专题08 一次函数中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题08 一次函数中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1. 定义条件：一次函数必须满足y = kx + b ( k≠ 0)，且x次数为1，是整式形式. 2. 列式求解：根据x指数为1、系数k≠ 0，列出关于参数的方程与不等式求解. 解题技巧 1. 系数非零：确保k（x 的系数）不为0，此为易忽略条件. 2. 化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y = kx + b再判断 例1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）当 时，关于x的函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件．根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数 ∴且， ∴ 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·周测）若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解：由是一次函数，得，且， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得 且，解得或，然后代入判断即可，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由一次函数定义，得 且， 解得或， 当 时，，不符合条件； 当时，，符合条件； ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 方法总结 1. 图象定位：根据图象经过的象限、与坐标轴的交点位置，确定k与b的符号或取值范围。 2. 性质列式：利用增减性（k正负）、平行（k相等）、过定点等条件，列出关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 画图助判：画出符合图象特征的草图，直观判断k、b的正负。 2. 代入验证：求出参数后，代回原函数验证是否满足图象与性质要求。 例2．（25-26八年级上·山东青岛·周测）函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，由正比例函数图象在第二、四象限可得，再分析一次函数图象所经象限，即可求解． 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限 ，， 一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若点，在一次函数（a为常数）的图像上，且，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于一次函数，其斜率， 故该函数随x的增大而增大， ∵， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的增减性得到关于的不等式． 根据一次函数的增减性得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数（为常数且），当自变量时，函数值的最大值为6，则的值 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，分别求的值． 【详解】解：当时，函数随的增大而增大， 因此当时，取得最大值， 代入得， 解得； 当时，函数随的增大而减小， 因此当时，取得最大值， 代入得， 解得； 故答案为：或． 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 方法总结 1. 参变分离：将函数解析式整理成y=k(a)x+b(a)形式，明确参数如何影响k和b。 2. 动态分析：根据参数的变化范围，讨论k、b的符号变化，从而确定图象的象限分布、增减性等。 解题技巧 1. 抓临界值：令参数取特殊值（如a=0、边界点），观察函数图象的突变情况。 2. 分类讨论：当参数导致k或b符号不确定时，需按不同符号范围分类讨论。 例3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．它的图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．它的图象必过点 D．它的图象与轴的交点为 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，分析各个选项即可． 【详解】解：∵函数为，其中，， 对于A：图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； 对于B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 对于C：当时，，∴图象过点，故C正确； 对于D：当时，，∴与y轴交点为，故D错误； 故选C． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）关于一次函数的图象与性质，下列说法中正确的个数是（   ） ①随的增大而增大；②当时，该图象与函数的图像是两条平行线；③不论取何值，图象都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的增减性由k的符号决定、两直线平行需k相同且b不同、图象必过象限由k的符号决定、不经过第四象限需且，由此问题可求解． 【详解】解：∵函数中，，， ①∵，∴y随x的增大而增大，正确； ②当时，，与的k相同但b不同，∴图象平行，正确； ③∵，∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，正确； ④若图象不经过第四象限，则需，即，∴，但说法为，错误； ∴正确说法有3个， 故选B． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．与一次函数的图象平行 D．不会同时经过第一象限和第二象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得． 【详解】A、∵令，得， ∵， ∴，交点为， 故A错误． B、∵ 函数的斜率是k， 当时y随x增大而增大， 当时y随x增大而减小， 选项B中仅当时成立， 但不恒成立， 故B错误． C、∵ 函数与的斜率均为k， ∴ 两直线平行， 故C正确． D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限； 当时，经过第二、三、四象限， 故可能同时经过第二象限（时）， 故D错误． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）关于一次函数，给出下列说法正确的是（） ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则； ④该函数恒过定点． A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①若点，在函数图象上，且， ∵，即，， ∴随增大而增大， ∴，故①符合题意； ②若函数不经过第四象限， ∴且，即，故②不符合题意； ③函数向上平移2个单位得，与坐标轴交于点和， 围成的三角形面积为， 令，得，即或，故③不符合题意； ④当时，， ∴函数恒过定点，故④符合题意； 综上，符合题意的是①④， 故选：C． 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 方法总结 1. 系数关联：多个含参一次函数图象在同一坐标系中，其k、b由同一参数决定，需满足符号一致性。 2. 代入检验：取参数特定值（如a=1、a=-1）画出草图，检查图象位置是否矛盾。 解题技巧 1. 先定范围：根据一个图象的位置，确定参数的初步取值范围。 2. 同步验证：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数与正比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：当时，正比例函数与一次函数的图象都经过第一、三象限，且，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A符合题意； 当时，正比例函数与一次函数的图象都经过第二、四象限，且，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限； 故选A． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：当正比例函数中，，即该函数图象经过第一、三象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、二、四象限； 当正比例函数中，，即该函数图象经过第二、四象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、三、四象限； ∴符合题意的只有A选项； 故选：A． 【变式4-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图像性质，理解参数符号对图像的影响是解题关键． 先判断出两个函数的斜率相同、图像平行，再通过分类讨论参数的符号，确定直线的升降趋势与截距位置，最后结合选项验证得出答案． 【详解】解：正比例函数与一次函数的斜率都是，则两条直线互相平行， 选项：据图可知，则一次函数与轴的交点应在负半轴，而不是正半轴，错误； 选项：据图可知，两条直线的函数值均随着值增加而增大，且一次函数与轴的交点在正半轴，正确； 选项：两条直线不平行，错误； 选项：两条直线不平行，错误． 故选：． 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 方法总结 1. 参变分析：用参数表示k与b，讨论参数变化对图象象限、增减性、交点的影响。 2. 分类整合：根据参数取值范围分类讨论，将各类情况下的图象与性质综合归纳。 解题技巧 1. 抓临界值：令参数取边界值，观察图象的突变点（如过象限变化、平行）。 2. 数形结合：画出不同参数下的草图，直观判断性质变化，再代数验证。 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，点在一次函数图象上，求的值． (2)若，求一次函数图象与轴的交点坐标． (3)若，，点，在一次函数图象上，且，判断q，n的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）将，点代入一次函数解析式即可求出的值； （2）把代入，令可求出即可得解； （3）分别求出，的取值范围，根据一次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：把代入得， 又点在一次函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∵， ∴， 解得：， 所以，一次函数与轴的交点坐标为； （3）解：由已知得，， ∴， 又， ∴， ∴； ∴一次函数中，函数值随的增大而减小， ∵点，在一次函数图象上，且， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由见解析 (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． （2）解：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，，即； 因为，所以； 因为，所以，即； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的图像，一次函数的图像经过点；当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小．解题的关键是熟练掌握对一次函数图像的影响．根据题意，y随x的增大而减小，则为负值，分别将各选项坐标代入函数，求出值，判断即可得出结论． 【详解】A．把代入，可得，移项可得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．把代入，可得，移项可得，满足y随x的增大而减小，故本选项符合题意； C．把代入，可得，移项可得 ，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D．把代入，可得，移项可得，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数的图象经过点和点，且当时，．则的值可能是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先判断出函数的增减性，得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可能是． 故选：C 4．（2025八年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，若，一次函数与的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键，通过分析的正负性确定两个一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于， 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于， 当时，， 一次函数与的图象都经过一、二、三象限，图象大致如图①所示； 当时， 一次函数经过第一、三、四象限，一次函数经过第一、二、四象限，图象大致如图②或图③所示； 当时，， 一次函数与的图象都经过二、三、四象限，图象大致如图④所示； 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期末）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆·期末）若点和在一次函数的图象上，则 （用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， 又∵点和在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 根据一次函数图象的性质即可列出不等式求出的范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：. 9．（25-26八年级上·全国·周测）已知y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，求不等式组的解集，根据一次函数增减性求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 因为y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限，所以得出，再解出这个不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵y关于x的一次函数，函数值y随x的增大而减小，且该函数图象过第三象限， ∴， 由解得；由解得； ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数图象平行于直线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线平行，则比例系数相等的知识是解题的关键． （1）一次函数经过原点，把代入，由此即可求解； （2）两条直线，则比例系数相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 把代入得， 解得：． （2）解：因为函数图象平行于直线， ∴， 解得：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数为一次函数时，的系数，次数； （2）根据函数为正比例函数进行解答即可. 【详解】（1）解：因为是一次函数， 所以， 解得， 所以． （2）不存在． 理由：当是正比例函数时，， 解得， 所以这样的不存在． 13．（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 14．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）已知一次函数，其中a为常数，且． (1)若点在该一次函数的图象上，求a的值； (2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 【答案】(1) (2)随着的增大而减小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出a的值即可； （2）求出直线与y轴的交点，进而求出的取值范围，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：； （2）∵， ∴ 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵该函数的图象与y轴的交点位于原点上方， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而减小． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08一次函数中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1.定义条件：一次函数必须满足y=+b(k特0)，且x次数为1，是整式形式. 2.列式求解：根据x指数为1、系数付0，列出关于参数的方程与不等式求解. 解题技巧 1.系数非零：确保k(x的系数)不为0，此为易忽略条件. 2.化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y=+b再判断 例1.(25-26八年级上山东青岛·周测)当m=时，关于x的函数”=(m-2+5 一次函数. 【变式1-】(25-26八年级上江苏南京周测)若函数”=(m-3列2- 是一次函数，则m的值为 【变式1-2】(25-26八年级上辽宁沈阳期末)要使=(m--4 是关于x的一次函数，则m的值为_ 【变式1-3】(2526八年级上四川成都月考)已知函数"=(m-3到 +4是关于x的一次函数，则m的 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值是一 类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 方法总结 1.图象定位：根据图象经过的象限、与坐标轴的交点位置，确定k与b的符号或取值范围。 2.性质列式：利用增减性(k正负)、平行(k相等)、过定点等条件，列出关于参数的方程或不等式求 解。 解题技巧 1.画图助判：画出符合图象特征的草图，直观判断k、b的正负。 2.代入验证：求出参数后，代回原函数验证是否满足图象与性质要求。 例2.(2526八年级上山东青岛周测)函数”=“的图象在第二、四象限，则一次函数 y=kx-k 的图象 不经过第一象限 【变式2-1】(25-26八年级上江苏泰州期未)若点×y,×,在一次函数y=2x+a(（a为常数) 的图像上，且<，则片为 (填“>”“<”或“=”) 【变式2-2】(25-26八年级下全国课后作业)若一次函数'=(2k-8x+1。 的函数值'随的增大而减小， 则k的取值范围是一· y=kx+4 k k≠0 【变式2-3】(25-26八年级上·江苏宿迁·期末)已知一次函数 (为常数且)，当自变量 -3≤x≤2时，函数值y的最大值为6，则k的值 类型三、含参数的一次函数的图象和性质 方法总结 1.参变分离：将函数解析式整理成y=k(a)x+b(a)形式，明确参数如何影响k和b。 2.动态分析：根据参数的变化范围，讨论k、b的符号变化，从而确定图象的象限分布、增减性等。 解题技巧 1.抓临界值：令参数取特殊值（如a=0、边界点），观察函数图象的突变情况。 2.分类讨论：当参数导致k或b符号不确定时，需按不同符号范围分类讨论。 例3。(25-26八年级上陕西西安期中)关于一次函数)=(+x-1 的图象，下列说法正确的是() 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.它的图象经过二、三、四象限 B.'随x的增大而减小 C.它的图象必过点，k到 D.它的图象与'轴的交点为0，) y=3x+m-2 【变式3-1】(25-26八年级上江苏无锡·月考)关于一次函数 的图象与性质，下列说法中正 确的个数是() ①y随x的增大而增大；②当m≠2时，该图象与函数y=3x的图像是两条平行线；③不论m取何值，图象 都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则m>2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式3-2】(25-26八年级上山东济南·期中)关于一次函数y=x+4(k≠0)的图象，下列说法正确的是 () A.与轴交点坐标为 0,4) B.若4，B为图象上两点，当5>5时，y<片 y=kx C.与一次函数 的图象平行 D.不会同时经过第一象限和第二象限 【变式33】(25-26八年级上全国单元测试)关于一次函数'=+k-2k≠0， 给出下列说法正确的 是() ①若点4m-,B(m+3,5 在该函数图象上，且少<片，则>0： ②若该函数不经过第四象限，则k>2: ③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k=4: -1,-2) ④该函数恒过定点 A.①② B.①③ C.①④ D.②③④ 类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 方法总结 1.系数关联：多个含参一次函数图象在同一坐标系中，其k、b由同一参数决定，需满足符号一致性。 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.代入检验：取参数特定值（如a=1、a=-1)画出草图，检查图象位置是否矛盾。 解题技巧 1.先定范围：根据一个图象的位置，确定参数的初步取值范围。 2.同步验证：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 y=kx 例4.(25-26八年级上陕西咸阳期末)在平面直角坐标系中，正比例函数 与一次函数 y=-k(k≠0) 的图象可能是() 方是…k y=k y=-+k 【变式4-1】(25-26八年级上·江苏无锡·月考)正比例函数 与一次函数 的大致图象是 【变式4-2】(25-26八年级上·陕西西安期末)正比例函数'=mxmm≠0) 的一次函数'=mx+”在同一 平面直角坐标系中的图象可能是() 头：民，护 ax v=ax+2a 【变式4-3】(25-26八年级上·山东青岛期末)正比例函数 与一次函数 在同一平面直角坐 标系中的图象可能是() /9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、含参数的一次函数图象和性质综合问题 方法总结 1.参变分析：用参数表示k与b,讨论参数变化对图象象限、增减性、交点的影响。 2.分类整合：根据参数取值范围分类讨论，将各类情况下的图象与性质综合归纳。 解题技巧 1.抓临界值：令参数取边界值，观察图象的突变点（如过象限变化、平行）。 2.数形结合：画出不同参数下的草图，直观判断性质变化，再代数验证。 y=（3m-10)x+2-m 例5.(25-26八年级下·全国课后作业)已知直线 ,当m为何值时： y=-x-4 (1)此直线与直线 平行. 2)此直线与直线少=2x-4交于点a,2到 (3)此直线不经过第三象限 (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方. y=kx+b 【变式5-1】(25-26八年级上·浙江杭州期末)已知一次函数 (k,b是常数，且≠0 1诺=2，点2,3在一次函数图象上，求力的值. (2)若k=b,求一次函数图象与x轴的交点坐标。 3)若k+b<0,-k+b>0,点9 B(p,q)C(m,n 在一次函数图象上，且P>m,判断4，n的大小关系. 【变式5-2】(25-26八年级上浙江宁波期末)已知一次函数=x+a≠0)过定点2,0，另一个一次 函数为2=br+a. (①)请你判断与=br+a是否过定点 20 并说明理由。 2点4mD和点' B(n,p) 分别在一次函数”和”的图象上，求证：m+2n=3。 ③设函数%片，当 -1≤x≤ 时，函数'有最大值2，求”的值、 【变式5-3】(2526八年级上江苏泰州期未)已知一次函数=红+2-太，为=x+bk≠0，k,b为 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常数)的图象分别记为，专，当=1时，月=为 (I)求b的值： ②若点m刀在上，点B)在上 ①当n=m时，若k>1,m<1,比较p、q大小，并说明理由： ②当n=m+2时，P=9.若k,m都为整数，求q的最大值. 压轴专练 一、单选题 1.（24-25八年级下广东惠州阶段练习)若函数'=+3 是关于x的一次函数，则m的值是() A.-1 B.0 C.1 D.2 y=kx+2024 2.(2024广东·模拟预测)已知一次函数 的图像经过点A,且y随x的增大而减小，则点A的 坐标可以是() (-1,2023) (1,2019) （2,2024) (3,2025) A. B. C. D 3。(24-25八年级下·青海玉树期末)已知一次函数’=1+2)x- 的图象经过 Mx,)和点 N(x2,y3) 且当>时，片<少.则的值可能是() A.-2 B.0 C.-1 D. 4.(2025八年级上全国专题练习)在同一平面直角坐标系中，若>6，一次函数》 y=ax+b y=bx+a 与 的图象可能为() 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（2425八年级上全国期末)关于函数=(k-3引x+k,给出下列结论： ①当k≠3时，此函数是一次函数： （-1,3 ②无论k取什么值，函数图象必经过点 ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0: ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0<k<3 其中正确结论的序号是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(24-25八年级上·宁夏固原期末)已知函数’=m-2)r-3 是关于x的一次函数，则m= 7.(2425八年级下重庆期末)若点4-山少)和B2,5)在一次函数"=m+1x+3 的图象上，则少 y (用“>”、“<”或“=”连接). 8。(25-26八年级上·全国课后作业)已知一次函数”=(k-3到x-1 的图象经过第二、三、四象限，则k的 取值范围是一· 9.(25-26八年级上全国·周测)已知y关于x的一次函数'=(2m-4到x+1-3m 函数值y随x的增大而减 小，且该函数图象过第三象限，则m的取值范围是一。 y=kx+3 10.(24-25八年级下山东日照·期末)一次函数° k为常数，且k0)，当3≤x≤4 时，y的最 9 大值是2，则k的值是一· 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 1.(25-26九年级上：黑龙江佳木斯开学考试)已知一次函数'=(2m-)x+m+5 (I)若函数图象经过原点，求m的值： ②)若函数图象平行于直线=3r-】, ,求的值. 12.(25-26八年级上全国课后作业)已知函数y=(m-5列x4+m+1, (I)若它是一次函数，求m的值. (2)是否存在m使它是正比例函数？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 13。(23-24八年级下吉林延边：期中)已知'关于x的一-次函数'=(4m+2m-10 ()若函数值y随着x的增大而增大，则m的取值范围是_· (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围. 14.(2024八年级上安徽阜阳竞赛)已知一次函数"=(a-r-2a+1, 其中a为常数，且a≠1 1)若点山-2在该一次函数的图象上，求a的值： (2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； y=ax+b y=bx+a 15.(23-24八年级下·湖南株洲期中)定义：直线 与直线 ”互为“友好直线”.如：直 线少2x+ 与直线=x+2 互为“友好直线”. M(m,2) y=-x+ (1)点 在直线 的“友好直线”上，则m； ②)直线4x+3 M(m,n) 上的一点 又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线 y=ax+b M(m,n) N(2m,m-2n） 上的任意一点 ,都有点 在它的“友好直线”上，求a、b的值. 16.(25-26七年级上·全国课后作业)若两个一次函数y=x+6么≠0，y=,+么(%≠0) 则称函数 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=(k+k2)x+bb2 为这两个函数的“和谐函数”. y=2x+3,y=-4x+4 (1)求一次函数 的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点1，与 y轴相交于点B,求△ABO的面积： y=-x+1,y=x-2b =4x+3 (2)若一次函数 的“和谐函数”为 则 b= y=x+b y=-kx+5 (3)已知一次函数 与 的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、力满足的 条件为：k1且b 0(用“>”或“<”填空). 9/9