专题09 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1.系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2.化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1.(24-25八年级下辽宁丹东·月考)已知-2k+3x3+2>1是关于x的一元一次不等式，那么k= 不等式的解集是 【变式1-1】(24-25八年级下·陕西西安·月考)已知(m-2)xm+3>2是关于x的一元一次不等式，则m的 值为 【变式1-2】(25-26八年级下.全国周测)若(3-ax-4+2<7是关于x的一元一次不等式，则a的值 为 【变式1-3】(24-25七年级下.甘肃陇南期末)若(a-3)x-2-1>5是关于x的一元一次不等式，则a的值 为 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x〉多）。 2.对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3)进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2.端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2.(25-26八年级上浙江杭州期中)关于x的不等式2m-x<6的解集为x>3,则m的值 为 【变式2-1】(25-26八年级下全国周测)关于x的一元一次不等式m2x≤-2的解集为x≥4，则 3 m3-2025的值为一 【变式22】(25-26八年级下全国课后作业)若不等式+1_2红-5之1的解都能使不等式4r<2x+a+1成 64 立，则实数a的取值范围是 【变式2-3】(25-26八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2(x-3)=2x+a)的解适合不等式 -3x+1>2a,则a的取值范围为 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示（如x<些）。 2.数轴定界：根据己知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不 等式组求解。 解题技巧 1.画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2.端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解 或少解)。 例3.（25-26八年级上·四川成都期中)已知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取值 范围是」 【变式3-1】(25-26七年级上江苏苏州期中)关于x的不等式2x+a≥0的负整数解是-2，-1，则a的取 值范围是 【变式3-2】(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值范围是_ 【变式3-3】(24-25八年级下·河南郑州·月考)若关于x的不等式3x-a>1只有两个负整数解，则a的取值 范围是」 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如m〈x≤）。 2.数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2.端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或 少解)。 x>n 例4.(25-26八年级上湖南长沙月考)若关于x的不等式组 5-3x≥-4 的整数解恰有3个，则n的取值范 围是 x-a≤0 【变式4-1】(2025七年级上江苏南京·专题练习)如果不等式组 5-2x<1恰有3个整数解，则a的取值范 围是 【变式4-2】(24-25七年级下湖南湘潭期末)不等式2≤3x-1≤a的所有整数解有5个，则a的取值范围 4 是 2x-m<2-x 【变式4-3】(24-25七年级下江苏南通期末)若关于的不等式组x-2x-1恰有两个整数解，则m的 4 3 取值范围是 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x>a、x≤b)。 2.情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出己知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2.端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 x<a-1 例5.(25-26八年级上·四川成都期末)关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 x≥2 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-a≤1 【变式5-1】(24-25八年级下·福建宁德月考)若不等式组 x-2b≥3 的解集为-1≤x≤1，则a-b= x+4>3a+5 【变式5-2】(24-25七年级下.青海玉树期末)己知关于x的不等式组 的解集为x>1,则a的 x+2>a 值是 x-3>-1 【变式5-3】(2025四川南充中考真题)不等式组 的解集是x>2,则m的取值范围是 -x<-m+1 类型六、整式方程组细与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1.先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2.再列不等式：根据解的范围条件（如x>0、y≤2），建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1.代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2.双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6.(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)关于x的方程3x-1=m+x的解是非负数，则m的取值范围 是 【变式6-1】(25-26七年级下，全国·课后作业)若不等式2(x+1)-5<3(x-1)+4的最小整数解是关于x的方程 x-mx=5的解，则式子m2-2m+2025的值为. 1 【变式62】(25-26八年级上重庆九龙坡月考)关于x的一元一次方程2+0+2”：-2有非正数解，则所 3 有满足条件的负整数a的值之和为 [2x+y=3+a 【变式6-3】(25-26八年级上黑龙江佳木斯开学考试)若关于x,y的二元一次方程组 解满足 x+2y=4 x+y<3, 则a的取值范围是 类型七、整式方细与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2.再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x>0、y<2),建立关于参数的一元一次不等 式组求解。 解题技巧 1.代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 2.求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 终范围。 例7.(24-25七年级下·重庆期末)已知关于x、y的方程组 5x+y=m+1 的解满足-1<x+y<1,则符合条 x-3y=2m 件的所有整数m的取值之和为」 【变式7-1】(25-26八年级上重庆月考)关于x,y的二元一次方程组 x+y=k 的解为整数，关于x的不 x-y=1 3x≥2x+1 等式组 k=]<1有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数k的和为 2 2x-y=1-3a 【变式7-2】(24-25七年级下，湖北武汉·月考)已知关于x,y的方程组 x+3y=2a+4的解都为非负数，且 满足a+b=3,2≤b≤3，若z=a-b,则z的取值范围是__ [3x+2y=-a-1 【变式7-3】(25-26八年级上·重庆江北月考)己知关于x、y的二元一次方程组{ 2 13的解满足 -y=a+ 91 9 a-7 S> x≥y,且关于s的不等式组 3 恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数α的个数为」 s≤1 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下河南焦作·月考)关于x的一元一次不等式xm-+4>2中，m的值应为() A.0 B.1 C.2 D.0或2 2x-y=1,若x-y>0,则m的取值范围 x-2y=m 2.(25-26八年级上浙江温州期中)已知关于x,y的方程组 是() A.m>1 B.m>-1 C.m<1 D.m<-1 x-1<2x-3 3.(25-26八年级上山东菏泽月考)如果不等式组{ 的解集为x>2,那么m的取值范围是() x>m A.m<2 B.m≤2 C.m=2 D.m≥2 4.(2025八年级上重庆·专题练习)关于x的方程3-2x=3k-2)的解是自然数，且关于x的不等式 [x-2(x-1)≥5 [2k+5x无解，则不符合条件的整数k的值（) 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-1 B.1 C.3 D.-3 3x-5<2 5.(25-26八年级上浙江杭州期中)已知关于x的不等式组 2 ,下列四个结论：①若它的解集 2x-a≤-1 是1<x≤3，则a=7；②当a=3时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是 9≤a<11;④若不等式组有解，则a>3.其中正确的结论是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏苏州月考)已知关于x的不等式(m-1)xm<2025是一元一次不等式，那么 1m= 7.(25-26八年级上·四川成都期中)己知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取值范 围是一 2(x-1)>0 8.(25-26七年级上·吉林·期中)关于x的不等式 x+1>2a 的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范 围 -3-2-10123 3x-4y=0 9.(24-25八年级上·重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组{ 的解为整数，且关于t的不等式 mx+4v=8 (m+2)t>m+2的解集为1<1，则所有满足条件的整数m的积为 (3x-1<x+1 10.(25-26八年级上·重庆铜梁期中)若关于x的不等式组{2 有且仅有4个整数解，则所有 2(x+1)≥-x+a 满足条件的整数a的值之和■ 三、解答题 11.(24-25七年级下·广西梧州期中)已知关于x的不等式3x-m<4x+1). (1)当m=2025时，该不等式的解集为； (②)若该不等式的负整数解有且只有3个，求m的取值范围。 12.(25-26七年级下，全国·课后作业)(1)已知关于x的不等式组 x>m-,的解集是x>-1.求m的值. x>m+2 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-a>0 (2)已知关于x的不等式组 3 无解.求a的取值范围. 6-2x≥0 x+y=-7-m 13.(25-26八年级上浙江金华·月考)已知方程组 x-y=1+3m 的解满足x为非正数，y为负数. (I)求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1x-2m<1的解为x>1.求整数m的值. 14.(24-25七年级下·湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1=a×0+2bx1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1=-6,T(4,2)=3. ①求a,b的值： T(2m,5-4m≤1 ②若关于m的不等式组 T(m,3-2m)>p 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若T(x,)=T(y,x)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义），则a,b应满足怎样的关系 式？ 15.(2025八年级上·全国.专题练习)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 x-1>1 称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组{ x-2<3 的解集为 x-1>1 2<x<5,不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组 x-2<3的相依方程 2x+3≤x+11 (1)请判断4(x-1)-1=3(x-2)是否是不等式组 2x+5-1>4-x 的“相依方程”，并说明理由； 3 [3x+1<m+2 (2)若关于x的方程4r-m=2 ÷m-x 是关于x的不等式组{ 的“相依方程”，且此时不等 4 x+8+ +1≥1 1243 式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； x-4 ->x (3)若关于x的方程x+k=2x-1是关于x的不等式组 2 x+12x-1,的相依方程，求k的取值范围. 2≥ -1 3 7/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8/8 专题09 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 【变式1-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义，的指数必须为且系数不为零，因此且，求解的值并验证． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数． 解，得或，即或． 当时，系数，不符合条件； 当时，系数，符合条件． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如 x > ）。 2. 对比定参：将所得解集与已知解集（如x > 3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2. 端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示（如x < ）。 2. 数轴定界：根据已知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2. 端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例3．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·月考）若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意确定不等式的负整数解是解题的关键．先求解不等式得，，结合题意可知负整数解为，，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式只有两个负整数解， ∴不等式只有两个负整数解，负整数解为，， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如 m < x≤ n）。 2. 数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2. 端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例4．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知不等式组的整数解的个数求参数，正确理解整数解的范围是解题的关键． 分别解不等式求出不等式组的解集，根据整数解的个数得到答案． 【详解】解：解不等式，解得． 结合不等式，不等式组的解集为． 因为不等式组的整数解恰有3个，观察的整数，可知这3个整数解为． 要使整数解为，则需满足：（若，整数解会包含0；若，整数解会少于3个）． 故答案为：． 【变式4-1】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）不等式的所有整数解有5个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有5个整数解，分别为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x > a、x≤b）。 2. 情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2. 端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 例5．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建宁德·月考）若不等式组的解集为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，即可求得a，b的值． 【详解】解：由，解得：， 由，解得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ∴，解得：，， ∴， 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 当时，， 则， 时，， 则a无解． ， 故答案为： 【变式5-3】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2. 再列不等式：根据解的范围条件（如x > 0、y ≤2），建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1. 代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2025 【分析】先解不等式，求出它的最小整数解；再将这个最小整数解代入方程，求出的值；最后把的值代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：①解不等式： ． ∴该不等式的最小整数解为． ②代入方程求： 将代入方程 ． ③计算代数式的值： 将代入 ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）关于的一元一次方程有非正数解，则所有满足条件的负整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先把一元一次方程去分母，去括号，合并同类项，系数化1，得出，再结合关于的一元一次方程有非正数解，以及为负整数，得出取，再列式计算得出所有满足条件的负整数的值之和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化1得， ∵关于的一元一次方程有非正数解， ∴， ∴， 解得， ∵为负整数， ∴， ∴取， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的二元一次方程组解满足．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，利用加减消元法得出，结合得到关于a的不等式，再解不等式即可． 【详解】解： 得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2. 再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x > 0、y < 2），建立关于参数的一元一次不等式组求解。 解题技巧 1. 代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 2. 求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最终范围。 例7．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·重庆·月考）关于，的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个奇数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解；先求出方程组的解，根据方程组的解为整数得出为奇数，根据不等式组有且仅有个奇数解得出关于的不等式组的解集，从而求出符合题意的的奇数解，求其和即可． 【详解】解：， 得： 解得， 得， 解得 ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴为奇数 解关于的不等式组，得； ∵关于的不等式组有且仅有个奇数解， ； 解得：， 奇数为，，其和为； 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·重庆江北·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ， ， 解得：， 解不等式组得， 关于的不等式组恰好有4个整数解，，0，， ， 解得：， ， ， 所有符合条件的整数有，0，共有2个， 故答案为：2． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 4．（2025八年级上·重庆·专题练习）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 首先从方程解出关于的表达式，根据为自然数（包括0）确定的范围和奇偶性；然后解不等式组，根据无解条件得到的范围；最后综合得出不符合条件的整数的值． 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 15．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $