2025-2026学年北师大版数学九年级下学期寒假复习自我检测试题

2026年北师大版数学九年级下学期寒假复习自我检测试题 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各数中，绝对值等于的数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 3．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 4．（3分）微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　） A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m 5．（3分）一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 81 79 ■ 80 82 ■ 80 A．78， B．78，2 C．80， D．80，2 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位长度，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，切点为D，若∠BCD＝130°，则∠P的大小为（　　） A．10° B．40° C．50° D．80° 8．（3分）已知一次函数y＝abx+bc的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则下列结论正确的有（　　） ①EF＝AF ② ③△BEF的面积是1 ④△ABF≌△CBE ⑤∠EBF＝30° A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10．（3分）计算：＝　 ． 11．（3分）为调查落实“双减”政策效果，某班级随机调查了10名学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生的平均睡眠时间为 　9.3　小时． 时间/小时 7 8 9 10 11 人数/人 1 2 2 3 2 12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，∠B＝120°，AD是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点N，与AB相交于点M，则的长为 13．（3分）已知直线y＝kx﹣2与y轴交于点A，与双曲线交于B，C两点，若AB＝2AC，则k的值为 　 　． 14．（3分）如图，在⊙O中，O为圆心，AB为直径，D为圆上一点，AB＝2，∠DAB＝30°，则阴影部分面积为 　 　． 15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△HFG；③S△ABG＝3S△FED；④AG+DF＝FG．正确的是 （填写序号） 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2023次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 　 　． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：△ABC． 求作：点D，使得点D到点A和点B的距离相等，且到点C的距离最小． 四、解答题（本题满分68分，共有9道小题） 18．（8分）（1）解不等式组； （2）化简． 19．（6分）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有除标号外完全相同的小球，其中甲口袋中的3个小球上分别标有数字1，2，3，乙口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，先从甲袋中随机摸出一个小球，记录数字为a，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录数字为b．如果a≥b则小刚获胜，否则小明获胜，游戏公平吗？请说明理由． 20．（6分）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到图表： 某校150名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家车 正正正正正正 30 其它 正 9 合计 150 （1）理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由； （2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图； （3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议． 21．（6分）如图，为了测量灯塔AB的高度，小明在点C处测得灯塔顶端点A的仰角为53°，然后他沿着坡角为37°斜坡CD前进30米到达点D，再沿水平方向走9米到达了灯塔底端点B，点A，B，C，D，E在同一平面中，AB⊥BD，CE∥BD．求旗杆AB的高度． （参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan53°≈） 22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE． （1）判断并证明四边形BEFA的形状； （2）为△ABC添加一个条件，使四边形BECF是矩形．请证明你的结论． 23．（8分）某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计： 进货情况 进货次数 进货数量（台） 进货资金（元） A B 第一次 5 3 230 第二次 10 4 440 （1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？ （2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案． 24．（6分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为a1，a2，a3，a4，…以此类推．请回答下列问题： （1）a3的值为 　 　，a10的值为 　 　； （2）an的值为 　 　； （3）若（n为正整数），则n的值为 　 　． 25．（8分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． （1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？ （2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？ 26．（12分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）求证：△APM≌△CQF； （2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的 对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t 的值；不存在请说明理由． 2026年北师大版数学九年级下学期寒假复习自我检测试题答案 1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误； B、不是中心对称图形，故B选项错误； C、不是中心对称图形，故C选项错误； D、是中心对称图形，故D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键． 2．（3分）下列各数中，绝对值等于的数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别判断得出答案． 【解答】解：A．2的绝对值是2，故此选项不合题意； B．﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意； C．﹣的绝对值是，故此选项符合题意； D．（﹣）﹣1＝﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值以及负整数指数幂的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 3．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变． 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 4．（3分）微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　） A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：0.01微米＝0.01×0.000001米＝1×10﹣8． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 5．（3分）一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（　　） 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 81 79 ■ 80 82 ■ 80 A．78， B．78，2 C．80， D．80，2 【分析】先用80×5求出5个数据的总数，根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 80×5﹣（81+79+80+82）＝78， 则丙的得分是78； 方差＝[（81﹣80）2+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2]＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位长度，得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为（﹣1，2），再求向下平移4个单位后的点的坐标即可． 【解答】解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''（﹣1，2）， A''向下平移4个单位，得到A'（﹣1，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解题的关键． 7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，切点为D，若∠BCD＝130°，则∠P的大小为（　　） A．10° B．40° C．50° D．80° 【分析】连接OD，利用圆的内接四边形的对角互补，求得∠OAD的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得∠AOD的度数，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余即可求得结论． 【解答】解：连接OD，如图， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∵∠BCD＝130°， ∴∠DAB＝50°． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ODA＝80°． ∵PD与⊙O相切， ∴OD⊥PD， ∴∠ODP＝90°， ∴∠P+∠AOD＝90°， ∴∠P＝10°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 8．（3分）已知一次函数y＝abx+bc的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c和反比例函数y＝在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象所经过的象限可以判定a、b、c的符号，从而得到ab＜0，bc＞0，然后根据二次函数和反比例函数经过的象限，判定a、b、c的符号，从而得出ab和bc的符号，看是否一致． 【解答】解：∵一次函数y＝abx+bc的图象经过第一、二、四象限， ∴ab＜0，bc＞0． ∴反比例函数y＝经过第二、四象限，故A、C不合题意，B、D符合题意； B、二次函数y＝ax2+bx+c图象开口向上，对称轴为y轴，交y的负半轴， ∴a＞0，b＝0，c＜0， ∴ab＝0，bc＝0，故B不合题意； D、二次函数y＝ax2+bx+c图象开口向下，对称轴在y轴右，交y的正半轴， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴ab＜0，bc＞0，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的符号情况是解题的关键． 9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则下列结论正确的有（　　） ①EF＝AF ② ③△BEF的面积是1 ④△ABF≌△CBE ⑤∠EBF＝30° A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由锐角三角函数可求∠EBC＝30°，由角平分线的性质可求∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝30°，故⑤正确；由等腰三角形的性质可求EF的长，可得EF≠AF，故①错误，由三角形中位线定理可求MN的长，故②正确；由角平分线的性质和三角形的面积公式可求△BEF的面积＝1，故③正确；由“SAS”可证△ABF≌△CBE，即可求解． 【解答】解：如图：过点F作FH⊥BE，交BE于H， ∵正方形ABCD的面积为3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝， ∵CE＝1， ∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝， ∴∠EBC＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，BE＝2EC＝2， ∵AF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝30°，故⑤正确； 在Rt△ABF中，AF＝＝1， ∴DF＝AD﹣AF＝﹣1， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣， ∴EF≠AF，故①错误， ∵M，N分别是BE，BF的中点， ∴MN是△BEF的中位线， ∴MN＝EF＝；故②正确； ∵AF平分∠ABE，FH⊥BE，∠A＝90°， ∴AF＝FH＝1， ∴△BEF的面积＝×2×1＝1，故③正确； ∵AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，AF＝CE， ∴△ABF≌△CBE（SAS），故④正确； 故选：C． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 10．（3分）计算：＝　﹣　． 【分析】先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣3 ＝﹣3 ＝2﹣3 ＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 11．（3分）为调查落实“双减”政策效果，某班级随机调查了10名学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生的平均睡眠时间为 　9.3　小时． 时间/小时 7 8 9 10 11 人数/人 1 2 2 3 2 【分析】根据平均数的定义解答即可． 【解答】解：调查的10名学生的平均睡眠时间为×（7×1+8×2+9×2+3×10+）＝9.3（小时）， 故答案为：9.3． 【点评】本题考查平均数，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键． 12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，∠B＝120°，AD是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点N，与AB相交于点M，则的长为 【分析】连接OM，ON，DM，根据平行线的性质得到∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，根据圆周角定理得到∠AMD＝90°，∴∠AOM＝2∠ADM＝60°，根据切线的性质得到ON⊥BC，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】解：连接OM，ON，DM， 在▱ABCD中，AD∥BC，∠B＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AMD＝90°， ∴∠ADM＝30°， ∴∠AOM＝2∠ADM＝60°， ∵⊙O与BC相切于点N， ∴ON⊥BC， ∴ON⊥AD， ∴∠AON＝90°， ∴∠MON＝30°， ∴的长为＝π， 【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（3分）已知直线y＝kx﹣2与y轴交于点A，与双曲线交于B，C两点，若AB＝2AC，则k的值为 　　． 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，），利用平行线分线段成比例定理构建方程求出m即可解决问题． ②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设设C（m，），方法类似①． 【解答】解：①当k＜0时，如图1中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵直线y＝kx﹣2与y轴交于点A， ∴A（0，﹣2）， ∴OA＝2， ∵CH∥BF， ∴＝， ∵CH＝﹣m， ∴BF＝﹣2m，AF＝2AH， ∴B（2m，）， ∴2+＝2（2+）， 解得m＝﹣3， ∴C（﹣3，﹣）， 代入y＝kx﹣2，得到k＝﹣． ②当k＞0时，如图2中，过点C作CH⊥OA于H，过点B作BF⊥OA于F．设C（m，）， ∵CH∥BF， ∴＝， ∵CH＝﹣m， ∴BF＝﹣2m，AF＝2AH， ∴B（﹣2m，﹣）， ∴2﹣＝2（﹣﹣2）， 解得m＝﹣1， ∴C（﹣1，﹣4）， 把点C（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣2，得到k＝2， 综上所述，满足条件的k的值为2或﹣． 故答案为：2或﹣． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 14．（3分）如图，在⊙O中，O为圆心，AB为直径，D为圆上一点，AB＝2，∠DAB＝30°，则阴影部分面积为 　+　． 【分析】连接OD，过点D作DH⊥AB于点H．则OD＝OA＝OB＝1，先根据圆周角定理可得∠BOD＝60°，进而可得∠ODH＝30°，再根据勾股定理可得DH，最后根据阴影面积＝S△OAD+S扇形OBD计算即可． 【解答】解：如图，连接OD，过点D作DH⊥AB于点H．则OD＝OA＝OB＝1， ∵∠DAB＝30°， ∴∠BOD＝60°， 在Rt△ODH中，∠ODH＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴OH＝＝，DH＝＝， ∴阴影部分的面积为：S△OAD+S扇形OBD＝＝+． 故答案为：+． 【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△HFG；③S△ABG＝3S△FED；④AG+DF＝FG．正确的是 ①②④ 【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，由折叠得∠FBE＝∠CBF，∠HBG＝∠ABF，则∠EBG＝（∠CBF+∠ABF）＝45°，可判断①正确；由∠BFE＝∠C＝90°，∠BHG＝∠A＝90°，得∠DEF＝∠HFG＝90°﹣∠DFE，∠D＝∠FHG＝90°，则△DEF∽△HFG，可判断②正确；因为BF＝BC＝10，HB＝AB＝6，所以FH＝4，AF＝＝8，则DF＝2，由22+DE2＝（6﹣DE）2，求得DE＝，则S△FED＝，由AG2+42＝（8﹣AG）2，求得AG＝3，则S△ABG＝9，所以S△ABG≠3S△FED，可判断③错误；因为AG+DF＝5，FG＝10﹣AG﹣DF＝5，所以AG+DF＝FG，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝10， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°， ∴由折叠得∠FBE＝∠CBE＝∠CBF，∠HBG＝∠ABG＝∠ABF， ∴∠EBG＝∠FBE+∠HBG＝（∠CBF+∠ABF）＝∠ABC＝45°， 故①正确； ∵∠BFE＝∠C＝90°，∠BHG＝∠A＝90°，点F在AD上，点H在BF上， ∴∠DEF＝∠HFG＝90°﹣∠DFE，∠FHG＝90°， ∴∠D＝∠FHG， ∴△DEF∽△HFG， 故②正确； ∵BF＝BC＝10，HB＝AB＝6， ∴FH＝BF﹣HB＝10﹣6＝4，AF＝＝＝8， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2， ∵DF2+DE2＝FE2，且FE＝CE＝6﹣DE， ∴22+DE2＝（6﹣DE）2， 解得DE＝， ∴S△FED＝DF•DE＝×2×＝， ∵HG2+FH2＝FG2，且HG＝AG，FG＝8﹣AG， ∴AG2+42＝（8﹣AG）2， 解得AG＝3， ∴S△ABG＝AB•AG＝×6×3＝9， ∵＝＝， ∴S△ABG＝S△FED≠3S△FED， 故③错误； ∵AG+DF＝3+2＝5，FG＝10﹣AG﹣DF＝10﹣3﹣2＝5， ∴AG+DF＝FG， 故④正确， 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得FH＝4及AF＝8是解题的关键． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2023次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 　3036π　． 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【解答】解：∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝BD＝5， 转动一次A的路线长是：＝2π， 转动第二次的路线长是：＝π， 转动第三次的路线长是：＝π， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：+π+2π＝6π， 2023÷4＝505余3， 顶点A转动四次经过的路线长为：6π×506＝3036π． 故答案为：3036π． 【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17．（4分）已知：△ABC． 求作：点D，使得点D到点A和点B的距离相等，且到点C的距离最小． 【分析】作线段AB的垂直平分线MN，过点C作CT⊥MN于点D，点D即为所求． 【解答】解：如图，点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 四、解答题（本题满分68分，共有9道小题） 18．（8分）（1）解不等式组； （2）化简． 【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集； （2）先算括号内的式子，然后算括号外的乘法即可． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得：x＜3， 解不等式②，得：x≤1， 故原不等式组的解集为x≤1； （2） ＝• ＝• ＝﹣． 【点评】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19．（6分）小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有除标号外完全相同的小球，其中甲口袋中的3个小球上分别标有数字1，2，3，乙口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，先从甲袋中随机摸出一个小球，记录数字为a，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录数字为b．如果a≥b则小刚获胜，否则小明获胜，游戏公平吗？请说明理由． 【分析】根据题意列出图表得出12种等可能的结果数，再根据概率公式求出小刚和小明获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【解答】解：根据题意列表如下： 4 1 2 3 1 （1，4） （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，4） （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，4） （3，1） （3，2） （3，3） 由列表可知，所有等可能的结果有12种，其中a≥b的有6种， 则小刚获胜的概率是，小明获胜的概率是， ∵＝， ∴游戏公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（6分）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到图表： 某校150名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家车 正正正正正正 30 其它 正 9 合计 150 （1）理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由； （2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图； （3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议． 【分析】（1）根据抽样调查必须具有随机性，分析得出即可； （2）根据扇形统计图分别求出各种上学方式的人数，进而画出条形图即可． （3）利用节能减排角度分析得出答案即可． 【解答】解：（1）不合理， 因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样抽取的学生不具有随机性，比较片面，所以这样的抽样不合理； （2）步行人数为：2000×10%＝200（人），骑车的人数为：2000×34%＝680（人）， 乘公共汽车人数为：2000×30%＝600（人），乘私家车的人数为：2000×20%＝400（人）， 乘其它交通工具的人数为：2000×6%＝120（人）， 条形统计图如图所示： ； （3）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了扇形图与条形图的综合应用以及抽样调查的随机性，根据扇形图得出各部分所占比例是解题关键． 21．（6分）如图，为了测量灯塔AB的高度，小明在点C处测得灯塔顶端点A的仰角为53°，然后他沿着坡角为37°斜坡CD前进30米到达点D，再沿水平方向走9米到达了灯塔底端点B，点A，B，C，D，E在同一平面中，AB⊥BD，CE∥BD．求旗杆AB的高度． （参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan53°≈） 【分析】延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥CE，首先利用矩形的判定和性质求出FG、BF，再利用直角三角形的边角间关系，在Rt△CDG中求出DG，在Rt△CAF中求出AF，最后利用线段的和差关系求出AB． 【解答】解：延长AB交CE于点F，过点D作DG⊥CE，垂足为G． ∵AB⊥BD，CE∥BD，DG⊥CE， ∴四边形BFGD是矩形． ∴BD＝FG＝9米，BF＝DG． 在Rt△CDG中，∠DCE＝37°，CD＝30米， ∵sin∠DCG＝， ∴≈， ∴DG＝BF＝18（米）． ∴CG＝＝＝24（米）． ∴CF＝CG+GF＝33（米）． 在Rt△CAF中，∠ACE＝53°， ∵tan∠ACF＝， ∴≈． ∴AF＝44（米）． ∴AB＝AF﹣BF＝44﹣18＝26（米）． 答：旗杆AB的高度为26米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角、俯角，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE． （1）判断并证明四边形BEFA的形状； （2）为△ABC添加一个条件，使四边形BECF是矩形．请证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC，DF＝DE＝AC，于是得到结论． 【解答】解：（1）四边形BEFA的形状是平行四边形， 理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴D为BC的中点， ∵点F为AC的中点， ∴DF∥AB，DF＝AB， ∵ED＝FD， ∴AB∥EF，AB＝EF， ∴四边形BEFA是平行四边形； （2）当AB＝BC时，四边形BECF是矩形， ∵AB＝BC＝AC， ∴BD＝CD＝BC，DF＝DE＝AC， ∴BC＝EF， ∴四边形BECF是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23．（8分）某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计： 进货情况 进货次数 进货数量（台） 进货资金（元） A B 第一次 5 3 230 第二次 10 4 440 （1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？ （2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）根据题意求得函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设A、B两种型号台灯的进价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得：， 答：A、B两种型号台灯的进价分别为40元，10元； （2）∵A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，即y＝﹣2x+140，则B型号台灯共进货（100﹣y）台＝（2x﹣40）台， 设商场可获得利润为w，则w＝（x﹣40）（﹣2x+140）+（20﹣10）（2x﹣40）＝﹣2x2+240x﹣6000＝﹣2（x﹣60）2+1200， ∵﹣2＜0， ∴A型号台灯售价定为60元时，商场可获得最大利润为1200元． 此时A种进20台，B种进80台． 【点评】本题主要考查了方程的应用和二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定售价在多少元时，总利润最大是解决问题的关键． 24．（6分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为a1，a2，a3，a4，…以此类推．请回答下列问题： （1）a3的值为 　6　，a10的值为 　55　； （2）an的值为 　　； （3）若（n为正整数），则n的值为 　4047　． 【分析】（1）根据图中的点数规律进行计算即可； （2）根据（1）中点数计算的规律可得：an＝1+2+3+4+⋯+n＝； （3）根据（2）可知：an＝，则＝＝，因此（n为正整数），即2×+2×+⋯+＝，计算即可． 【解答】解：（1）由图形可知： a1＝1， a2＝1+2＝3， a3＝1+2+3＝6， a4＝1+2+3+4＝10， ⋯， a10＝1+2+3+4+⋯+10＝＝55， 故答案为：6，55． （2）根据（1）可知，an＝1+2+3+4+⋯+n＝， 故答案为：． （3）根据（2）可知：an＝， ∴＝＝， ∴（n为正整数），即2×+2×+⋯+＝， ∴2×＝， ∴＝， 解得：n＝4047， 故答案为：4047． 【点评】本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出图形间的变化规律是解题的关键． 25．（8分）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． （1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？ （2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？ 【分析】（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，由等量关系：用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可； （2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元， 依题意得：﹣＝10， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是方程的解， 1.5x＝1.5×80＝120． 答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元； （2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球， 依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000， 解得：m≤100， 答：最多可以购买100个篮球． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26．（12分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）求证：△APM≌△CQF； （2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的 对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t 的值；不存在请说明理由． 【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可； （2）根据y＝菱形ABCD的面积﹣△APE的面积﹣△CFQ的面积﹣四边形CQED的面积，求解即可； （3）证明△ADR≌△CDQ（SAS），推出AR＝CQ，∠DAR＝∠DCQ，∠DAC＝∠DCA＝∠ACB，推出∠CAR＝∠DCK，推出点在射线AR上运动，当OR⊥AR时，OR的值最小． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠PAM＝∠QCF， ∵PE⊥BD， ∴∠AMP＝∠AOB＝90°， ∵QF⊥CB， ∴∠CFA＝∠AMP＝90°， ∵AP＝CQ＝t， ∴△APM≌△CQF（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝8，OB＝OD＝6． ∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝10， ∴PM＝AP•sin∠BAO＝t，AM＝t， 同法EM＝t，CF＝t．FQ＝t， ∴y＝菱形ABCD的面积﹣△APE的面积﹣△CFQ的面积﹣四边形CQED的面积 ＝×16×12﹣×t×t﹣×t×t﹣[48﹣×（16﹣t）×t] ＝﹣t2+t+48（0＜t＜8）． （3）解：存在． 理由：如图，连接AR，过点D作DK⊥CB于点K． ∵菱形ABCD的面积＝BC•DK＝9.6， ∴DK＝9.6， ∴CK＝＝＝2.8， ∴cos∠DCB＝＝＝， ∵∠ADC＝∠RDQ， ∴∠ADR＝∠CDQ， ∵DA＝DC，DR＝DQ， ∴△ADR≌△CDQ（SAS）， ∴AR＝CQ，∠DAR＝∠DCQ， ∵∠DAC＝∠DCA＝∠ACB， ∴∠CAR＝∠DCK， ∴点在射线AR上运动，当OR⊥AR时，OR的值最小，此时CQ＝AR＝OA•cos∠OAR＝8×cos∠DCK＝8×＝， ∴t＝． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 学科网（北京）股份有限公司 $