2025-2026学年北师大版数学九年级下学期期初考试试题

2026年北师大版数学九年级下学期期初考试试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各数中最小的是（　　） A．﹣2026 B．— C． D．2026 2．（3分）下列图形中轴对称图形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年，我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数字1200000000用科学记数法表示为（　　） A．1.2×108 B．1.2×109 C．12×109 D．1.2×1010 4．（3分）某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，5） C．（﹣1，4） D．（﹣1，5） 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，顶点A，B，C均在⊙O上，BD为⊙O的直径．若∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 7．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1有两个相等的实数根，则．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，AB，CD，BC上的点，且AE＝AF＝BH＝DG，若菱形的面积为120，AC＝24，则EF+GH的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 9．（3分）某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝2，∠ACB＝30°，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　 12．（3分）已知某十字路口的交通信号灯，红灯、绿灯、黄灯亮的时间分别是60秒、25秒、5秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是 　 13．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为 　 　． 14．（3分）如图，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（8，6），AB与y轴平行，若AB＝BC，则k的值为 　 ． 15．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长 　 ． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE＝AD，AE平分∠BAD．作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF＝BE；②∠CDE＝20°；③；④若AB＝1，则．正确的有 　 　.（填写序号） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：如图，△ABC． 求作：以AC为弦的⊙O，使O到AB和BC的距离相等． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18．（8分）计算： （1）解不等式组； （2）化简 19．（6分）从﹣3，﹣1，1，3中任取一个值作为横坐标a，不放回再任取一个作为纵坐标b，请用树状图或列表的方法求点M（a，b）在双曲线y＝的图象上的概率． 20．（6分）杂交水稻技术是中国农业科技史上的一座丰碑．为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，并获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下： 数据1，甲种水稻稻穗谷粒数： 171，172，176，176，178，182，184，193，196，202，206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． 数据2，乙种水稻稻穗谷粒数的折线统计图： 数据3，甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数（单位：颗）： 平均数 中位数 众数 甲 196.7 a 206 乙 196.8 195 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　；b＝　 　； （2）甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）； （3）若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐 　 　（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各3000株，据此估计，优良水稻共有多少株？ 21．（6分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于，B两点． （1）求y1，y2的解析式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围． 22．（6分）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD为其横截面，OE为吸管，其示意图如图2所示，AD＝20cm，AB＝6cm，∠EOB＝36°．将杯子绕点C按顺时针方向旋转，使OE与水平线CM平行（如图3）． （1）杯子与水平线CM的夹角∠BCM＝　 ； （2）由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若AD＝4，求△BED的面积． 24．（8分）【图形定义】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 例如：如图1，在四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是CD的中点，MN是四边形ABCD的中位线． 【方法探究】 如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180°得到△CB′A，可证． 【方法应用】 （1）如图3，MN是梯形ABCD的中位线．若AD＝3，BC＝5，则MN＝　 　；若AD＝a，BC＝b，且b＞a，则MN＝　 　． （2）如图4，MN是四边形ABCD的中位线．若AD＝3，BC＝5，则MN的取值范围是 　 　；若AD＝a，BC＝b，且b＞a，则MN的取值范围　　 ． 25．（10分）某件热销商品，经调查发现某月（按30天计）前5天销售价格p（元/件）和销量q（件）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/件） 2 3 4 5 6 销量q（件） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种现象后，统一规定每件商品销售价格不得高于1元/件，从第6天起将该商品调整为1元/件．据统计，该商品从第6天起销量q（件）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该商品的进货价格为0.5元/件． （1）该商品前5天的销售价格p与x，销量q与x满足一次函数关系式，请直接写出它们的函数关系式； （2）求该店前5天获得的利润W1（元），第6到第30天获得的利润W2（元）与x的函数关系式，判断第几天的利润最大，并求出最大利润； （3）这个月中调整价格后商家每天还能盈利不低于275元的天数有多少天？ 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），连接AC，BC．动点D从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒（0＜t＜3）．请解答下列问题： （1）求二次函数关系式； （2）在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？ （3）当t为何值时，△AED是等腰三角形？请直接写出t的值． 2026年北师大版数学九年级下学期期初考试试题答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各数中最小的是（　　） A．﹣2026 B．— C． D．2026 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵﹣2026＜﹣＜＜2026， ∴所给的各数中最小的数是﹣2026． 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．（3分）下列图形中轴对称图形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：第一、三、四个图形中都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 第二个图形中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 3．（3分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年，我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数字1200000000用科学记数法表示为（　　） A．1.2×108 B．1.2×109 C．12×109 D．1.2×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：1200000000＝1.2×109． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天列式即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， ﹣＝2， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到等量关系式． 5．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，5） C．（﹣1，4） D．（﹣1，5） 【分析】连接AP，A1P，得出旋转角为90°，再根据旋转的性质解答即可． 【解答】解：连接AP，A1P． ∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分， ∴A的对应点为A1， ∴∠APA1＝90°， ∴旋转角为90°， ∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣1，5）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，顶点A，B，C均在⊙O上，BD为⊙O的直径．若∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【分析】连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDB＝50°，进而利用同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠BAC＝50°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝65°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADB＝∠ACB＝65°，即可解答． 【解答】解：连接CD， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝40°， ∴∠CDB＝90°﹣∠DBC＝50°， ∴∠CDB＝∠BAC＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝65°， ∴∠ADB＝∠ACB＝65°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1有两个相等的实数根，则．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可； ②正确．利用抛物线的对称轴公式求解； ③正确．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a； ④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确． ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴2a+b＝0，故②正确． ∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确． ∵ax2+bx+c＝a+1有两个相等的实数根， ∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1有两个相等的实数根， ∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＝0， ∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＝0， ∴a（5a+1）＝0， ∴a＝0（舍去）或a＝﹣，故④不正确， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型， 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，AB，CD，BC上的点，且AE＝AF＝BH＝DG，若菱形的面积为120，AC＝24，则EF+GH的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】连接AC交BD于点O，先根据菱形的面积公式计算出对角线BD的长，再证△AEF∽△ADB，同理可证△CHG∽△CBD，即可求出EF+GH的值． 【解答】解：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∵菱形的面积等于120，AC＝24， ∴， ∴BD＝10， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣∠EAF）， ∵DA＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠DAB）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ADB， ∴， ∵AD＝DC， ∴， 同理可证△CGH∽△CDB， ∴， ∴， 即， ∴EF+GH＝BD＝10， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出EF+GH＝BD是此题的关键． 9．（3分）某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天列式即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， ﹣＝2， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到等量关系式． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝2，∠ACB＝30°，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB＝30°得到∠BAC＝60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM＝60°，推出∠MBN＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H， 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∵AB＝2，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°，AC＝2AB＝4，BC＝2， ∵BA＝BM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠ABM＝60°， ∴∠MBN＝30°， ∴MH＝BM＝1， ∴S阴＝S△BCM﹣S扇形BMN＝﹣＝﹣， 故选：D． 【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴＝S△BCM﹣S扇形BMN是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　3　． 【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ＝2×+2﹣+1 ＝+2﹣+1 ＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 12．（3分）已知某十字路口的交通信号灯，红灯、绿灯、黄灯亮的时间分别是60秒、25秒、5秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是 　　． 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【解答】解：由题意得，某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是＝． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 13．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示图形，则搭成该几何体的小正方体的个数为 　4　． 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：由题意可知，该几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数． 所以搭成该几何体的小正方体的个数为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 14．（3分）如图，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点B的坐标为（8，6），AB与y轴平行，若AB＝BC，则k的值为 　128　． 【分析】由点B的坐标为（8，6）求出BC＝5，又AB＝BC，AB与y轴平行，可得A（8，16），用待定系数法即得答案． 【解答】解：∵点B的坐标为（8，6），C（0，0）， ∴BC＝10， ∴AB＝BC＝10， ∵AB与y轴平行， ∴A（8，16）， 把A（8，16）代入y＝得：8＝， 解得k＝128， 故答案为：128． 【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，掌握待定系数法，能根据已知求出点A的坐标是解题的关键． 15．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长 　　． 【分析】作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM，此时根据正方形的性质可得CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝10，应用勾股定理计算得出BB'＝2再根据由折叠的性质得BN＝B'N，在Rt△B'NF中根据勾股定理求得B'N长度，最后根据S△BMN＝＝，计算求得MN的长度即可． 【解答】解：如图，作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM， 由题意可知，四边形CDC'E，是正方形，△B'EF是等腰直角三角形， ∴CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝BC﹣CF＝12﹣2＝10， 在Rt△BB'F中，BB'＝＝， 设BN＝B'N＝x，则NF＝BC﹣BN﹣CF＝10﹣x， 在Rt△B'NF中，B'N2＝NF2+B'F2， 即x2＝（10﹣x）2+22， 解得：x＝， ∴BN＝， 由折叠的性质可知：BG＝B'G＝＝，BB'⊥MN， ∵S△BMN＝＝， ∴MN＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换、正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE＝AD，AE平分∠BAD．作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF＝BE；②∠CDE＝20°；③；④若AB＝1，则．正确的有 　①③　.（填写序号） 【分析】①四边形ABCD是矩形，AE平分∠BAD易得△ABE是等腰直角三角形，△ADF是等腰直角三角形即可； ②由△ADF是等腰直角三角形得，∠ADF＝∠DAF＝45°，故∠ADE＝∠AED＝＝67.5°，得∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°； ③先求∠ABF＝∠AFB＝67.5°，得∠OFE＝∠AED，故OF＝OE，再由∠DFO＝∠DFE﹣∠OFE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODF＝∠ADE﹣∠ADF＝67.5°﹣45°＝22.5°，得∠DFO＝∠ODF，故OF＝DO； ④设BF＝x，则 ，先证△ABF∽△AED得，再证△ABF∽△OFE，得，则，解出x，再算出BO即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴＝BE， ∵DF⊥AE， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴， ∴AF＝BE，①正确； ∵△ADF是等腰直角三角形， ∴∠ADF＝∠DAF＝45°， ∴∠ADE＝∠AED＝＝67.5°， ∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，②不正确； ∵∠BAF＝45°，AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB＝67.5°， ∵∠DFO＝∠DFE﹣∠OFE＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ODF＝∠ADE﹣∠ADF＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠DFO＝∠ODF， ∴OF＝DO， ∴DO＝OE＝OF， ∴OF＝DE，③正确； ∵∠BAF＝∠EAD＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠AED＝∠ADE＝67.5°， ∵△ABF∽△AED， ∴， ∵AB＝1， ∴， 设BF＝x，则， ∴OE＝DE＝x＝OF， ∵∠OFE＝∠OEF＝∠ABF＝∠AFB＝67.5°， ∴△ABF∽△OFE， ∴， ∵AB＝AE＝1， ∴AE＝AB＝， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，④不正确． 故答案为：①③． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：如图，△ABC． 求作：以AC为弦的⊙O，使O到AB和BC的距离相等． 【分析】结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作∠ABC的平分线和线段AC的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆即可． 【解答】解：如图，作∠ABC的平分线和线段AC的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18．（8分）计算： （1）解不等式组； （2）化简． 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解； （2）先通分，根据同分母分式相加减法则计算即可． 【解答】解：（1）解不等式，得x≤4， 解不等式3（x+1）＜5x﹣1，得x＞2， ∴不等式组的解集为2＜x≤4； （2）＝＝＝＝． 【点评】本题考查了分式的加减法及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则以及分式的基本性质是解题的关键． 19．（6分）从﹣3，﹣1，1，3中任取一个值作为横坐标a，不放回再任取一个作为纵坐标b，请用树状图或列表的方法求点M（a，b）在双曲线y＝的图象上的概率． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【解答】解：列表如下： ﹣3 ﹣1 1 3 ﹣3 （﹣3，﹣1） （﹣3，1） （﹣3，3） ﹣1 （﹣1，﹣3） （﹣1，1） （﹣1，3） 1 （1，﹣3） （1，﹣1） （1，3） 3 （3，﹣3） （3，﹣1） （3，1） ∵组成的点（a，b）共有12个， 其中在双曲线的图象上的有4种， ∴M在双曲线的图象上的概率为：． 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（6分）杂交水稻技术是中国农业科技史上的一座丰碑．为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，并获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下： 数据1，甲种水稻稻穗谷粒数： 171，172，176，176，178，182，184，193，196，202，206，206，206，206，208，208，214，215，216，219． 数据2，乙种水稻稻穗谷粒数的折线统计图： 数据3，甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数（单位：颗）： 平均数 中位数 众数 甲 196.7 a 206 乙 196.8 195 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　204　；b＝　195　； （2）甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是 　乙　（填“甲”或“乙”）； （3）若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐 　甲　（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各3000株，据此估计，优良水稻共有多少株？ 【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据表格分析以及方差的概念和意义，即可解答； （3）分别计算出两种水稻的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解． 【解答】解：（1）将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202、第11个数据为206， 所以这组数据的中位数为（202+206）÷2＝204， ∴m＝204； 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每株稻穗的谷粒数为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195， ∴n＝195； 故答案为：204，195； （2）根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，乙的数据波动比甲小，故乙更稳定， 故答案为：乙； （3）甲的水稻优良率为：＝55%， 乙的水稻优良率为：， 故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻； 若该试验田中有甲、乙两种水稻各3000株， 则甲的优良水稻有3000×55%＝1650（株），乙的优良水稻有3000×40%＝1200（株）， ∴共有1650+1200＝2850（株）， 答：优良水稻大约共有2850株． 故答案为：甲． 【点评】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数以及方差等，根据统计图得出相关信息是解题的关键． 21．（6分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于，B两点． （1）求y1，y2的解析式； （2）观察图象，直接写出时x的取值范围． 【分析】（1）将点代入中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1＝kx+b，即可求出一次函数的解析式； （2）通过观察图象即可求解． 【解答】解：（1）将点代入中， ∴m＝3， ∴y2＝， ∵B在y2＝图象上， ∴﹣． ∴a＝﹣6， ∴B（﹣，﹣6）， 将点A、B代入y1＝kx+b，得， 解得， ∴y1＝﹣x﹣； （2）观察图形，时x的取值范围是﹣6≤x≤﹣． 【点评】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 22．（6分）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD为其横截面，OE为吸管，其示意图如图2所示，AD＝20cm，AB＝6cm，∠EOB＝36°．将杯子绕点C按顺时针方向旋转，使OE与水平线CM平行（如图3）． （1）杯子与水平线CM的夹角∠BCM＝　54　°； （2）由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【分析】（1）过点B作BF∥OE，利用平行线的性质证明结论即可； （2）过点A作AG⊥BF于点G，过点B作BN⊥CM于点N，在Rt△AGB中求出AG的长，在Rt△BCN中求出BN的长，再作进一步判断即可． 【解答】解：（1）过点B作BF∥OE， ∵OE∥CM， ∴OE∥BF∥CM， ∴∠EOB＝∠GBA，∠GBC＝∠BCM， ∵∠EOB＝36°， ∴∠GBA＝36°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC， ∴∠BCM＝∠GBC＝54°． 故答案为：54°； （2）过点A作AG⊥BF于点G，过点B作BN⊥CM于点N， 由（1）知∠GBA＝36°，∠BCM＝54°， 在Rt△AGB中，∵AB＝6cm， ∴AG＝sin36°•AB≈0.59×6＝3.54（cm）， 在Rt△BCN中，∵AD＝20cm， ∴BC＝20cm， ∵∠BCM＝54°， ∴∠CBN＝36°， ∴BN＝cos36°•BC≈0.81×20＝16.2（cm）， ∴由图2到图3，点A到水平桌面的距离为：AG+BN＝3.54+16.2≈19.7＜20， 20﹣19.7＝0.3（cm）， ∴点A的位置是下降了，降低了0.3cm． 【点评】本题考查了矩形的性质以及解直角三角形，解题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形． 23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若AD＝4，求△BED的面积． （1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC， ∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，∴∠EDB＝∠EDC， ∵，∴∠ADB＝∠EDB， ∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE， ∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABED是菱形； （2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4， ∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°， ∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°， ∴，∴． 24．（8分）【图形定义】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 例如：如图1，在四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是CD的中点，MN是四边形ABCD的中位线． 【方法探究】 如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180°得到△CB′A，可证． 【方法应用】 （1）如图3，MN是梯形ABCD的中位线．若AD＝3，BC＝5，则MN＝　4　；若AD＝a，BC＝b，且b＞a，则MN＝　　． （2）如图4，MN是四边形ABCD的中位线．若AD＝3，BC＝5，则MN的取值范围是 　1≤MN≤4　；若AD＝a，BC＝b，且b＞a，则MN的取值范围是 　　． 【分析】（1）以N为中心，将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC，则MN＝M'N'，AD＝A'C，BC＝B'D，且四边形ABA'B'，AMM'B'，MM'A'B都是平行四边形，易得即可； （2）以N为中心，将四边形ABCD旋转180°得到四边形A'B'DC，连接AB'，BA'，DB'，A'C，NM'，则四边形ABA'B'，AMM'B'，MM'A'B都是平行四边形，则'，MM'＝AB'，AD＝A'C，BC＝B'D，在△ADB'中得B'D﹣AD≤AB'≤B'D+AD（A，D，B'在同一直线上时，等号成立），故即可． 【解答】解：（1）如图，以N为中心，将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC， 则MN＝M'N，AD＝A'C，BC＝B'D，且四边形ABA'B'， AMM′B'，MM'A'B都是平行四边形， ∴MN＝MM'，MM'＝AB'， ∵AB'＝AD+B'D＝AD+BC， ∴MN＝MM'＝AB'＝（AD+BC）， 若AD＝3，BC＝5，则， 若AD＝a，BC＝b，则， 故答案为：4，； （2）如图，以N为中心，将四边形ABCD旋转180°得到四边形A'B′DC， 连接AB'，BA'，DB'，A'C，NM'，则四边形ABA'B'，AMM′B'，MM'A'B都是平行四边形， ∴， 在△ADB'中得B'D﹣AD≤AB'≤B'D+AD（A，D，B'在同一直线上时，等号成立）， ∴BC﹣AD≤2MN≤BC+AD， 即， 若AD＝3，BC＝5，则，即1≤MN≤4， 若AD＝a，BC＝b，且b＞a，则， 故答案为：1≤MN≤4，． 【点评】本题考查三角形中位线定理的应用，旋转的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 25．（10分）某件热销商品，经调查发现某月（按30天计）前5天销售价格p（元/件）和销量q（件）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/件） 2 3 4 5 6 销量q（件） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种现象后，统一规定每件商品销售价格不得高于1元/件，从第6天起将该商品调整为1元/件．据统计，该商品从第6天起销量q（件）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该商品的进货价格为0.5元/件． （1）该商品前5天的销售价格p与x，销量q与x满足一次函数关系式，请直接写出它们的函数关系式； （2）求该店前5天获得的利润W1（元），第6到第30天获得的利润W2（元）与x的函数关系式，判断第几天的利润最大，并求出最大利润； （3）这个月中调整价格后商家每天还能盈利不低于275元的天数有多少天？ 【分析】（1）根据表中数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求函数解析式即可； （2）根据题意，求出利润与天数的函数关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值； （3）根据利润W2与x的函数关系式，求出利润等于275元那几天，结合二次函数的性质，即可得出盈利不低于275元的天数． 【解答】解：（1）由表中数据可得，该商品前5天销售价格比天数多1， ∴销售价格p与x的函数关系式为p＝x+1（1≤x≤5，且x为整数）； ∵销量q与x满足一次函数关系式， ∴设q与x的函数关系式为q＝mx+n， 把（1，70）和（2，75）代入得： ， 解得：， ∴q与x的函数关系式为q＝5x+65（1≤x≤5，且x为整数）； （2）， W2＝（﹣2x2+80x﹣200）（1﹣）＝﹣x2+40x﹣100， 当1≤x≤5时，对称轴直线为x＝﹣＝﹣＝﹣， ∵5＞0， ∴当1≤x≤5时，W1随x的增大而增大， ∴在x＝5取得最大值，W1＝5×52+×5+＝495（元）， 当6≤x≤30，W2＝﹣（x﹣20）2+300， ∵﹣1＜0， ∴当x＝20时，W2取得最大值，W2＝300（元）， ∴第5天利润最大为495元； （3）∵调整价格后商家每天还能盈利不低于275元， ∴﹣x2+40x﹣100＝275， 解得：x＝15或x＝25， ∴根据函数的性质可知从第15天到第25天共11天盈利不低于275元． 【点评】本题考查二次函数的性质和应用，一次函数的应用，将实际问题转化为求最值问题来解决实际问题，灵活运用二次函数的性质是解决本题的关键． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），连接AC，BC．动点D从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒（0＜t＜3）．请解答下列问题： （1）求二次函数关系式； （2）在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？ （3）当t为何值时，△AED是等腰三角形？请直接写出t的值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，利用S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ADE表示出四边形BCDE的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）由（2）知H（﹣3+t，0）得D（﹣3+t，﹣t），则AD2＝t2+t2＝2t2，AE2＝[3+（1﹣t）]2＝（4﹣t）2，DE2＝（1﹣t+3﹣t）2+t2＝（4﹣2t）2+t2，分三种情况：①当AD＝AE时，②当AD＝DE时，③当AE＝DE时，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）， 则， 解得， ∴二次函数关系式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵二次函数关系式为y＝x2+2x﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵B（1，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 由点D的运动可知：AD＝t， 过点D作DH⊥x轴，垂足为H，如图， ∴AH＝DH＝＝t，即H（﹣3+t，0）， 又E（1﹣t，0）， ∴S四边形BCDE＝S△ABC﹣S△ADE ＝×4×3﹣×[3+（1﹣t）]t ＝t2+2t+6 ＝（t﹣2）2+4， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC＝＝3，AB＝4， ∴0≤t≤3， ∴当t＝2时，四边形BCDE的面积最小，最小值为4； （3）由（2）知H（﹣3+t，0）， ∴D（﹣3+t，﹣t）， ∵A（﹣3，0），E（1﹣t，0）， ∴AD2＝t2+t2＝2t2， AE2＝[3+（1﹣t）]2＝（4﹣t）2， DE2＝（1﹣t+3﹣t）2+t2＝（4﹣2t）2+t2， ①当AD＝AE时，2t2＝（4﹣t）2， ∴t＝4﹣4（负值舍去）； ②当AD＝DE时，2t2＝（4﹣2t）2+t2， ∴t＝或4（舍去）； ③当AE＝DE时，（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+t2， ∴t＝0（舍去）或2； 综上，t的值为4﹣4或或2． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类的思想解决问题是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/13 20:30:15；用户：姜筱筱；邮箱：15965562759；学号：40600245 学科网（北京）股份有限公司 $