专题07 一次函数的图象和性质的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题07 一次函数的图象和性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 类型六、根据一次函数的增减性求参数 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 类型八、画一次函数的图象 类型九、一次函数的平移问题 压轴专练 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1. 定义条件：一次函数必须满足y = kx + b ( k≠ 0)，且x次数为1，是整式形式. 2. 列式求解：根据x指数为1、系数k≠ 0，列出关于参数的方程与不等式求解. 解题技巧 1. 系数非零：确保k（x 的系数）不为0，此为易忽略条件. 2. 化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y = kx + b再判断 例1．（25-26八年级上·安徽·期末）已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的两个条件是解题关键． 根据一次函数的定义，的指数必须为且系数不为零，据此进行计算． 【详解】解：是一次函数， ，即， 系数为， ，即， 可得． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在中，若是的正比例函数，则值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，得且 ，解方程即可求解． 【详解】解：是一次函数， 且 ， 解得，， ． 故答案为． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知．当m，n满足条件 时，是的一次函数；当m，n满足条件 时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． 类型二、一次函数的图象和性质 方法总结 1. 图象特征：一次函数y=kx+b图象是一条直线，k决定倾斜方向（k>0上升，k<0下降），b决定与 \(y\) 轴交点(0,b). 2. 性质应用：|k|越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点. 解题技巧 1. 画草图：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）. 2. 待定系数法：已知两点或一点加k可确定解析式. 例2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于一次函数，下列判断错误的是（   ） A．该函数的图象经过第二、三、四象限 B．该函数的图象在轴上截距为 C．该函数的图象与轴交于点 D．自变量的值每增加1，函数的值减小2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 【详解】解：对于函数，∵，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； 当时，，∴y轴上截距为，B正确； 当时，，解得，∴与x轴交点为，不是，C错误； ∵，∴x每增加1，y减小2，D正确． 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象与轴交于点，该选项结论正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项结论正确，不符合题意； 、∵，， ∴它的图象经过第一、三、四象限，该选项结论错误，符合题意； 、∵直线与直线的值相同，值不同， ∴两条直线平行，该选项结论正确，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移6个单位得到 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质、图象平移规律及与坐标轴交点的求解，关键是熟练掌握一次函数的相关性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；、的符号共同决定图象经过的象限；与轴交点可通过令求解得到；图象平移遵循“上加下减”的规律． 【详解】解：对于选项A：在一次函数中，，根据一次函数性质，当时，随的增大而减小，故A选项错误； 对于选项B：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项错误； 对于选项C：令，则，解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，故C选项正确； 对于选项D：向下平移6个单位得到的函数解析式为，而是由向上平移6个单位得到的，故D选项错误； 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象和性质，说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．截距为2 C．与x轴交于点 D．函数图象不经过第一象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】解：A．一次函数的图象随着的增大而减小，即A项错误， B．把代入得：，即在轴的截距为，即B项错误， C．把代入得：，解得：，即与轴交于点，，即C项错误， D．函数图象经过第二三四象限，不经过第一象限，即D项正确， 故选：D． 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 方法总结 1. k、b 定象限：k > 0过一、三象限；k < 0过二、四象限；b > 0过 y 轴正半轴；b < 0过 y 轴负半轴. 2. 组合判断：将k、b正负结合，确定直线具体过哪三个象限（b=0时过原点）. 解题技巧 1. 画线辅助：先画y=kx的倾斜方向，再根据b上下平移，直观判断象限. 2. 特例记忆：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四. 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据一次函数的与判断图象所经过的象限． 【详解】解：对于一次函数 ， ，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式3-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限. 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由一次函数的增减性得出，再根据图象与轴的交点位置判断所经象限． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴． 当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴上． 又∵， ∴图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，根据一次函数经过第一、二、四象限，得出，再结合一次函数进行分析，得出一次函数经过的象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴经过第一、三、四象限， 故一定不经过第二象限． 故答案为：二 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果方程组无解，那么直线不经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解． 方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可． 【详解】解：由方程组无解，可得，解得， 将代入可得， 则直线不经过第一象限， 故答案为：一． 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 方法总结 1. 象限定号：根据直线经过的象限，反推出k与b的符号要求（如过一二四象限则k<0,b>0）. 2. 列不等式：将k与b用参数表示，根据符号要求列出关于参数的不等式组求解. 解题技巧 1. 画线助判：画出可能经过给定象限的直线草图，确定k、b正负. 2. 等号排除：象限不含坐标轴，故k≠0、b≠0等号需单独处理. 例4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、解一元一次不等式组，根据一次函数的图像不经过第二象限，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是 ． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，一次函数的性质，理解经过两点求得的临界值是解题的关键． （1）根据，当时，y与k的值无关，即可得出定点的坐标； （2）要使直线与线段没有交点，则直线在点B上方或直线在点C下方，分别将代入，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 故答案为：； （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则，解得， 当直线过C点时， 则，解得， ∴或． 故答案为：或． 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 方法总结 1. 由k定增减：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小. 2. 比较自变量：比较对应x的大小，结合增减性判断y的大小关系. 解题技巧 1. 抓k符号：先确定k正负，明确增减性方向. 2. 代值检验：若有疑虑，代入两个具体x值计算y值验证大小关系. 例5．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数的增减性判断函数值的大小，准确判断函数的增减性是解题关键． 利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：由题可知，一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：<． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知点、在一次函数（k为常数）的图象上，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 根据判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即随的增大而增大． ∵， 所以． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 类型六、根据一次函数的增减性求参数 方法总结 1. 增减性条件：y随x增大而增大 k>0；y随x增大而减小 k<0. 2. 列不等式：用参数表示k，根据增减性要求列出关于参数的不等式求解. 解题技巧 1. 系数对应：先将函数化为y=kx+b形式，准确找出k的表达式. 2. 边界检验：解出范围后检查k是否可能为 0（此时为常函数，不满足增减性）. 例6．（25-26八年级上·全国·期末）若一次函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的值随x值的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的值可以是 （写一个符合条件的值即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据点和点的横坐标大小关系及，由一次函数的性质得，从而得到，任意满足条件的值均可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得． 故答案为（答案不唯一）． 【变式6-2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知点，在直线（m为常数）上，当时，有，则m的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握的取值与一次函数性质的关系是解题的关键． 由于时，有，可判断一次函数的随的增大而减小，故，解出该不等式，取满足条件的数即可． 【详解】解：∵时，有， ∴一次函数的随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案可为：（答案不唯一）． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论最大值即可． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y的最大值为6， ∴在处取得最大值，代入得，解得； 当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y的最大值为6， ∴在处取得最大值，代入得，解得， 故答案为：1或． 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 方法总结 1. 与y轴交点：令x=0，得y=b，交点(0,b). 2. 与x轴交点：令y=0，解kx+b=0，得x= -（k≠ 0，交点 (-,0). 解题技巧 1. 先求y 轴交点：b直接给出，快速定位. 2. 注意k≠0：求x轴交点前，先确认k≠0，否则与x轴平行或重合. 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与轴、轴的交点坐标分别为 ， ，图象不经过第 象限． 【答案】 三 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象与系数的关系，熟知以上知识是解题的关键． 求直线与坐标轴的交点，分别令和 解方程；根据一次函数的和判断图象所经过的象限即可． 【详解】解：与 轴交点：令 ，得 ，解得 ，坐标为 ； 与轴交点：令 ，得 ，坐标为； 由于一次函数中 ，，图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为： ，，三． 【变式7-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用两点间距离公式计算的长． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，所以点的坐标为， 当时，，解得：，所以点的坐标为， 点与点之间的距离公式为． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、翻折变换（折叠问题）以及一次函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理，求出点的纵坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，利用勾股定理，可求出的长，结合折叠的性质，可得出，，设点的坐标为，再在中，利用勾股定理，即可求出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 由折叠得：，． 设点的坐标为，则． 在中，，，，， ， 即， 解得， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式7-3】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线 与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，在平面直角坐标系中，点是轴上的一个点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂线段最短，勾股定理，一次函数的性质，过作于点，连接，由垂线段最短可得即为线段的最小值，通过一次函数的性质可得，，所以，，，所以，再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，连接， 由垂线段最短可得，即为线段的最小值， ∵直线 与轴、轴分别交于点，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 类型八、画一次函数的图象 方法总结 1. 两点定线：一次函数图象是直线，选取两个特殊点（通常是与坐标轴的交点）画出直线. 2. 列表描点：列出几组x、y对应值，在坐标系中描点，再连线. 解题技巧 1. 选点技巧：优先取(0,b)和 (-,0)，计算简便且能体现截距. 2. 连线延伸：两点确定直线后，向两端适当延伸，并标出函数解析式. 例8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，画出函数图象即可； （2）将和分别代入计算即可； （3）结合，两点的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：函数的图象，如图所示， ； （2）解：当时，，解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为； （3）解：∵，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 【变式8-2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； (3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分别求出直线与x轴和轴的交点，画出函数图象，根据函数图象直接得出结论； （2）设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论； （3）先求出、两点坐标，把点和点坐标分别代入计算出对应的的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定的范围． 【详解】（1）解： 函数图象如图所示： ， ∴观察图象，当时，的取值范围为． （2）∵设平移后的函数表达式为， 将代入得：， ∴． ∴平移后的直线函数表达式为． （3）∵一次函数与、轴分别交于、两点， ∴当时，，即, 当时，，即． ∵把代入，即， 把代入，不成立， 又∵的图象恒过，在上方， ∴的图象与线段AB有交点时，的取值范围为． 类型九、一次函数的平移问题 1. 上下平移：只改变常数项b - 向上平移n个单位，解析式变为  y = kx + (b + n)  - 向下平移n个单位，解析式变为  y = kx + (b - n)  2. 左右平移：要在x的后面进行加减 - 向左平移n个单位，解析式变为  y = k(x + n) + b  - 向右平移n个单位，解析式变为  y = k(x - n) + b  例9．（24-25八年级下·河南商丘·期末）（1）点向下平移2个单位后的坐标是______； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______； （3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查点的平移，一次函数图象的平移，熟练掌握相关平移规则，是解题的关键： （1）根据点的平移规则，上加下减横不变，进行求解即可； （2）根据直线的平移规则左加右减，进行求解即可； （3）求出的坐标，求出点关于x轴的对称点，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：（1）由题意：点向下平移2个单位后的坐标是，即：； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是； 故答案为：； （3）∵， ∴当时，，当，， ∴，， ∴点关于x轴的对称点为， ∵翻折， ∴翻折后的直线经过，， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：； ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 【变式9-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 【变式9-3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特点是解题关键．根据一次函数中的即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，一般地，形如（是常数）的函数，叫做一次函数．当时，函数为，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．据此解答即可． 【详解】解：①是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②是一次函数，符合题意； ③中不是整式，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤中x的次数是2，不符合题意； 综上，共有3个一次函数． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐项判断即可． 【详解】一次函数的图象与轴的交点坐标是，故本选项不符合题意； ②一次函数的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意； ③若两点在该函数图象上， ∵，y随x的增大而减小， ∴时，，不正确， 故本选项不符合题意； ④一次函数的图象向上平移1个单位长度得的图象，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先求出该一次函数与轴的交点坐标为，再结合题意可得一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，故该一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数，且随着的增大而减小， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图所示： 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点P坐标代入中求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， 故答案为：4． 8．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，点，为函数图像上两点，则a与b的大小关系为a b．（填） 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，即可求解． 【详解】解：中， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知一次函数，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性得到，求出不等式的结果即可． 【详解】解：函数，y随x的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知直线过点和． (1)求直线的函数关系式； (2)判断点是否在此直线上，请简要写出过程． 【答案】(1) (2)点在此直线上，过程见解析 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴； （2）点在此直线上，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴点在此直线上． 14．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算即可． （2）将点P坐标代入（1）中所得解析式进行验证即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：点P不在该函数图象上， 将代入得，， ∴点P不在该函数图象上． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）已知一次函数． (1)m为何值时，直线经过原点？ (2)m为何值时，直线经过第一、二、三象限？ (3)m为何值时，直线不经过第三象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义以及一次函数图象与系数的关系． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的定义可得出关于m的一元一次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值； （2）由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （3）由直线不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过坐标原点， ∴且， 解得：． 故m为时，函数的图象经过坐标原点． （2）解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：． 故时，直线经过第一、二、三象限． （3）解：∵直线不经过第三象限， ∴， 解得， 故时，直线不经过第三象限． 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是（1）利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【详解】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 18．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由图象过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由图象经过第一、三、四象限，则＞，且＜，进而计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）中，，则，从而当时，，且随的增大而减小，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点 ， 解得. （2）一次函数的图象经过第一、三、四象限 解得 （3）由题意，由（1）可得：， ． 当时，，且随的增大而减小． 又， 19．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)，5 (2)见详解 (3)点不在函数图象上,点在函数图象上 【分析】本题考查的是函数图象，判断点是否在图象上，解题的关键是通过描点画出函数图象，从表格中读取相关的信息． （1）利用函数解析式进行求的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）将点的横坐标代入解析式，得到的函数值和纵坐标进行比较即可． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； 故答案为：，5； （2）解：如图所示； （3）解： 当时，，， ∴点不在函数图象上； 当时，，， ∴点在函数图象上； 20．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入直线中，可直接求出的值；再把点的坐标代入中，即可求出的值； （2）先根据得，，进而可求出，的面积，设，由，则，代入数据求解即可； （3）分两种情况：当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点，得到，即点到直线的距离等于4，证得，得到点的坐标，再由待定系数法求得直线解析式即可求解；当在轴上方时，同理即可求解． 【详解】（1）解：把代入直线得，， ∴， ∵直线过点， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上，且， ∴点在轴下方， 如图，设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴到直线的距离等于4， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 如图，当在轴上方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， 同理：，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 综上可知：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一次函数的图象和性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 类型六、根据一次函数的增减性求参数 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 类型八、画一次函数的图象 类型九、一次函数的平移问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一次函数的定义求参数 方法总结 1.定义条件：一次函数必须满足y=+b(k件0)，且x次数为1，是整式形式. 2.列式求解：根据x指数为1、系数付0，列出关于参数的方程与不等式求解 解题技巧 1.系数非零：确保k(x的系数)不为0，此为易忽略条件 2.化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y=+b再判断 例1。(2526八年级上安微期未)已知)=k--m是一次函数，则女的值为 【变式1-1】(25-26八年级上江苏无锡月考)在’=(k-2到x+-4 中，若》是x的正比例函数，则值 为一 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(2526八年级上江苏南京月考》关于x的函数"=(2-m+5是一次函数，则m的值为 【变式1-3】(25-26八年级上江苏徐州月考)已知’=m+r2+n+5 ，当m,n满足条件一时， y是x的一次函数：当m,n满足条件时，Y是x的正比例函数. 类型二、一次函数的图象和性质 方法总结 1.图象特征：一次函数y=+b图象是一条直线，k决定倾斜方向(>0上升，<0下降)，b决定与) 轴交点(0，b): 2.性质应用：越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点. 解题技巧 1.画草图：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）， 2.待定系数法：已知两点或一点加k可确定解析式. y=-2x-2 例2.(25-26八年级上·安徽蚌埠·期末)对于一次函数 ,下列判断错误的是() A.该函数的图象经过第二、三、四象限 B.该函数的图象在y轴上截距为-2 该函数的图象与x轴交于点20 D.自变量x的值每增加1，函数的值减小2 y=3x-7 【变式2-1】(25-26八年级上江苏盐城期末)对于一次函数 下列结论不正确的是() 1.它的图象与'轴交于点0-7刊 B.y随x的增大而增大 y=3x+5 C.它的图象经过第一、二、三象限 D.它的图象与直线 平行 y=-3x+6 【变式2-2】(25-26八年级上江苏宿迁·期末)关于一次函数 的图象，下列说法正确的是 () A.y随x的增大而增大 B.经过一、二、三象限 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,0) C.与x轴的交点坐标为 D.可由'=-3x向下平移6个单位得到 y=-3x-2 【变式2-3】(25-26八年级上·安徽合肥·期末)一次函数 的图象和性质，说法正确的是（) A.y随x的增大而增大 B.截距为2 -2,0 C.与x轴交于点 D.函数图象不经过第一象限 类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 方法总结 1.k、b定象限：k>0过一、三象限；k<0过二、四象限；b>0过y轴正半轴：b<0过y轴负半轴 2.组合判断：将k、b正负结合，确定直线具体过哪三个象限(b-0时过原点). 解题技巧 1.画线辅助：先画y=的倾斜方向，再根据b上下平移，直观判断象限。 2.特例记忆：心0，b>0过一二三；>0，b<0过一三四；k<0,b>0过一二四：k<0,b<0过二三四. y=-x+2 例3.(25-26八年级下·全国·课后作业)一次函数 的图象不经过第象限。 【变式3-1】(2526八年级上宁夏银川期末)已知一次函数'=+6≠0，且'随若的增大而减小， 则它的图象不经过第象限。 y=ax+b 【变式3-2】(25-26八年级上·浙江宁波·期中)已知一次函数 经过第一、二、四象限，则 y=br+a一定不经过第_象限. y=3x+2 【变式3-3】(25-26八年级上陕西西安月考)如果方程组y=(k+1x-5无解，那么直线 y=(-2k+1x-2 不经过第象限. 类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 方法总结 1.象限定号：根据直线经过的象限，反推出k与b的符号要求（如过一二四象限则<0，b>0) 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.列不等式：将k与b用参数表示，根据符号要求列出关于参数的不等式组求解. 解题技巧 1.画线助判：画出可能经过给定象限的直线草图，确定k、b正负 2.等号排除：象限不含坐标轴，故0、b≠0等号需单独处理 例4。(25-26八年级上江苏扬州期末)直线”=(k-2x+1 经过第四象限，则k的取值范围为一 【变式4】(25-26八年级上江苏宿迁期末)若一次函数"=(m-刂x+m-2 的图像不经过第二象限，则 m的取值范围是一 【变式4-2】(25-26八年级上江苏南京月考》一次函数'=(2m-x+m-7 的图象经过第一、三、四象 限，则m的取值范围是一 =kc-2k+3 【变式4-3】(25-26八年级上·安徽月考)直线 恒过一定点. (1)则该定点A的坐标是一 (2)平面直角坐标系中有两点5,3)，C5,0,若该直线'=c-2k+3与线段BC没有交点，则太的取值 范围是一 类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 方法总结 1.由k定增减：>0时，y随x增大而增大；<0时，y随x增大而减小. 2.比较自变量：比较对应x的大小，结合增减性判断y的大小关系 解题技巧 1.抓k符号：先确定k正负，明确增减性方向. 2.代值检验：若有疑虑，代入两个具体x值计算y值验证大小关系 例5.(25-26八年级上四川成都期末)若点1-2，B(3,在一次函数y=2x+1的图象上，则 (填“>”、“<”或“=”). 【变式-】(25.26八年级上陕西渭南期末)若-次函数”=+h么 b为常数，且K≠0)的图象经 过第一、二、四象限，点(，2)、(，-2)在该函数图象上，则×_名.（填“>”、“<”或“ 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ”) 【变式5-2】(25-26八年级上陕西威阳期末)已知点4-3，)、B2,)在一次函数)=K+2列x-5（ 为常数)的图象上，则少_为（填“><"或“”）. 【变式5-3】(25-26八年级上陕西渭南期末)若点4(，-3引，B,-7在次函数=-2x+b(b为常 数)的图像上，则义和的大小关系是：。.（填“>”，“<”或4=”） 类型六、根据一次函数的增减性求参数 方法总结 1.增减性条件：y随x增大而增大一>0：y随x增大而减小一k<0. 2.列不等式：用参数表示k,根据增减性要求列出关于参数的不等式求解 解题技巧 1.系数对应：先将函数化为y=+b形式，准确找出k的表达式. 2.边界检验：解出范围后检查k是否可能为0（此时为常函数，不满足增减性）· 例6。(25-26八年级上全国期末)若一次函数'=(2m-1刂x+2 的值随x值的增大而减小，则m的取值范 围是一· 【变式6-1】(25-26八年级上江苏泰州期末)已知点P3,川，(-2在一-次函数”=(m-x+2的图 象上，若”<乃，则实数m的值可以是一（写一个符合条件的值即可）. 【变式6-2】(2425八年级下陕西商洛期未)已知点4，，Bx,)在直线”=-3m+5列x-1（m为 常数)上，当<”时，有片之少，则m的值可以是一，（写出一个即可） y=x+4 【变式6-3】(25-26八年级上陕西咸阳月考)已知函数 (m为常数)，当3≤xs2 时，y的最 大值为6，则m的值为一· 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 方法总结 1.与y轴交点：令x=0,得y=b,交点(0，b): 2.与x轴交点：令0，解+b-0,得x b k (味0，交点(k0) 解题技巧 1.先求y轴交点：b直接给出，快速定位 2.注意0：求x轴交点前，先确认0，否则与x轴平行或重合. 25-26八年级下全国课后作业直线yx+3与，轴、y轴的交点坐标 图象不经过第一象限。 【变式7-1】(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数 y=2x+ 的图象与“轴相交于点1，与'轴相交于点B,连接B,则B的长为_ 4 【变式7-2】(25-26八年级上江苏南京月考)如图，在平面直角坐标系x0中，直线y=3x+8与x轴、 y轴分别交于点A、点B,点C在'轴的负半轴上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点 D处，则点C的坐标为一· B A 【变式73】225八年级上江苏泰州专题练习)图，直线-3与轴、y相分别交于点48 点M是直线B上的一个动点，在平面直角坐标系中，点P0,2)是”轴上的一个点，则线段PM的最小值 为 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A ⊙ 类型八、画一次函数的图象 方法总结 1.两点定线：一次函数图象是直线，选取两个特殊点（通常是与坐标轴的交点）画出直线 2.列表描点：列出几组x、y对应值，在坐标系中描点，再连线。 解题技巧 b 1.选点技巧：优先取0，和(0)，计算简便且能体现截距。 2.连线延伸：两点确定直线后，向两端适当延伸，并标出函数解析式 y=-2x+4 例8.(25-26八年级上·安徽六安·期中)已知一次函数 A 5 3 2 -4-3-2-1 12345 (1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象： (2)直接写出直线与x轴、V轴的交点A,B的坐标； (3)求△AOB的面积 y=-2x+4 【变式8-1】(25-26八年级上·河南驻马店·期中)在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成 下列问题： 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 2 5-4-3-2-10 1 2345x -1 2 3 -4 -5 y=-2x+4 (1)画出一次函数 的图像： (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是 y=-2x+4 (3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A,与y轴交于点B.在y 轴有一点P,使△ABP的面积等于2，则点P的坐标是 AB 【变式8-2】(25-26七年级上山东泰安·期末)已知直线的表达式为 ,y=-x+2 +2,点，B分别在轴、 y轴上. VA (I)求出点A,B的坐标，并在所给图中画出直线AB的图象； (2)将直线AB向上平移5个单位得到直线CD,点C,D分别在x轴、Y轴上.求出点C,D的坐标及直线 CD的表达式，并在所给图中画出直线CD的图象： (3)若点P到x轴的距离为2，且在直线CD上，求△BDP的面积. 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x-4 【变式8-3】(25-26八年级上江苏南京·月考)已知一次函数 A 54-3-2-10 4 (1)画出函数图象，观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 (2平移上述函数的图象后经过点-2,1) ,求平移后的函数表达式： y=2x-4.x y =k+2 (3)一次函数 与、 轴分别交于A、8丙点，若一次函数 的图象与线段1B有交点，则 k的取值范围是 0 2 y=2x-4 -4 0 类型九、一次函数的平移问题 1.上下平移：只改变常数项b -向上平移n个单位，解析式变为y=cx+(b+n) -向下平移n个单位，解析式变为y=c+(b-n) 2.左右平移：要在x的后面进行加减 -向左平移n个单位，解析式变为y=kx+n)+b -向右平移n个单位，解析式变为y=x-n)+b （0,1 例9.(24-25八年级下·河南商丘·期末)(1)点 向下平移2个单位后的坐标是 ； y=2x+1 (2)直线 向右平移2个单位后的解析式是 y=2x+ (3)已知直线 交y轴于点4，交x轴于B,将直线1B沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式。 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式9-1】(25-26八年级上·安徽安庆·期末)(1)【源于课本】 y=-2x+6 将一次函数 的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：； (2)【深入探究】 y=-2x+6 ①（平移探究）将图中一次函数 的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应 的函数表达式.数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移.因此，只需要在图象上任取两点A,B,将 A',B' 它们沿着*轴向右平移3个单位长度，得到点，“的坐标，从而求出直线B 对应的函数表达式为： y=-2x+6 ②（轴对称探究）将图中一次函数 的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：一 B y=-2x+6 【变式9-2】(25-26八年级上江苏南京·月考)【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时， 发现一次函数'=+b(k≠0) 的图象可以由正比例函数'=的图象通过上下平移或左右平移得到，于是， 他们进行了如下的探究活动. y=2x 场时好、 图1 图2 10/16