2.1.1对顶角、补角和余角 课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 2.1.1对顶角、补角和余角 第二章 相交线与平行线 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月25日 2026年2月25日星期三3时47分14秒 2026年2月25日星期三3时47分15秒 学习目标 1.了解两条直线的位置关系：相交和平行. 2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念. 3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题. 问题 生活中的“线” 两直线相交 所成的角 顶点 边 问题1：观察图形，填写下表并说说你有什么发现? 问题引入，自主探究 A C B D O 1 4 3 2 探究点1：对顶角、补角的概念 ∠1 O OB和OD ∠2 O OA和OC ∠3 O OB和OC ∠4 O OA和OD 1.有公共顶点 2.两边互为反向延长线。 4 A C B D O 1 4 3 2 直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 概念引入 ∠1 的对顶角是______； ∠2 ∠3 的对顶角是______。 ∠4 返回 1．下列说法正确的是(　　) A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D 中考考法 6 2．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　) D 返回 中考考法 7 问题2：用量角器测量每个角的度数，说说你有什么发现? A C B D O 1 4 3 2 ∠1 =∠2 ∠3 = ∠4 ∠1 +∠3 = 180° ∠2 +∠4 = 180° ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 30° 30° 150° 150° ∠1 +∠4 = 180° ∠2 +∠3 = 180° 8 A C B D O 1 4 3 2 ∠1 +∠3 = 180° ∠2 +∠4 = 180° ∠1 +∠4 = 180° ∠2 +∠3 = 180° 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。简称这两个角互补。 概念引入 图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？ ∠1 ＋∠2＝90° E A 2 B C D F 1 O 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。 3．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　) A．a　 B．b　 C．c　 D．d 返回 C 中考考法 11 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° C 返回 中考考法 12 探究点2：对顶角、补角、余角的性质 A C B D O 1 4 3 2 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 30° 30° 150° 150° ∠1 =∠2 ∠3 = ∠4 问题3：改变角度的大小，对顶角之间的数量关系仍然存在吗？如何证明？ 方法一：改变角度，测量各个角的度数： ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 方法二：几何推导证明： ∵ ∠1 +∠3 =180°，∠3 +∠2 =180°， ∴ ∠1 =∠2 。 归纳总结 两直线相交，对顶角相等。 A C B D O 1 4 3 2 14 5．若∠A的补角是102°，则∠A的余角为(　　) A．40°　 B．51°　 C．30°　 D．12° 返回 D 中考考法 15 6．将一副三角尺按下列位置摆放，使∠1与∠2互为余角的摆放方式是(　　) 中考考法 16 返回 【点拨】A.因为同角的余角相等，所以∠1＝∠2，但∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；B.因为∠1＋45°＝∠2＋45°＝180°，所以∠1＝∠2＝135°，即∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；C.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；D.因为∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，所以∠1与∠2互为余角，故此选项符合题意．故选D. 【答案】 D 中考考法 问题4： 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。 (1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 (2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。 (1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 互为补角: 互为余角: 根据补角和余角的定义知： ∠1和∠3，∠2和∠4 ∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。 (2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？ 你能说明理由吗？与同伴进行交流。 因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90° 又因为 ∠1=∠2 所以 ∠3=∠4 因为∠AOC=∠AOB+∠BOC 又因为∠BOC =∠AOD 所以 ∠AOC = ∠BOD ∠BOD=∠AOB+∠AOD 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。 7．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是________________． 同角的补角相等 中考考法 21 返回 【点拨】如图，因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠2＝180°，所以∠1＝∠3.所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等． 中考考法 8. 当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．如图，MN为水面，直线AB⊥MN于点F，直线CD经过点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水中，如果∠1＝42°，∠2＝30°，那么光的传播 方向改变了________°. 12 返回 中考考法 23 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC. (1)若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数． 【解】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，∠BOE＝145°，所以∠AOE＝180°－145°＝35°.又因为OE平分∠AOC， 所以∠AOC＝2∠AOE＝70°. 中考考法 24 (2)在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？并说明理由． 【解】如图，OF即为所求． OF是∠BOD的平分线．理由如下： 由(1)知∠AOC＝2∠AOE， 又因为∠AOE＝∠BOF，∠AOC＝∠BOD， 所以∠BOD＝2∠BOF，所以OF是∠BOD的平分线． 中考考法 25 (3)在(2)画得的图形中，与∠BOE互补的角有________个． 返回 【点拨】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，所以∠AOE是∠BOE的补角．易知∠AOE＝∠COE＝∠BOF＝∠DOF，所以∠AOE，∠COE，∠BOF，∠DOF都是∠BOE的补角，共有4个． 4 中考考法 26 10．如图，直线AB与CD相交于点D，∠CDB＝90°，∠1＝∠2，则图中互补的角有(　　) A．6对 B．3对 C．4对 D．5对 中考考法 27 返回 【点拨】因为∠1＝∠2，所以∠BDE＝∠ADF.所以∠1＋∠BDE＝∠1＋∠ADF＝∠2＋∠BDE＝∠2＋∠ADF＝∠ADC＋∠BDC＝180°.所以互补的角有5对．故选D. 【答案】 D 中考考法 11．若∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中，正确的有(　　) ①180°－∠β；②∠α＋90°；③2(∠α＋∠β)；④2∠α－∠β；⑤2∠α＋∠β. A．①②　 B．③④ C．①②⑤　 D．②③④ 中考考法 29 返回 【点拨】因为∠α和∠β互余，所以∠α＋∠β＝90°.所以∠β＝90°－∠α.又因为∠β的补角为180°－∠β，所以其补角还可以表示为180°－(90°－∠α)＝∠α＋90°.因为∠α＋∠β＝90°，所以2∠α＋2∠β＝180°.所以∠β的补角还可以表示为2∠α＋2∠β－∠β＝2∠α＋∠β.故正确的有①②⑤. 【答案】 C 中考考法 12．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，则∠COF＝_______． 34° 中考考法 31 13．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB互余，OE平分∠BOC，若∠DOE＝m，则∠AOC的度数为________．(用含m的代数式表示) 2m 中考考法 32 课堂小结 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 同位角、内错角、同旁内角 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 概念 性质 概念 性质 概念 性质 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 学习目标 $