AE交x轴于点F,若 △DEF为直角三角形，求点D坐标. 类型五、一次函数中的旋转综合问题 方法总结 1.抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2.斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数k≠0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 1.先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 8/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例5.(25-26八年级上·山东菏泽期末)【模型建立】 (1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌aCDA. 【模型应用】 (2)如图②，已知直线4：y=2x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线绕点A逆时针旋转45°至 直线的位置，求直线的函数表达式： 40 ① ② 【变式5-1】(25-26七年级上·山东泰安期末)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等 角的度数为90°，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必 定存在全等三角形. 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA.过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.试说明：△BEC≌△CDA; 【模型应用】如图2，已知直线y=2x+2与y轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象限作 等腰Rt△ABC,求点C的坐标及直线AC的表达式： 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y=-4x+4与y轴交于点P,与x轴交于点Q,将直 线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R.求△PQR的面积. D R B C 图1 图2 图3 【变式5-2】(25-26八年级上江苏南京月考)【模型建立】 (1)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于 9/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点D,过点B作BE⊥ED于点E. 求证： BEC≌ACDA; 【初步应用】 (2)将点A(3,2)绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为； 将点B(-3,4)绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点B,则点B坐标为 【解决问题】 (3)己知一次函数y=2x-4的图象为直线1，将直线1绕它与x轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线1， 则直线相应的一次函数表达式为一· 【综合运用】 (4)将函数y=-2x的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，最后再绕着坐标原点0逆时针旋转 90°，所得图象相应的函数表达式为· B E 【变式5-3】(25-26八年级上江苏苏州周测)【提出问题】 (1)将一次函数y=-2x+2的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； 【初步思考】 (2)将一次函数y=-2x+2的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式.数学 活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点A0,2),B(1,0),将它们沿着 x轴方向向左平移3个单位长度，得到点A,B的坐标分别为 B' ,从而求出 经过点A,B的直线对应的函数表达式为 【解决问题】 (3)已知一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B.将一次函数y=-2x+2的图象关于 x轴对称，所得图象对应的函数表达式为 【深度思考】 (4)图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： 10/16 专题10 一次函数与三角形综合问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数与三角形的面积问题 类型二、一次函数与三角形全等问题 类型三、一次函数与三角形存在问题 类型四、一次函数中的折叠综合问题 类型五、一次函数中的旋转综合问题 压轴专练 类型一、一次函数与三角形的面积问题 1.求交点坐标：先求出一次函数图像与坐标轴的交点，或几条直线之间的交点。这些交点就是三角形的顶点。 2.确定底和高：观察顶点坐标，选择在坐标轴上或平行于坐标轴的边作为"底"。这样长度计算最简单。另一条垂直于它的边就是"高"。 3.套用面积公式：计算出底和高的长度后，代入公式 S = ½ × 底 × 高 即可求出面积。 例1．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，将直线沿轴向下平移至点，与轴交于点，过点作，垂足为． (1)求直线的解析式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的平移性质、解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握一次函数的平移规律和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直线平移的性质，设出直线的解析式，代入点求解． （2）先确定点坐标，求出的长度；再结合直线斜率为得出角的特征，利用等腰直角三角形的性质求出高，最后代入三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：直线的解析式为，把代入得，， 故此直线的解析式为：； （2）解：∵直线与轴交于点 ，与轴交于点 ， ， 过点作于， ， 同理可得 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴的交点问题，准确求出一次函数的解析式为解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入，求出C点坐标，求出的面积，设，表示出，利用的面积等于的面积的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把点，分别代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得：， 即， ， 设， 的面积等于的面积的， ，即， 解得，或， 点坐标为或． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数（为常数）的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 ①当的面积为8时，求的值； ②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①或；②或2或4． 【分析】本题考查由一次函数交点求参数，两点间的距离公式，勾股定理，方程的应用，分类讨论是解题的关键； （1）先代入求出点C的坐标，再代入即可解答； （2）①先求出点A、D的坐标，设点的运动时间为秒，则，即，得，根据列方程解答即可； ②由①，，，， ，， 当A、C、E分别为顶点时进行讨论即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知与交于点， ∵， ∴， 将代入得， 解得， ∴，； （2）①解：当时，即 设点的运动时间为秒，则，即 当时，，解得， ∴，， 当的面积为8时， ， 即， 解得或； ②解：由①，，，， ∴，， 当A为顶点即时，是等腰三角形， ∴， 解得， 当C为顶点即时，是等腰三角形， ∴，即， 解得或（舍去） 当E为顶点即时，是等腰三角形， ∴即， 解得； ∴当或2或4时是等腰三角形． 【变式1-3】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理等知识． （1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③先排除和的情况，然后根据，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角； ②∵， ∴， ∴， ∴或即或； ③∵当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，当点D在点B的左边时，过点作于点E，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 当点D在点B的右边时，过点作于点F，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 综上可知，点的坐标为或． 类型二、一次函数与三角形全等问题 1.求坐标是前提：利用一次函数解析式求出关键点的坐标。比如直线与坐标轴的交点，或两条直线的交点。这些坐标是后续计算的基础。 2.计算边长或斜率：根据坐标计算三角形的边长。用"两点间距离公式"可算出边长。也可计算直线斜率来判断角度关系。 3.运用全等判定：把计算得到的边长或角度关系，与全等三角形判定定理相对照。通过 SSS、SAS、ASA 等定理判断两个三角形是否全等。 例2．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式2-1】如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2-2】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图：    则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是，直线的解析式是 (3) (4)或或． 【分析】本题主要考查了一次函数综合题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题． (1)根据一次函数的解析式求出直线与轴、轴交点的坐标即可； (2)过点作，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； (3)根据点的纵坐标是且在直线上，求出点的坐标，把看作三角形的底边，则三角形的高是点横坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出结果； (4)因为与有一条公共边，根据全等三角形的性质，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 由(1)可知点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 则有， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：点的纵坐标是且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 的面积是； （4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，， 点的坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作， 则有，， 当时， 可得：， 解得：， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当与关于轴对称时，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)E（，） (2)△AOB≌△FOD，理由见详解； (3)P（0，-3）或（4，1）或（，）. 【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可； (2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD； (3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答. (1) 解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H， 当y=0时，-3x+3=0， 解得x=1， ∴A（1，0）， 当x=0时，y=3， ∴OB=3，B（0，3）， ∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3， ∴D（-3，0）， ∵点E到两坐标轴的距离相等， ∴EG=EH， ∵EH⊥OC，EG⊥OC， ∴OE平分∠BOC， ∵OB=OC=3， ∴CE=BE， ∴E为BC的中点， ∴E（，）； (2) 解: △AOB≌△FOD， 设直线DE表达式为y=kx+b， 则， 解得：， ∴y=x+1， ∵F是直线DE与y轴的交点， ∴F（0，1），   ∴OF=OA=1， ∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°， ∴△AOB≌△FOD； (3) 解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3）， ∴点G（0，-3）， ∵C（3，0）， 设直线GC的解析式为：y=ax+c， ， 解得：， ∴y=x-3， AB==  ， 设P（m，m-3）， ①当AB=AP时， = 整理得：m2-4m=0，   解得：m1=0，m2=4， ∴P（0，-3）或（4，1）， ②当AB=BP时，= m2-6m+13=0, △＜0 故不存在， ③当AP=BP时， =， 解得：m=， ∴P（， ）， 综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，）， 【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理. 类型三、一次函数与三角形存在问题 1. 明确已知与未知：先确定题目中已给出的点和直线。明确要构造的三角形需要满足的条件。 例如，"以AB为边"或"面积为5"等。 2. 分情况讨论：根据条件的不确定性进行分类。 - 若未指定底边，分别以不同线段为底进行讨论 - 若涉及等腰或直角三角形，要考虑不同顶点的可能性 3. 代数化求解：设出未知点坐标，利用函数关系表示其坐标。 根据几何条件（如边长相等、面积公式、斜率关系）列出方程。 解出坐标后代回验证，确保符合题意。 例3．如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 【变式3-1】如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，      ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 【变式3-2】如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 类型四、一次函数中的折叠综合问题 1.利用折叠性质：折叠前后，对应线段长度相等，对应角相等。 折叠后，对应点的连线被折痕垂直平分。这是解题的关键。 2.坐标与函数结合：根据一次函数解析式，确定关键点坐标。 例如直线与坐标轴的交点，或折叠前后的对应点。 利用"两点间距离公式"计算线段长度，或利用中点坐标公式找到对称点。 3.方程思想求解：设出未知点的坐标，根据折叠的性质列出方程。 解方程求出坐标后，再代入函数解析式，得到最终答案。 例4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图．一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，将沿直线对折，点恰好与点重合，直线与轴交于点，与交于点． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)44 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，折叠的性质，勾股定理，解方程，三角形的面积公式； （1）连接，求出点和点的坐标，由折叠的性质得，设，根据勾股定理 列方程求解即可； （2）求出和，根据折叠的性质得，由即可解答． 【详解】（1）解：连接， 当时，； 当时，，解得； ∴点的坐标为，点的坐标为， 即，， 由折叠的性质可知：垂直平分， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 即四边形的面积是44． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______； (2)求点的坐标； (3)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；5 (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①若 ；②若；③若；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可. 【详解】（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为：，，5； （2）解：由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，，则， 解得：， ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若， 如图，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ∴，， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作轴交轴点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为，上的两点，将长方形沿直线折叠后，点刚好与点重合，点落在点处，再将其打开、展平． (1)点的坐标是__________； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动，运动时间为秒，当的面积是30时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）根据，，知． （2）设，则，可得，解得，故，，证明，知，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （3）分当时，P在线段上，当时，P在线段上，当时．P在线段上三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据翻折的性质可得，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （3）解：，，， 当时，P在线段上， ， ， 解得； 当时，P在线段上，如图： 此时， ，，， ， 解得：； 当时．P在线段上，如图： ， 由题意得， 解得：，（不符合题意舍去）； 综上所述，的值为或或． 【变式4-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． (1)填空：_____，_____，点的坐标为_____； (2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积； (3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点或 【分析】（1）把点的坐标代入，求得的值，进而将以及代入求解即可． （2）设与轴交于点，根据直线解析式分别求得的坐标，勾股定理得出，进而可得是等腰三角形，进而根据点是的中点，根据三线合一可得垂直平分，得出点的位置，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3），，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将代入 得，解得， 故直线的解析式为． 把，代入，得，解得， ∵直线的解析式为； 当时，，解得： ∴点的坐标为 故答案为：，，． （2）解：如图，设与轴交于点， ∵直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴， ∴，，的中点为 又∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴ ∴ 又∵点是直线上一点， ∴当点为直线与轴的交点时最小 ∵直线的解析式为； 当时， ∴ ∵ ∴ （3）解：设点，如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，， ∴， ∴，， 解得， 故点； 如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，，， 解得， 故点； 综上所述，点或． 类型五、一次函数中的旋转综合问题 方法总结 1. 抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2. 斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数(k ≠ 0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 1. 先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 2. 点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）【模型建立】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】 （2）如图②，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线的位置，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明，进而用即可证明； （2）作交直线于点，作轴于点，由旋转得，则，由（1）可得，求解两点坐标，得到长度，确定坐标，设直线的函数表达式，把代入，求解即可． 【详解】（1）证明： 于点 于点， ，， ， 又， ； （2）解： 如图，作交直线于点，作轴于点， 由旋转得：， ， ， ∴由（1）同理可得， ， 直线，当时， 则， 解得； 当时，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 把代入， 得 ， 解得 ， 直线的函数表达式为． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． 求证：≌； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______； 将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______． 【综合运用】 （4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4） 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）利用（1）的结论判断出，，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）先求出点，的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可得出结论； （4）先求出平移后的直线的解析式，再借助（2）的方法得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ，， 同（1）的方法知，， ，， ， 同求点的方法得，， 故答案为，； （3）解：如图， 令，则， ， ，令，则， ， ， ， 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于， 同（2）的方法得，， ，， ， 点绕点逆时针旋转的对应点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：； （4）解：如图， 直线先向上平移个单位的解析式为，再向左平移个单位的解析式为，得到直线的解析式为， 取直线的一点， 绕着坐标原点逆时针旋转， 同的方法得，直线上的点绕原点逆时针旋转的对应点， 设旋转后的直线的解析式为， ， ， 旋转后的直线的解析式为， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若直线与直线相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，两条直线在x轴上相交，先求出交点坐标，再确定参数b的值，接着找到两直线与y轴的交点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线于x轴的交点为， ∵该点也在直线上， 代入得，解得， ∴直线方程为． ∵直线与y轴交点为时，，即． 直线与y轴交点为时，，即． ∴三角形的三个顶点为、和． ∴三角形的； 故选A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何图形面积问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据两点求得函数解析式，再求出点坐标，即可求得答案． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将两点坐标代入，得：， 解得： ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为4，且在线段上， ∴ ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式等，先根据一次函数解析式求出点的坐标，进而由勾股定理和折叠的性质求出，再利用勾股定理求出点的坐标，最后利用待定系数法解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式是， 故选：． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题. 求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·期中）直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点是直线上的一点，过点P作的垂线与x轴，y轴分别交于E，F两点，若与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质．先求得A，B两点的坐标，分两种情况讨论，画出图形，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】解：令，则； 令，则，解得； ∴A，B两点的坐标分别为，， 如图，， 则，， ∴E，F两点的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点P的坐标为； 如图，， 同理，E，F两点的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 三、解答题 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与过点的直线交于点，与轴、轴分别相交于点和点． (1)求直线的表达式； (2)连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，则可得，再根据三角形的面积等于求解即可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点代入得：，解得， 所以直线的表达式为． （2）解：如图，连接， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴三角形的面积为． 10．（22-23八年级下·广东梅州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点 ，，．    (1)求 （求四边形 的面积）． (2)若 轴上存在一点 ，使 （三角形 的面积），求出点 坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过 作 轴于 ，根据已知得，，，，从而可得 ，进行计算，即可解答； （2）根据已知可设 ，再根据已知易得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过 作 轴于 ．   ，，， ，，，， ， ， ， ． （2）设 ． ，， ， ， ， ， 或 ， 或 ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 12．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，一次函数、为常数，且与正比例函数，交于点，与坐标轴分别交于点和点， (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)已知过点的直线将三角形的面积分成，求该直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）根据题意得出，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得点的坐标为，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则分两种情况讨论，分别求得，，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）由题意，联立，解得， 点的坐标为， ∴； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则 ①当，时，点，此时的解析式为； ②当，时，点，此时的解析式为； 综上所述，此时的解析式为或． 13．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，直线：分别交轴，轴于点， ． (1)直接写出，两点的坐标； (2)若经过点的直线交轴正半轴于点， 且，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，问：直线上是否存在一点，使的面积为？ 如果存在，请求出所有满足要求的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积； （1）分别令，即可求解； （2）过点作⟂交于点，过点作⟂轴，作⟂，⟂．证明得出，再待定系数法求解析式，即可求解； （3）设，根据（2）得出，进而得出，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，当时， ∴， （2）解：如图，过点作⟂交于点，过点作⟂轴，作⟂，⟂． ， 为等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， ， ∴ 设直线为 则， 解得∶ ∴ （3）解：由（2）得直线为 ∴ ∴ 设,则 解得：或 ①当点在直线下方时， 即 ②当点在直线上方时， 即P 综上，P点坐标为或时，的面积为． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，勾股定理；，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直线中，分别令，确定B、A坐标，得到，再运用勾股定理计算即可； （2）根据折叠的性质确定的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设，根据列方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，即， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：由翻折得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：设， ∵，，，，且， ∴， 解得：或12， ∴点P坐标为或． 15．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 16．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $