专题09 待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题09 待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 类型四、已知两点求一次函数的表达式 类型五、两直线平移，求直线的表达式 类型六、两直线旋转，求直线的表达式 压轴专练 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 方法总结 1. 设代求k：设正比例函数为y = kx，将已知点坐标 (x0, y0) 代入，得k =(x0≠0）。 2. 回代得解析式：将求出的k值代回y = kx，即得函数表达式。 解题技巧 1. 检查x0：确保已知点横坐标不为 0，否则无法确定正比例函数（此时点为原点）。 2. 化简分数：若k为分数，保留最简形式，便于后续应用。 例1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知正比例函数的图像过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)已知点在这个正比例函数的图像上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）把点A代入解析式，即可求出a的值． 【详解】（1）把点代入，解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）把点代入，则 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知y是x的正比例函数，当时，． (1)求这个函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知自变量值求函数值，已知函数值求自变量值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点代入函数解析式得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数， ∴设 ∵当时， ∴， 解得：， ∴这个函数的解析式为； （2）解：∵点是该函数图象上的一点， ∴， 解得：． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把点坐标代入（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴点的坐标是． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知正比例函数（为常数，且）经过点． (1)求该正比例函数的解析式； (2)判断点是否在该正比例函数的图像上． 【答案】(1) (2)点不在该正比例函数的图像上 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式、正比例函数的性质等知识，正确求得该函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，求得的值，即获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴该正比例函数的解析式为； （2）当时，， ∴点不在该正比例函数的图像上． 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 方法总结 1. 代点求未知：将已知点坐标代入y=kx+b，得到一个关于k或b的方程。 2. 结合条件解：若求k，需已知b或另一条件；若求b，需已知k或直线特性（如过原点）。 解题技巧 1. 明确目标：分清是求k还是b，缺啥补啥条件。 2. 代入即得：直接代入坐标，方程即出，无需额外变形。 例2．（25-26八年级上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图像上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）将代入（1）所得的函数解析式求得a的值，进而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入中得：，解得：， ∴函数表达式为． （2）解：将代入中，得，解得． ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）求得和时的函数值，结合一次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， ． （2）解：一次函数的函数表达式为， 当时，；当时，， ， 随的增大而减小， 当时，的取值范围为． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）点在一次函数的图像上． (1)求k的值． (2)判断是否在这个一次函数图像上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点Q在图像上 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将点的坐标代入函数解析式求解k的值； （2）将点的坐标代入函数解析式验证是否成立． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：由（1）知函数解析式为， 当时，， 因此点Q在图像上． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数的最大值与最小值的差为 (3)不变，定值为 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）将点坐标代入解析式即可求出结果； （2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； （3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ，解得． （2）解：∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2， ∴函数的最大值与最小值的差为． （3）解：定值为，理由如下： ∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴最大值与最小值的差为：． 类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 方法总结 1. 设比例式：根据题意设y + m = k(x + n)（其中m、n为常数），k≠ 0。 2. 代点求k：代入一组对应x、y值求出k，再整理成y关于x的函数表达式。 解题技巧 1. 化标准形式：最后结果要写成y = kx + b的形式，便于应用。 2. 注意常数项：原式中m、n可能需移到等号一侧再整理。 例3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，一次函数的增减性，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得y随x的增大而增大，再求出时和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知与成正比例，且时，． (1)求与的函数关系式． (2)当时，的值为多少？当时，的值为多少？ 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了自变量的定义，求一次函数解析式，求函数值或自变量的值． （1）根据正比例定义，设，利用已知点求，得到函数关系式； （2）将，分别代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：与成正比例 设 将，代入得 即 （2）当时， 当时， 解得 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意设，则，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答； （2）根据（1）中的结论，把代入计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ， ， 当时，；当时，． ， 解得， ； （2）解：当时，． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意设，代入，，求出，写出与之间的函数表达式； （2）将时代入解析式，求的值； （3）分别求出当和时，对应的的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，，即， 解得， ， ； （2）解：当时，； （3）解：令，即，解得， 令，即，解得， 对于一次函数， ， 随的增大而增大， 当时，． 类型四、已知两点求一次函数的表达式 方法总结 1. 待定系数法：设一次函数为y = kx + b，将两点坐标(x1, y1)、(x2, y2) 代入得方程组。 2. 解k、b：解方程组求出k与b，代回即得解析式。 解题技巧 1. 先求k：用公式k = 直接得斜率，再代入一点求b。 2. 验算无误：求出解析式后，用另一点代入验证是否满足。 例4．（25-26八年级上·山东青岛·周测）一次函数的图象经过，两点． (1)求函数表达式； (2)求此图象与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查一次函数，涉及待定系数法，三角形面积等知识，本题属于中等题型． （1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求得一次函数的图象与坐标轴的交点，根据三角形的面积即可求出答案． 【详解】（1） 解：设一次函数的解析式为：， 将，代入， ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：令，可得， 解得， 则直线与轴的交点为， 令，可得， 则直线与轴的交点为， 所以此图象与坐标轴围成的三角形面积为． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)若点，在一次函数的图象上，．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式． ()设一次函数解析式为，然后用待定系数法求解； ()根据函数的增减性列出关于的不等式求解； 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把代入， 得 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）一次函数的图象经过点，点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）把点代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，点， ∴，解得：， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：把点代入（1）中函数解析式得： ， 解得：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确解方程组是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）把代入得出y的值，进而判断得出答案； （3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再运用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 所以该一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 所以点在该函数图象上； （3）解：对于直线， 当时，；当时，，即， ∴直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为． 类型五、两直线平移，求直线的表达式 方法总结 1. 上下平移：y = kx + b向上平移m个单位得y = kx + b + m，向下平移m个单位得y = kx + b - m。 2. 左右平移：向左平移m个单位得y = k(x + m) + b，向右平移m个单位得y = k(x - m) + b。 解题技巧 1. 左加右减x：左右平移只改变x，口诀“左加右减”是对x本身操作。 2. 上加下减常数：上下平移直接加减常数项b。 例5．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行． (1)求该一次函数的解析式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)点不在此函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴， ∴该一次函数解析式为； （2）解：点不在此函数图象上，理由如下： 在中，当时，， ∴点不在此函数图象上． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为一次函数图象上一点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，一次函数的图象上点的坐标特征及一元一次方程的解法． （1）一次函数平移时，k不变，即函数的形式为，根据题意将点A代入，解方程可求得b的值，进而确定函数表达式； （2）点P在函数图象上，因此点P坐标满足函数表达式，将点P代入得到一个含m的一元一次方程， 求解m的值即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，可知， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵点在的图象上， ∴， 解得． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）将正比例函数经过平移得到一次函数的图象，且一次函数经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在函数的图象上，求值． 【答案】(1)一次函数的解析式为； (2)的值为． 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正比例函数经过平移得到一次函数的图象，则有，然后把点代入即可求解； （）把代入函数即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数经过平移得到一次函数的图象， ∴， ∵一次函数经过点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴的值为． 【变式5-3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线平行且经过点． (1)求与x之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行得到，然后将代入求解即可； （2）首先判断出随的增大而增大，然后将代入即可求出最小值． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ，则， 把点代入，得， 解得． 与之间的函数表达式为； （2）解：在一次函数中，， 随的增大而增大， 当时，的值最小，最小值为． 类型六、两直线旋转，求直线的表达式 方法总结 1. 定点旋转：绕直线上某点旋转，该点坐标不变，利用旋转角与斜率关系（如垂直k1× k1 = -1）求新k。 2. 绕原点旋转：点(x,y)绕原点旋转角后用旋转变换公式求新坐标，再确定新直线方程。 解题技巧 1. 抓旋转中心：中心点坐标在旋转前后不变，是列方程的关键。 2. 斜率转化：旋转90°时，新斜率与原斜率互为负倒数（原斜率不为 0）。 例6．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，把直线绕点旋转，则直线旋转后的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，掌握以上知识的综合运用，图形结合是解题的关键． 根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点的坐标，可求出的长，由题意可得绕点旋转得到．根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 则，， ∵直线AB绕点旋转， ∴绕点旋转得到． ①绕点顺时针旋转得，，如图所示， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； ②绕点逆时针旋转得，，如图所示， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为． 【变式6-1】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【变式6-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可． 【详解】解：随的增大而增大， 一次项系数大于0，排除选项C，D， 对于，当时，， 的图象不经过点，排除选项A； 对于，当时，，B选项符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）将一次函数向下平移3个单位长度后得到，则该一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键；根据一次函数平移规律，原函数向下平移3个单位后，解析式为，与平移后的函数对比，即可求出原函数的表达式． 【详解】解：一次函数向下平移3个单位后，解析式变为． ∵平移后的函数为， ∴，， 解得． 将和代入原函数，得， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键． 根据题意得出一次函数经过点，进而求出即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位， ∴一次函数的图象经过点，即点， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴此函数表达式是． 故选：B 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与x轴交点为，与y轴交点为,再中心对称的性质得出这两个点关于原点的对称点为，，在利用待定系数法求出旋转以后的直线的表达式即可．本题主要考查了关于坐标原点对称的点的特征． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∴由，得时，；时，； ∴直线与x轴交点为，与y轴交点为, 这两个点关于原点的对称点为，， 设直线绕坐标原点旋转后得到直线为， 则， 解得， ∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为． 故选：B 二、填空题 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，该直线的表达式是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，利用k、b表示出的面积是解题的关键． 设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则用b可表示B的坐标，从而可表示出的面积，则可求得k、b的值即可解答． 【详解】解：设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∵直线经过点， ∴， ∴，即， 在中，令可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：或， ∴或， ∴直线表达式为或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟悉掌握一次函数解析式的求法是解题的关键． 利用周长分析出点的坐标，再利用待定系数法运算求解即可． 【详解】解：∵轴于，轴于， ∴四边形为矩形， ∵四边形的周长为， ∴， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、点B，P是上的一点，若将沿折叠，使点B恰好落在x轴上的点处，则直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 由解析可得、，根据勾股定理，中，构建方程求解得，于是，然后运用待定系数法建立方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，, ∴ ∴，， ∴， 由折叠知，， ∴． 在中，， ∴，解得∶． ∴ 设直线的解析式为，得 ，解得， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，把绕点旋转后得到△，直线的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，先确定一次函数与坐标轴的交点A和B的坐标，再分绕点A顺时针旋转90度和绕点A逆时针旋转90度这两种情况，分别确定对应情形下点的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数关系式即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴； 如图所示，当把绕点顺时针旋转后得到△时， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为3，即点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 如图所示，当把绕点逆时针旋转后得到△时， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． 则，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：令，解得，将代入，则， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标和， 根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下： 两坐标轴围成的三角形面积为． 10．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据成正比例的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到y与x的函数表达式； （2）利用（1）中的解析式，把代入求解即可． 【详解】（1）设， 把，代入得， 解得， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）当时，， 解得， 即x的值为． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，结合，求出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 因为直线过点，点， 所以， 解得， 所以直线的表达式为． （2）解：设点的坐标为， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标是． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用函数交点坐标求函数表达式以及利用分割法求三角形面积。 （1）先将点代入直线的解析式求出的值，再将点代入直线的解析式求出的值，从而得到直线的函数表达式； （2）先求出点、的坐标，再求出直线的解析式，然后求出的面积。 【详解】（1）解：将点代入，得，所以， 将代入，得， 所以直线的函数表达式为； （2）将代入，得，所以． 将代入，得，所以． 如图，设直线与轴交于点，将代入，得， 所以，所以， 所以 ． 13．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为5得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴ 解得， ∴； （2）解：设点C的坐标为，则， ∵的面积为5， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，将折叠，使点O落在上点D处，折痕交于C (1)求直线的表达式； (2)求点D的坐标； (3)将沿着射线方向平移，点D落到点E处（点E不与点D重合）．若是直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查一次函数与三角形的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称，等腰三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，根据勾股定理，可得，则，，求出，则点的坐标为，设直线的表达式为，将分别代入，即可解答； （2）过点D作轴于点E，先求出，由，可得，根据勾股定理，求出，则，即可解答． （3）分类讨论：①当时，②当时，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：由得， ， 由折叠，得 ， ∴，，， ∴，， 即， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，将分别代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为． （2）过点D作轴于点E，如图 由（1）有，， ∵， 即， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （3）过点D作，交x轴于点F，如图，由题意，可知点E在射线上， 则有， 设直线的解析式为，将代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为． ①当时，延长交直线于点M，如图 ∴， 由将沿着射线方向平移，点D落到点E处，，可知 平移后的三角形为，点B的对应点为C，点D的对应点为E， ∵点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到， ∴点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到； ②当时，点E的横坐标与点A横坐标相同，即， 将代入，得 ， ∴． 综上所述，点E点坐标为或． 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键． （1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴, ∵ ∴， ． 把代入，得， 解得, 该一次函数的表达式为． （2）解：由（1）知：，， ， ， 解得， 点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，解得， 直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D． 由（2）知，． ， 即 ． 在和中， ， ． 设点N的坐标为，则点M的坐标为． 将点M的坐标代入，得，解得， 点N的坐标为． 把点N的坐标代入得：， ∴． 16．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． (1)求点的坐标． (2)求折痕所在直线的函数表达式． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点P，使的面积为12，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，即可得到点的坐标； （2）设，则，而，在中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，由的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵四边形为长方形， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）设，则， 而， 在中，， 即， 解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得，，解得， ∴直线的解析式为； （3）存在，理由： 当点P在x轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 17．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 类型四、已知两点求一次函数的表达式 类型五、两直线平移，求直线的表达式 类型六、两直线旋转，求直线的表达式 压轴专练 典例详解 类型一、已知一点求正比例函数的表达式 方法总结 1设代求：设正比例函数为y=a,将已知点坐标w代入，得k安≠0)。 2.回代得解析式：将求出的k值代回y=,即得函数表达式。 解题技巧 1.检查o:确保已知点横坐标不为0，否则无法确定正比例函数（此时点为原点）。 2.化简分数：若k为分数，保留最简形式，便于后续应用。 例1.(25-26八年级上江苏盐城月考)已知正比例函数y=x的图像过点Q1,2). ()求这个正比例函数的表达式： (2)已知点A(-2,a)在这个正比例函数的图像上，求a的值. 【变式1-1】(24-25八年级下陕西安康期末)己知y是x的正比例函数，当x=8时，y=4. (I)求这个函数的解析式： (2)若点(2m+1,3)是该函数图象上的一点，求m的值. 【变式1-2】(24-25八年级上广东梅州期中)已知正比例函数y=x的图象经过点1,2). (①)求这个正比例函数的表达式： 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若这个图象还经过点A(a,8),，求点A的坐标. 【变式1-3】(24-25八年级下·陕西渭南期末)己知正比例函数y=c(k为常数，且k≠0)经过点(2,6). ()求该正比例函数的解析式： (2)判断点(3,10)是否在该正比例函数的图像上. 类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 方法总结 1.代点求未知：将已知点坐标代入y=+b,得到一个关于k或b的方程。 2.结合条件解：若求k,需已知b或另一条件；若求b,需已知k或直线特性（如过原点）。 解题技巧 1.明确目标：分清是求k还是b,缺啥补啥条件。 2.代入即得：直接代入坐标，方程即出，无需额外变形。 例2.(25-26八年级上·安徽期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4(k≠0)的图像经过点(-1,6). (①)求该函数的表达式： (2)若点P(a+4,2a在该函数图像上，求点P的坐标， 【变式2-1】(25-26八年级上浙江嘉兴期末)已知一次函数y=ax+1的图象经过点(1，-3). (1)求a的值. (2)当-1<x<3时，求y的取值范围. 【变式2-2】(25-26八年级上浙江绍兴月考)点P(-1,-4)在一次函数y=kx-2的图像上 (1)求k的值 (2)判断Q2m,4m-2)是否在这个一次函数图像上，并说明理由. 【变式2-3】(25-26八年级上浙江杭州期末)已知一次函数y=kx+6k≠0的图象经过点A2,2). (I)求k的值： (2)当-2≤x≤2时，求函数y的最大值与最小值的差： (3)当m-2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差是否会随着m的变化而变化？若不变，则求出这个 定值；若变化，请说明理由。 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 方法总结 1.设比例式：根据题意设y+m=x+n（其中m、n为常数)，k≠0。 2.代点求k:代入一组对应x、y值求出k,再整理成y关于x的函数表达式。 解题技巧 1.化标准形式：最后结果要写成y=c+b的形式，便于应用。 2.注意常数项：原式中m、n可能需移到等号一侧再整理。 例3.（25-26八年级上浙江金华期末)已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=8 ()求y关于x的函数表达式. (2)当-2≤x≤8时，求y的取值范围. 【变式3-1】(25-26八年级上山东青岛周测)己知y与4x-2成正比例，且x=1时，y=-4. (I)求y与x的函数关系式 (2)当x=2时，y的值为多少？当y=6时，x的值为多少？ 【变式3-2】(25-26八年级上江苏盐城月考)己知y=y+y2,其中片与x成正比例，与x-2成正比例， 且当x=-1时，y=2;当x=2时，y=5. (I)求y与x之间的函数表达式： (2)求当x=-2时，y的值。 【变式3-3】(25-26八年级上江苏苏州周测)已知y+1与x-3成正比例，且当x=2时，y=-3 (I)写出y与x之间的函数表达式： (2)当x=-3时，求y的值； (3)若y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围. 类型四、已知两点求一次函数的表达式 方法总结 1.待定系数法：设一次函数为y=+b,将两点坐标(x1,y)(,2)代入得方程组。 2.解k、b:解方程组求出k与b,代回即得解析式。 解题技巧 1. 先求：用公式k=受直接得斜率，再代入一点求。 2.验算无误：求出解析式后，用另一点代入验证是否满足。 例4.(25-26八年级上山东青岛周测)一次函数的图象经过M(3,2),N(-1,-6)两点. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()求函数表达式： (②)求此图象与坐标轴围成的三角形面积. 【变式4-1】(25-26八年级上江苏扬州月考)己知一次函数的图象经过点A(-8,0),B(0,6). (1)求一次函数的表达式： (2)若点C2a,y),D(1-a,y2)在一次函数的图象上，<y2.求a的取值范围. 【变式4-2】(25-26八年级上·浙江湖州期末)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A1,4),点B(-1,2) (1)求该一次函数的表达式： (②)若点(3m,9在该函数图象上，求m的值. 【变式4-3】(25-26八年级上江苏·期末)己知一次函数y=x+b的图象经过点A1,3)和B(-1,-1). (①)求该一次函数的表达式： (2)判断点C(2,5)是否在该函数图象上： (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积. 类型五、两直线平移，求直线的表达式 方法总结 1.上下平移：y=a+b向上平移m个单位得y=a+b+m,向下平移m个单位得y=+b-m。 2.左右平移：向左平移m个单位得y=x+m)+b,向右平移m个单位得y=x-m)+b。 解题技巧 1.左加右减x:左右平移只改变x,口诀“左加右减”是对x本身操作。 2.上加下减常数：上下平移直接加减常数项b。 例5.(24-25八年级上·北京期末)已知一次函数y=c+b的图象经过点A-2,-1),且与直线y=2x平行. (1)求该一次函数的解析式： (2)试判断点(1,4)是否在此函数图象上，说明理由 【变式5-1】(25-26九年级上·安微马鞍山期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象是由一次 函数y=-x+2的图象平移得到的，且经过点A(2,3). (I)求一次函数y=c+b的表达式： 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点P(2m,-3m+1)为一次函数y=c+b图象上一点，求m的值 【变式5-2】(24-25八年级下·河北沧州月考)将正比例函数y=-x经过平移得到一次函数y=x+b的图象， 且一次函数经过点A(2,3) (I)求一次函数y=cx+b的解析式： (2)若点B(2a,4a-1)在函数y=x+b的图象上，求a值 【变式5-3】(25-26八年级上·安徽准北期末)在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线%=5x-3平行 且经过点1，-2. (I)求乃与x之间的函数表达式： (2)当-1≤x≤4时，求函数值y的最小值 类型六、两直线旋转，求直线的表达式 方法总结 1.定点旋转：绕直线上某点旋转，该点坐标不变，利用旋转角与斜率关系（如垂直%×k=-1)求新k。 2.绕原点旋转：点(x,y)绕原点旋转日角后用旋转变换公式求新坐标，再确定新直线方程。 解题技巧 1.抓旋转中心：中心点坐标在旋转前后不变，是列方程的关键。 2.斜率转化：旋转90°时，新斜率与原斜率互为负倒数（原斜率不为0）。 例6.(24-25八年级下·上海崇明·期中)如图，已知直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,把直 线AB绕点A旋转90°，则直线AB旋转后的表达式为 【变式6-1】(24-25九年级下·江苏无锡期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与坐标轴分别交 于A,B两点，将直线AB绕点A逆时针方向旋转45°，则旋转后的直线与x轴的交点坐标为_ 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 0 【变式6-2】(25-26八年级上江西吉安·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x一3的图象分别 交x轴，y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C,求直线BC的函数表达式. A B 【变式6-3】(25-26七年级上·全国·课后作业)把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长 度，就得到函数y=2x+3或y=2x-3的图象. 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数 表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数y=-2x的图象上任意取两个点A、B,分别向右平移3个单位长度，得 到A、B,直线A'B'就是函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象， 请你帮助小尧解决他的困难， (1)将函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 【解决问题】 (2)已知某一次函数的图象与直线y=-2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式， 【拓展探究】 (3)一次函数y=-2x的图象绕点(2,3)逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 (直接写结果) 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 备用图 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国课后作业)某一次函数的图象经过点(-2,1，且y随x的增大而增大，则这个函数 的表达式可能是() A.y=3x+5 B.y=2x+5 C.y=-3x+1 D.y=-2x+4 2.(24-25八年级下·吉林长春·期中)将一次函数y=x+b向下平移3个单位长度后得到y=2x+4,则该一 次函数的表达式是() A.y=5x-7 B.y=2x+7 C.y=-x-1 D.y=2x+1 3.(25-26八年级上·全国·课后作业)一次函数y=+b的图象经过点A2,5),每当x增加1个单位时，y 就增加4个单位，则此函数表达式是() A.y=-4x-5 B.y=4x-3 C.y=4x+1 D.y=4x-1 4.(24-25九年级下陕西西安期中)直线y=2x-3绕坐标原点旋转180°后得到直线() A.y=-2x-3B.y=2x+3 C.y=2x-3 D.y=-2x+3 二、填空题 5.(23-24八年级上·四川达州·期末)己知直线y=c+b经过点(-2,0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积 为6，该直线的表达式是 6.(24-25八年级下·河北唐山期末)如图，直线1与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，P在线段 AB上（不包括端点），过点P作PD⊥x轴于D,PE⊥y轴于E,四边形PDOE的周长为8，则直线I的函 数表达式是。 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E OD D。(2425八年级上：山东枣庄期末)如图，直线y=x+8与x轴，y轴分别交于点A、点B,P是0B上的 一点，若将△PAB沿AP折叠，使点B恰好落在x轴上的点B处，则直线AP的表达式是 V= x+8 B 4 8.(25-26八年级上江苏泰州·月考)一次函数y=-4x+4的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点，把 3 AOB绕点A旋转90°后得到△AO'B',直线BB'的函数表达式为_， 三、解答题 9.(24-25八年级下·湖南长沙期末)一次函数y=kx+bk≠0)的图象经过点(-1,1和点(2,7). (1)求一次函数的表达式： (②)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积. 10.(24-25八年级下，河北邯郸期末)已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4. (I)求y与x之间的函数表达式； (2)当y=-6时，求x的值. 11.(2025八年级上全国专题练习)如图，直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2). (1)求直线AB的表达式： (2)若直线AB上的点C在第一象限，且Soc=2,求点C的坐标。 2 12.(2025八年级上全国专题练习)如图，直线m:y=三x+a与x轴交于点A,直线n:y=-2x+5与y轴 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交于点B,与直线m交于点C(b,-1,连接AB B C (1)求直线m的函数表达式： (2)求ABC的面积 13.(24-25八年级下·河南开封·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+b的图象与坐标轴 分别交于A,B两点，已知A-2,0),且20B=50A. y=kx+b y (1)求一次函数的表达式； (2)当x轴上有一点C,使得ABC的面积为5，求点C的坐标. 14.(24-25八年级上·上海阶段练习)如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3),将A0B折叠，使点O 落在AB上点D处，折痕交OA于C D A (I)求直线BC的表达式： (2)求点D的坐标： (3)将△BCD沿着射线BC方向平移，点D落到点E处（点E不与点D重合）.若△ACE是直角三角形，直 接写出点E的坐标。 15.(24-25八年级上安徽毫州期末)如图1，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别交于点A4,0),B,点E为y轴负半轴上一点，且0A=20B,SA4BE=12, 图1 图2 (1)求该一次函数的表达式： (2)求直线AE的函数表达式： (3)如图2，直线y=mx交直线AB于点M,交直线AE于点N,当SAOEN=2 SOBM时，求m的值. 16.(24-25八年级下·江西赣州阶段练习)如图，长方形0ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为 原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10,OC=6,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后， 点B落在x轴上，记作点B. ---,B B' A (1)求点B的坐标 (②)求折痕CM所在直线的函数表达式. (3)在坐标轴上是否存在一点P,使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。 17.(25-26八年级上全国期末)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=-x+5与y轴、x轴分别交于 AB两点，直线与y轴交于点C(0,4,与1交于点D(3,2) 10/12