专题10 一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题10 一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式组的解集 类型二、求一元一次不等式组的整数解 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 压轴专练 类型一、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1. 分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2. 找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1. 数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验证。 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．分别求解两个不等式，再写出解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上为： 【变式1-1】（2026九年级上·重庆·专题练习）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【分析】本题考查了解不等式组，解决本题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集． 分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集,然后在解集中确定所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为，整数解为． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确解出每个不等式的解集，并准确确定公共部分，注意不等号方向在乘除负数时的变化． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后将解集表示在数轴上． 【详解】解：解不等式： ． 解不等式： ． 因此，不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． 【变式1-3】（2025九年级·山东济南·专题练习）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①： 解得， 解不等式②： 解得， ∴不等式组的解集为， ∴把不等式组的解集在数轴上表示如下， 类型二、求一元一次不等式组的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 2. 再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 解题技巧 1. 数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 2. 端点判断：注意端点是否包含（≥或≤含等号，>或<不含），决定该端点整数是否可取。 例2．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 【变式2-3】（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为，，0，1，2 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，确定不等式组的解集是解题关键． 分步骤求解每个不等式，再确定公共解集，最后找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式的整数解为，，0，1，2． 答：，整数解为，，0，1，2． 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2. 公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1. 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2. 代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 例3．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2，②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变；；解不等式移项时，注意变号；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集． （1）任务一：①②根据不等式的基本性质即可求解； 任务二：先去分母、去括号、移项，合并同类项，再系数化为即可求解； 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘不含分母的项；移项时，注意变号；去括号时要注意，括号前若是负号，括号内各项要变号等． （2）先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：任务一：①不等式的性质2； ②五，不等式的两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：； 任务三：解不等式移项时，注意变号（答案不唯一）； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如图所示． ． 【变式3-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如 x > a、x≤b）。 2. 对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系。 2. 端点取舍：涉及“≥”“≤”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 例4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 方法总结 1. 解表参数：先将方程组用参数表示解。 2. 转化为不等式组：根据解的范围（如x > 0，y < 0）或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题（如整数k）筛选最终值。 例5．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 方法总结 1. 建模列组：设未知数，抓“不少于、不超过、至少”等关键词，将实际问题转化为两个或多个一元一次不等式组成的不等式组。 2. 解验作答：求不等式组的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终方案并作答。 解题技巧 1. 逐句转化：将题目中的每一句不等关系独立转化为不等式，确保不遗漏条件。 2. 方案筛选：若求具体方案（如租车、购物的几种方式），需在解集范围内枚举所有可能情况并逐组检验可行性。 例6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【变式6-1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式组的最大整数解是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式，得到不等式组的解集，即可得到不等式组的最大整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的最大整数解为2， 故选：C． 2．（2026·辽宁阜新·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解不等式组，先解出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， 该不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：A 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 4．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式、不等式组的整数解等知识，熟练掌握不等式组解集的相关知识是关键．首先求出每个不等式的解集，再根据选项的条件进行分析解答即可． 【详解】解：由得到， ∵不等式组所有正整数解的和为5， ∴， 解得， 故A正确，不合题意； 若，则不等式组的解集为， ∴是不等式组的解， 故B正确，不合题意； ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， 故C正确，不合题意； 若不等式组有解，则， 解得， 故D错误，符合题意， 故选：D 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组．分别解两个不等式，再确定不等式组的解集． 【详解】解： 解第一个不等式：，移项得，即 解第二个不等式：，移项得，即 不等式组的解集为： 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三个数2，，中最小的数是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解题意并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 根据题意，是最小的数，因此不大于另外两个数，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式组 无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解题的关键是掌握不等式组解的情况． 先求出不等式的解集，再根据不等式组解的情况判断参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 根据原不等式组无解得，， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025九年级下·辽宁·专题练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解不等式组中的两个不等式，再取交集得到解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集，如图所示： 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1），0，1，2；（2），0，1． 【分析】（1）分别求解两个不等式，再取它们的解集的公共部分，最后找出公共部分中的所有整数解； （2）同理，分别求解两个不等式，取公共部分后找出其中的非负整数解． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故原不等式组的所有整数解为，，． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 故原不等式组的所有非负整数解为，． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题关键是正确求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后准确找出符合条件的整数解． 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程： 解不等式①： 解不等式②： (1)小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________； (2)请完善正确解答过程： 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：______． 【答案】(1)②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3 ； (2)，， ， 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）解不等式②，去分母时出现错误； （2）求出每一个不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误；错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3； 故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3 （2）解：解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：． 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x，y的方程组的解为非负数． (1)解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来； (2)求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）利用加减法解关于x、y的方程组； （2）根据“解为非负数”的条件，将第问得到的x、y表达式代入，得到关于m的不等式组，解不等式组即可得m的取值范围． 【详解】（1）解：， ①②，消去x： 将代入①， ， 方程组的解为； （2）解为非负数， ，，即： 解不等式③：， 解不等式④：， 结合两个不等式的解，得m的取值范围：． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 18．（24-25七年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次不等式组的解法及应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式组的解集 类型二、求一元一次不等式组的整数解 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 压轴专练 类型一、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1. 分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2. 找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1. 数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验证。 例1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1-1】（2026九年级上·重庆·专题练习）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式1-3】（2025九年级·山东济南·专题练习）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 类型二、求一元一次不等式组的整数解 方法总结 1. 先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 2. 再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 解题技巧 1. 数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 2. 端点判断：注意端点是否包含（≥或≤含等号，>或<不含），决定该端点整数是否可取。 例2．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【变式2-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【变式2-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 类型三、解一元一次不等式组中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2. 公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1. 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2. 代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 例3．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解不等式：． 解：．……第一步 ．……第二步 ．……第三步 ．……第四步 ．……第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据_______进行变形的； ②第______步出现错误，这一步错误的原因是_______； 任务二：请写出该不等式的正确解集为_______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； （2）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式3-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 类型四、由一元一次不等式组的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如 x > a、x≤b）。 2. 对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系。 2. 端点取舍：涉及“≥”“≤”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 例4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 类型五、一元一次不等式组和方程组结合的问题 方法总结 1. 解表参数：先将方程组用参数表示解。 2. 转化为不等式组：根据解的范围（如x > 0，y < 0）或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题（如整数k）筛选最终值。 例5．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 类型六、用一元一次不等式组解决实际问题 方法总结 1. 建模列组：设未知数，抓“不少于、不超过、至少”等关键词，将实际问题转化为两个或多个一元一次不等式组成的不等式组。 2. 解验作答：求不等式组的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数等）确定最终方案并作答。 解题技巧 1. 逐句转化：将题目中的每一句不等关系独立转化为不等式，确保不遗漏条件。 2. 方案筛选：若求具体方案（如租车、购物的几种方式），需在解集范围内枚举所有可能情况并逐组检验可行性。 例6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【变式6-1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式组的最大整数解是（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2026·辽宁阜新·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）不等式组的解集为 ． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三个数2，，中最小的数是2，则的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式组 无解，则a的取值范围是 ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 三、解答题 11．（2025九年级下·辽宁·专题练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程： 解不等式①： 解不等式②： (1)小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________； (2)请完善正确解答过程： 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：______． 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x，y的方程组的解为非负数． (1)解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来； (2)求m的取值范围． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 18．（24-25七年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； (3)关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $