精品解析：吉林省长春博硕学校2025-2026学年八年级上学期1月大练习数学试卷

长春博硕学校八年级数学 一、选择题 1. 的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形两底角相等 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6. 三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（ ） A. 由，，，得 B. 由，，，得 C. 由，，，得 D 由，，，得 7. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 8. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，C点对应点，AD与的交点为E，以下相关结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 分解因式：_____． 10. 小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 11. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数是_______________ 12. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D．②分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点P和点Q，作直线，交于点E；③连结、．若，则的大小为__________度． 14. 如图，在中，平分交边于点D，且，延长到点E，使得，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题 15. 计算： （1）． （2）； 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，、分别是射线，上的点． （1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，连接，交于一点，求证：． 19. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． （1）求证：． （2）求的长． 20. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； （3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 21. 近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度：随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个滑雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数． （4）长春总共有5万名初中生，请你估计喜欢高山滑雪初中学生有多少人？ 22. 如图1，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系为_____； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②将边长分别为、的正方形、正方形按图3摆放，若，，求图3中阴影部分面积的和 23. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，过点作于点；过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为_____． A． B． C． D． [深入探究] 如图3，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； 24. 在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）如图①，当时，求的值． （3）如图②，求证：． （4）如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校八年级数学 一、选择题 1. 的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 2. 下列各数中，是无理数的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用、三角形内角和定理．由勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、∵，故不能判定是直角三角形，符合题意； B、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假判断，全等三角形，等腰三角形，等边三角形，垂直平分线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 需要写出每个命题的逆命题，并根据相关知识判断其真假． 【详解】解： 选项A的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，但对应角相等的三角形不一定全等（可能相似），∴ A选项逆命题是假命题． 选项B的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题（等角对等边）． 选项C的逆命题是等边三角形的三个角都相等，这是真命题（等边三角形性质）． 选项D的逆命题是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，这是真命题（垂直平分线判定定理）． 故选：A． 6. 三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（ ） A. 由，，，得 B. 由，，，得 C. 由，，，得 D. 由，，，得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 7. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可． 【详解】 由图①知，， ， 故图①能说明； 由图②知射线是的平分线，不能说明； 由图③知，不能说明； 由图④知是的垂直平分线， ． 中， ， 即． 故图④能说明． 故选：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间的关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键． 8. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，C点对应点，AD与的交点为E，以下相关结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，全等三角形的判定，关键是理清图形翻折以后，有哪些线段和角是对应相等的．根据平行线的性质以及折叠后可判断出B的正误；根据全等三角形的判定可判定出，进而得到C、D的正误，进而可选出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 根据折叠可得， ， 故选项B正确，不合题意； 四边形是长方莆， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项C、D正确，不合题意． 从现有条件无法得出， 故选项A不一定成立，符合题意， 故选：A 二、填空题 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：序列“20250105”包含数字：2，0，2，5，0，1，0，5，共8个数字．其中“0”出现3次， 因此频率为． 故答案为． 11. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数是_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况讨论：若顶角的外角等于和若底角的外角等于，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：若顶角的外角等于，则顶角为， 若底角的外角等于，则底角为，则顶角为：， 综上所述，顶角的度数是或． 12. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D．②分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点P和点Q，作直线，交于点E；③连结、．若，则的大小为__________度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，直线为线段的垂直平分线，则，，可得，，由三角形内角和定理可得，即，再根据可得答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40． 14. 如图，在中，平分交边于点D，且，延长到点E，使得，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，根据已知条件和等腰三角形的性质判断①的正误；根据角平分线的定义证明，然后利用全等三角形的判定证明，从而判断②的正误；根据全等三角形的性质证明③的正误即可；先根据全等三角形的性质证明，再根据三角形内角和定理证明，从而判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确， ∴上述结论中，正确结论的序号有：①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 15. 计算： （1）． （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根和立方根，再进行加减计算； （2）分别计算算术平方根和立方根和化简绝对值，再进行加减计算； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）应用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）应用多项式除以单项式法则进行计算即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的运算，进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 18. 如图，已知，、分别是射线，上的点． （1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中，连接，交于一点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）过点B作，在射线上截取，使得，即可解决问题． （2）根据证明即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求． 【小问2详解】 证明：∵， ∴ 又∵ 由（1）得， ∴在与中， ， ∴ ∴ 19. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【小问1详解】 解：米，米，米， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， （米）， （米）． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； （3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义． （1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点，作边长为的正方形，即可求解． 【小问1详解】 如图①，即为所求； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） 【小问2详解】 如图②，即为所求 ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 【小问3详解】 如图③，正方形即为所求． 21. 近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度：随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个滑雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数． （4）长春总共有5万名初中生，请你估计喜欢高山滑雪初中学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体． （1）用“滑雪橇”的人数除以所占的百分比即可得出参与本次调查的学生总人数； （2）用总人数减去其它项目的人数，求出“体验滑雪”的人数，从而补全统计图； （3）求出“花样滑冰”的学生所占的百分比，即可得出答案． （4）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“体验滑雪”的人数为（人）， 补全条形统计图： 小问3详解】 解：， 答：扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角度数为． 【小问4详解】 解：． 答：估计喜欢高山滑雪初中学生有人． 22. 如图1，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系为_____； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②将边长分别为、正方形、正方形按图3摆放，若，，求图3中阴影部分面积的和 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，求一个数的平方根，二次根式的性质化简，解决本题的关键是根据图形的面积关系得到两个完全平方公式之间的关系，再利用这个关系解决问题． （1）根据图形中的阴影面积可以用大正方形的面积减去长方形的面积表示为，也可根据小长方形的摆放位置用代数式表示出阴影正方形的边长，利用正方形的面积公式直接表示出阴影的面积为，根据两种表示方法表示的是同一个图形的面积，可得； （2）①由（1）可知，把和代入计算即可求出的值，进而即可求解； ②从图中两个正方形的位置可以得出，从而可得，根据（1）中得到的公式可知，两边同时开方求出的值，即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：由（1）可知， 当，时， ， ∴； ②解：如图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由（1）可知， 或(舍去)， ． 23. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，过点作于点；过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为_____． A． B． C． D． [深入探究] 如图3，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点； 【答案】[模型应用]A；[深入探究]见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． [模型应用]由“字”模型可知，，，得出线段间的数量关系，然后结合图形求解面积即可； [深入探究]过作于，过作于，由“字”模型得出，再由全等三角形的判定和性质得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：[模型应用]如图中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ＋＋＋， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ， 故选：A； [深入探究]证明：如图，过作于，过作于， 由“字”模型得： ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 即点是的中点． 24. 在中，，，，过点作于点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到终点；同时，动点从点出发，以相同的速度沿边运动到终点．连接，过点作交边或的延长线于点，连接、．图①、图②分别表示点在边、上运动，设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）如图①，当时，求的值． （3）如图②，求证：． （4）如图②，当点是边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）3 （2）； （3）见解析 （4）四边形的面积为6或． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据，列方程即可得到结论； （3）根据余角的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，推出，根据得到； （4）由，点P是边的三等分点，得到或，当时，由（3）知，，根据勾股定理得到，求得，得到，根据三角形的面积公式得到结论；当时，由（3）知，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到的长，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问4详解】 解：∵，点P是边的三等分点， ∴或， 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ； 当时，由（3）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积 ， 综上，当点P是边三等分点时，四边形的面积为6或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $